Washburn-Gleichung

Die Washburn-Gleichung (nach Edward W. Washburn, der sie 1921 herleitete)^[1] beschreibt in der Physik die kapillare Strömung in porösen Materialien vereinfacht als:

$ L={\sqrt {\frac {\gamma \cdot D\cdot t\cdot \cos \phi }{4\cdot \eta }}} $

mit

• der Eindringtiefe $ L $, in die eine Flüssigkeit
• der Viskosität $ \eta $ und
• der Oberflächenspannung $ \gamma $ eindringt
• innerhalb der Zeit $ t $

in ein vollständig benetzbares Material

• mit dem durchschnittlichen Porendurchmesser $ D $ und
• dem Kontaktwinkel $ \phi $ zwischen Flüssigkeit und Material.

Popularität erlangte diese Gleichung in England durch den Physiker Len Fisher der Universität Bristol. Er demonstrierte die Anwendung der Gleichung anhand eines Kekstauchexperiments, um die Wissenschaft der Physik durch die Beschreibung alltäglicher Probleme zugänglicher zu machen.

Herleitung

Das Gesetz von Hagen-Poiseuille

$ {\frac {dV}{dt}}={\frac {\pi \cdot r^{4}}{8\cdot \eta }}{\frac {\Delta p}{l}} $

wird angewendet auf die Kapillarströmung einer Flüssigkeit in einem zylindrischen Rohr ohne Einwirkung eines äußeren Gravitationsfeldes.

Nach Einsetzen des Ausdrucks

$ dV=\pi r^{2}dl $

für ein differentielles Volumen, welches über die differentielle Länge $ dl $ einer Flüssigkeit in einem Rohr definiert wird, erhält man folgende Gleichung:

$ \Rightarrow {\frac {\delta l}{\delta t}}={\frac {\sum p}{8r^{2}\eta l}}(r^{4}+4\epsilon r^{3}). $

Darin ist

• $ \sum p=p_{a}+p_{h}+p_{c} $ die Summe aller wirkenden Drücke, darunter:
  • der atmosphärische Druck $ p_{a} $
  • der hydrostatische Druck $ p_{h} $ und
  • das Druckäquivalent Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p_c aufgrund von Kapillarkräften,
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \epsilon der Gleitreibungskoeffizient, welcher für benetzbare Materialien 0 wird,
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r der Radius der Kapillare.

Die einzelnen Druckkomponenten können folgendermaßen ausgedrückt werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p_h = \rho \cdot g \cdot h - \rho \cdot g \cdot l \sin \psi,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p_c = \frac{2 \cdot \gamma}r \cdot \cos \phi.

mit

• der Dichte $ \rho $ der Flüssigkeit
• dem Ausrichtungswinkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi des Rohres, bezogen auf eine horizontale Achse.

Das Einsetzen dieser Gleichungen für die einzelnen Drücke führt zu einer Differentialgleichung erster Ordnung, die die Eindringtiefe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): l der Flüssigkeit in das Rohr beschreibt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Rightarrow \frac{\delta l}{\delta t} = \frac{[p_a + g \rho (h - l \sin \psi) + \frac{2 \gamma}{r} \cos \phi](r^4 +4 \epsilon r^3)}{8 r^2 \eta l}.

Einzelnachweis

Weblinks

• Herleitung, Entwicklung und Anwendung der Washburn-Gleichung