Telegraphengleichung
Die Telegraphengleichung ist eine allgemeine Form der Wellengleichung. Sie ist eine partielle Differentialgleichung 2. Ordnung.
Allgemeines
Die Telegraphengleichung ist eine partielle Differentialgleichung (bei $ a>0 $ hyperbolisch, bei $ a<0 $ elliptisch und bei $ a=0 $ parabolisch) und lautet in der allgemeinen Form:
- $ \Delta {\vec {F}}=a\cdot {\frac {\partial ^{2}{\vec {F}}}{\partial t^{2}}}+b\cdot {\frac {\partial {\vec {F}}}{\partial t}}+c\cdot {\frac {\partial {\vec {F}}}{\partial x}}+d\cdot {\vec {F}} $.
Dabei ist $ \Delta {\vec {F}} $ der Laplace-Operator, in einer Orts-Dimension also $ \Delta {\vec {F}}={\frac {\partial ^{2}{\vec {F}}}{\partial x^{2}}} $. Die Ableitung nach $ x $ steht hier stellvertretend für die Ableitung nach Ortskoordinaten. Statt eines Vektors kann auch ein Skalar $ F $ stehen.
In dieser Form ist sie eine Gleichung, die viele andere lineare partielle Differentialgleichungen der Physik als Spezialfälle enthält (Wellengleichung, Diffusionsgleichung, Helmholtz-Gleichung, Potentialgleichung).
Telegraphengleichung mit a>0, b>0; c=d=0
Die Gleichungen sind allgemein vom Typ:
- $ \Delta {\vec {F}}=a{\frac {\partial ^{2}{\vec {F}}}{\partial t^{2}}}+b{\frac {\partial {\vec {F}}}{\partial t}} $
Der Vorfaktor $ a $ hat die Dimension eines inversen Geschwindigkeitsquadrats.
Zum Beispiel kann man mit den Materialgleichungen der Elektrodynamik die Maxwellgleichungen in ladungsfreien Raumgebieten umschreiben zu
- $ \Delta {\vec {E}}={\frac {\mu \varepsilon }{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}+\sigma \mu _{0}\mu {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}} $
und
- $ \Delta {\vec {H}}={\frac {\mu \varepsilon }{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {H}}}{\partial t^{2}}}+\sigma \mu _{0}\mu {\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}} $.
wobei $ c^{2}={\frac {1}{\mu _{0}\,\varepsilon _{0}}} $ (c der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum) benutzt wurde.
Das sind Wellengleichungen für ein verlustbehaftetes Dielektrikum. Im Fall eines Isolators ist $ \sigma =0 $ und die Maxwellgleichungen reduzieren sich zur (vektoriellen) Wellengleichung.
Telegraphengleichung mit a>0; b=c=d=0
Die Gleichungen sind allgemein vom Typ der Wellengleichung:
- $ \Delta F=a{\frac {\partial ^{2}F}{\partial t^{2}}} $
Insbesondere erhält man die ursprünglich von Oliver Heaviside eingeführten Telegraphengleichungen für die Spannung $ U $ und dem Strom $ I $ in einer Doppelleitung mit Induktivität $ L $ und Kapazität $ C $ (Auf die Länge bezogen und im Allgemeinen ortsabhängig):
- $ {\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}=L\,C{\frac {\partial ^{2}U}{\partial t^{2}}} $
bzw.
- $ {\frac {\partial ^{2}I}{\partial x^{2}}}=L\,C{\frac {\partial ^{2}I}{\partial t^{2}}} $
wobei Leitungsverluste vernachlässigt wurden. Da $ a=L\,C $ breitet sich die Welle mit der Geschwindigkeit $ {\frac {1}{\sqrt {(L\,C)}}} $ aus.
Ein weiteres Beispiel sind die oben angegebenen Wellengleichungen des elektromagnetischen Feldes im Fall keiner Verluste ($ \sigma =0 $ wie im freien Raum).
Literatur
- Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie. Praxisnahe, anschauliche Einführung. Elektromagnetische Felder, Maxwellsche Gleichungen, Gradient, Rotation, Divergenz, Finite Elemente, Finite Differenzen, Ersatzladungsverfahren, Boundary-Element-Methode, Momentenmethode, Monte-Carlo-Verfahren. 6. unveränderte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-42018-5.