Schwarzschild-Tangherlini-Metrik

In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird die höherdimensionale Verallgemeinerung der Schwarzschild-Metrik als Schwarzschild-Tangherlini-Metrik (nach Karl Schwarzschild, Frank R. Tangherlini) bezeichnet. Die allgemeine Form des Linienelements (in Weinbergs Vorzeichenkonvention) ist

$d{s}^2=-[1-(\frac{a}{r}{)}^{d-3}]d{t}^2+[1-(\frac{a}{r}{)}^{d-3}{]}^{-1}d{r}^2+r^{2}d{\mathrm{\Omega }}_{d-2}^2,$

wobei $c=1$ gesetzt wurde und $d$ die Anzahl der Dimensionen der Raumzeit bezeichnet. In der "gewöhnlichen" Raumzeit wäre also $d=4$. Mit $d{\mathrm{\Omega }}_{d-2}^2$ wird die Standardmetrik auf der $d-2$-dimensionalen Einheitssphäre $S^{d-2}$ bezeichnet, die induktiv definiert ist durch

$d{\mathrm{\Omega }}_1^2=d{\phi }^2,d{\mathrm{\Omega }}_{i+1}^2=d{\theta }_i^2+{\sin }^2{\theta }_{i}d{\mathrm{\Omega }}_i^2(i\ge 1),$

wobei die Koordinate $\phi$ Werte zwischen $0$ und $2\pi$ annimmt, während die Koordinaten ${\theta }_i$ Werte zwischen $0$ und $\pi$ annehmen. Für $d=6$ ergibt sich beispielsweise

$d{\mathrm{\Omega }}_4^2=d{\theta }_3^2+{\sin }^2{\theta }_{3}d{\theta }_2^2+{\sin }^2{\theta }_3{\sin }^2{\theta }_{2}d{\theta }_1^2+{\sin }^2{\theta }_3{\sin }^2{\theta }_2{\sin }^2{\theta }_{1}d{\phi }^2.$

Für $d\ge 5$ ergibt sich das interessante Ergebnis, dass in dieser Metrik keine stabilen, gebundenen Bahnen massiver Teilchen existieren, die für $d=4$ durchaus existieren. Dies sieht man ein, indem man die Bewegung in der Äquatorialebene ${\theta }_1={\theta }_2=\dots =\frac{\pi }{2}$ betrachtet und die Koordinate $u(\phi )=\frac{a}{r}$ einführt. Aus der Lagrange-Dichte ergibt sich durch Einführung der Erhaltungsgrößen $E$ ("Energie") und $l$ ("Drehimpuls") die Gleichung

$\frac{1}{2}{\left(\frac{du}{d\phi }\right)}^2+\frac{1}{2}{u}^2-\frac{1}{2}{u}^{d-1}-\frac{a^2}{l^2}{u}^{d-3}=\frac{a^2}{l^2}(E-1),$

wobei die letzten drei Terme auf der linken Seite ein effektives Potential darstellen. Skizziert man den Verlauf über $u$, so erkennt man sofort, dass für $d\ge 5$ maximal ein bzw. genau ein ($d\ge 6$) Extremalpunkt existiert. Somit ist jede Teilchenbahn entweder unbeschränkt oder führt in die Singularität bei $u=\mathrm{\infty }$.

Literatur

• Tangherlini, F.R., "Schwarzschild field in n dimensions and the dimensionality of space problem", Nuovo Cim.27: 636-651 (1963)