Zweizustandssystem

schematische Darstellung eines Zwei-Zustands-Systems mit Absorption und Emission eines Energiequants

Ein Zwei-Zustands-System oder auch Zwei-Niveau-System in der Quantenmechanik ist ein einfaches, aber wichtiges Modellsystem, das zur Beschreibung vieler Situationen herangezogen werden kann. Das System kann sich nur in einem von zwei möglichen Zuständen, $\left|1\right\rangle$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left|2\right\rangle benannt, oder in einer Superposition dieser zwei Zustände befinden (Bra-Ket-Notation). Diese zwei Zustände haben dabei üblicherweise unterschiedliche Energien Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_1 und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_2 . Ein Beispiel ist etwa ein an ein Atom gebundenes Elektron, das eines von zwei Niveaus des Atomspektrums besetzen kann (Grundzustand, angeregter Zustand, siehe Abbildung rechts). Oft wird auch das Modellsystem eines quantenmechanischen Spins-1/2 (Drehimpulses) benutzt, der sich nur in zwei Einstellungen befinden kann. Zwischen den Niveaus existiert ein Übergang (z. B. ein optischer Übergang, der durch sichtbares Licht angeregt werden kann). Befindet sich das System einmal in einem der beiden Zustände, so bleibt es für immer dort, zumindest solange man das System nicht stört. Wird eine Störung in dem System eingeschaltet, so kann man beobachten, dass die Zustände ineinander übergehen können:

Befindet sich z. B. ein Elektron im Zustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left|1\right\rangle (der energetisch niedriger liege als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left|2\right\rangle ), so kann es durch einen resonant eingestrahlten Laser-Puls in den Zustand $\left|2\right\rangle$ übergehen. Ein Elektron im Zustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left|2\right\rangle kann durch Emission eines Photons, das die Differenzenergie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta E=E_2-E_1=\hbar\omega zwischen den Zuständen trägt, in den Zustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left|1\right\rangle zurückfallen. Die nebenstehende Abbildung zeigt das schematisch.

Liegt die Störung längere Zeit an, so oszilliert die Wahrscheinlichkeit, das Atom in einem der Zustände zu finden. Nach einer halben Oszillationsdauer ist die Wahrscheinlichkeit hoch, das Atom im angeregten Zustand vorzufinden, nach einer ganzen Dauer ist es höchstwahrscheinlich wieder im Grundzustand usw. Dieses Phänomen entspricht den Rabi-Oszillationen.

Mathematische Beschreibung im Rahmen der Quantenmechanik

Statische Behandlung

Zum gegebenen System gehört ein Hamiltonoperator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat H_0 . Die Zustände $\left|1\right\rangle ,\left|2\right\rangle$ sind Eigenzustände dieses Hamiltonians zu den Eigenwerten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_1, E_2 :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat H_0\left|n\right\rangle=E_{n}\cdot\left|n\right\rangle, \ \ \ \ \ n \in \left\{1, 2\right\}

Wird zusätzlich zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat H_0 eine hermitesche Störung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat W eingeschaltet, so sind $\left|1\right\rangle ,\left|2\right\rangle$ nicht mehr die Eigenzustände des neuen Hamiltonians Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat H=\hat H_0+\hat W . Die neuen Eigenzustände seien mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left|+\right\rangle, \left|-\right\rangle und die neuen Eigenenergien mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_+, E_- bezeichnet. Man erhält in der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \{\left|1\right\rangle, \left|2\right\rangle\} -Basis folgende Darstellung für ${\hat {H}}$ :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\hat H)=\begin{pmatrix} E_1+W_{11} & W_{12} \\ W_{21} & E_2+W_{22} \end{pmatrix},\ \ \ \ \ W_{12}=W_{21}^*

Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): W_{12}=W_{21}=0 , so verschieben sich lediglich die Energieeigenwerte; die Eigenzustände bleiben gleich. Es gilt dann:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_-=E_1+W_{11},\ \ \ \ \ E_+=E_2+W_{22}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left|-\right\rangle=\left|1\right\rangle,\ \ \ \ \ \left|+\right\rangle=\left|2\right\rangle

Energie-Verschiebung im gestörten Zwei-Zustands-System

Im Falle $W_{12}=W_{21}^{*}\neq 0$ nehmen wir der übersichtlicheren Darstellung wegen hier an, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): W_{11}=W_{22}=0 und erhalten dann:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_\pm=E_m\pm\sqrt{\Delta^2+|W_{12}|^2}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left|+\right\rangle=\cos\frac{\theta}{2}\cdot e^{-i\varphi/2}\cdot\left|1\right\rangle+\sin\frac{\theta}{2}\cdot e^{i\varphi/2}\cdot\left|2\right\rangle

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left|-\right\rangle=-\sin\frac{\theta}{2}\cdot e^{-i\varphi/2}\cdot\left|1\right\rangle+\cos\frac{\theta}{2}\cdot e^{i\varphi/2}\cdot\left|2\right\rangle

Dabei wurden folgende Definitionen verwendet:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_m=\frac{E_1+E_2}{2};\ \ \ \ \ \Delta=\frac{E_1-E_2}{2};\ \ \ \ \ \tan\theta=\frac{|W_{12}|}{\Delta};\ \ \ \ H_{12}=|H_{12}|\cdot e^{-i\varphi}.

Man sieht, dass in diesem Fall die Energie-Eigenwerte so verschoben werden, dass ihr Abstand größer wird:

E_{+}-E_{-}>E_{2}-E_{1}

Dieses Phänomen nennt man auch vermiedene Kreuzung (Englisch: avoided crossing oder avoided level crossing, manchmal auch level repulsion, Abstoßung der Energieniveaus), da die Energieniveaus ohne die Störung durch zwei sich kreuzende Linien dargestellt werden, während im gestörten System die Niveaus sich zwar annähern, aber nicht mehr kreuzen.

Oszillationen im QM-Zweizustandssystem

Zeitentwicklung

Wird das System zum Zeitpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t=0 im Eigenzustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left|1\right\rangle präpariert, so bleibt es für alle Zeiten in diesem Zustand. Wird nun aber die Störung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat W (mit nichtverschwindenden Nebendiagonal-Elementen) zugeschaltet, so ist die Wahrscheinlichkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_{12}(t) , das System zum Zeitpunkt t im Zustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left|2\right\rangle zu finden, nicht mehr 0. Dies ist im Wesentlichen darauf zurückzuführen, dass die Zustände $\left|1\right\rangle$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left|2\right\rangle keine Eigenzustände des Systems mehr sind. Aus der etwas umfangreichen Rechnung erhält man:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_{12}(t) = \frac{|W_{12}|^2}{|W_{12}|^2+\Delta^2}\cdot \sin^2\left[\frac{t\cdot\sqrt{|W_{12}|^2+\Delta^2}}{\hbar}\right]

Diese Oszillationen zwischen den Zuständen, wie sie auch die nebenstehende Abbildung zeigt, werden auch als Rabioszillationen bzw. als Rabiflops bezeichnet.

Literatur

Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë: Quantenmechanik 1/2. 2. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin – New York, S. 649 ff.

Weblinks

Jan Krieger: Theoretische Quantenmechanik und Anwendungen, 2007 (PDF-Datei; 4,26 MB)