Rotationsachse: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 16. September 2021, 15:38 Uhr

Eine Rotationsachse oder Drehachse ist eine Gerade, die eine Rotation oder Drehung beschreibt. Drehachsen spielen in verschiedenen Bereichen der Mathematik, der Technik und der Naturwissenschaften eine wichtige Rolle, sind aber jeweils speziell definiert. Je nach der Definition kann es sich um eine fiktive oder eine physikalisch reale Drehung handeln, in beliebigen oder fest definierten Winkeln.

Mathematik

Rotationskörper

Die Rotation eines Rechtecks bildet einen (vollen) Zylinder, Längsachse hier die x-Achse

Als Rotationsachse bezeichnet man bei einem Rotationskörper diejenige Gerade, um die man diesen in beliebigem Winkel drehen kann, ohne dass sich die Ansicht des Körpers verändert. In diesem Fall ist die Rotationsachse zugleich auch eine Symmetrieachse des Körpers. Die einzelnen Punkte des Körpers bewegen sich bei einer Rotation auf Kreisen in Ebenen senkrecht zur Rotationsachse. Der Begriff „Rotationskörper“ besagt, dass man sich dessen Entstehung durch Rotation einer durch eine Kurve begrenzten Ebene um die Rotationsachse denken kann. Bekannte Rotationskörper sind Zylinder, Kegel und Rotationsellipsoid.

Symmetrieachsen

Wenn die Ansicht eines Körpers nur in bestimmten Drehstellungen gleich ist, spricht man von einer Zähligkeit der Symmetrie bzw. der Drehachsen. Man unterscheidet zweizählige (Digyren), dreizählige (Trigyren), vierzählige (Tetragyren), fünfzählige (Pentagyren), sechszählige (Hexagyren) und vielzählige Symmetrie- bzw. Drehachsen.

Die Anzahl und Zähligkeit der Drehachsen bestimmen die Form des Körpers. So besitzt ein Würfel nicht nur – wie jeder Quader – drei zweizählige Drehachsen, sondern darüber hinaus vier senkrecht aufeinanderstehende dreizählige Drehachsen.

Die Kombination von Drehung und Achsenspiegelung führt zum Symmetrieelement der Drehspiegelachsen, diejenige von Drehung und Inversion zu den Drehinversionsachsen.

Drehsinn

Zur eindeutigen Beschreibung der Drehung muss die Drehrichtung definiert werden; dazu wird der Drehachse eine bestimmte Drehrichtung zugeteilt. Wenn sich der Kreis, vom Beobachter aus gesehen, im Uhrzeigersinn dreht, weist sein Blick in dieselbe Richtung wie die Richtung der Drehachse.

Physik

Körper können um beliebig viele Achsen frei gedreht werden. Eine besondere Bedeutung hat die Drehung um die Hauptträgheitsachsen für das Rotationsverhalten des Körpers. Auch bei der Beschreibung rotierender Bezugssysteme ist die Drehachse heranzuziehen.

Eine Rotationsachse lässt sich anhand eines Rades veranschaulichen. Die Rotationsachse steht senkrecht auf der Radscheibe und dem kreisförmigen Radreifen. In abstrakter Betrachtungsweise kommt man ohne Scheibe und Reifen aus. Alle Punkte des Rades bewegen sich auf Kreisbahnen, die Ebenen aufspannen, auf denen die Drehachse senkrecht steht.

Technik

Drehachsen des körperfesten Koordinatensystems

In der Technik wird der Begriff vorwiegend bei Drehungen um feste Rotationsachsen verwendet, z. B. bei Robotern. Bei freien Drehungen starrer Körpern im Raum wird der Begriff zwar auch gelegentlich benutzt, wird aber wegen der Mehrdeutigkeit bei Straßenfahrzeugen in der Normung (DIN ISO 8855 Fahrzeugdynamik und Fahrverhalten – Begriffe) nicht verwendet. Eindeutig ist die Angabe der Winkelgeschwindigkeit und der Bewegung des Bezugspunkts. Die Winkelgeschwindigkeit kann noch in Komponenten, z. B. um die Koordinatenachsen oder um die Hauptträgheitsachsen, angegeben werden.

In der Fahrzeugtechnik setzt sich die Winkelgeschwindigkeit des fahrzeugfesten Bezugssystems aus den Elementardrehungen um die Koordinatenachsen zusammen. Diese sind:

Längsachse: Rollachse (engl. roll axis) oder Wankachse (bei Landfahrzeugen): Rotation um die in Längsrichtung des Fahrzeugs verlaufende $$ x $$ -Achse.
Querachse: Nickachse (engl. pitch axis): Rotation um die $$ y $$ -Achse des Fahrzeugs. Bei Straßenfahrzeugen nach links
Hoch- oder Vertikalachse: Gierachse (engl. yaw axis): Rotation um die $$ z $$ -Achse des Fahrzeugs. Bei Straßenfahrzeugen nach oben.

Die tatsächliche Rotationsachse geht im Fall einer ebenen Bewegung durch den Momentanpol. Bei einer stationären Kurvenfahrt eines PKW auf ebener Fahrbahn wäre das der Kurvenmittelpunkt. Bei einer räumlicher Bewegung eines starren Körpers ist die Rotationsachse gleich der Schraubachse.

Kristallographie

Kristallstruktur von Eis mit sechszähliger Drehachse

Obwohl die Bausteine eines Kristalls nahezu unbeweglich sind (abgesehen von den Schwingungen um ihre Ruhelage), sind die Drehachsen als Symmetrieelemente unabdingbar zur Beschreibung sowohl der makroskopisch sichtbaren Kristallformen als auch der inneren Anordnung der Kristallbausteine (Kristallstruktur) in der Kristallographie.

Bei einer – theoretisch räumlich unbegrenzten – Kristallstruktur treten nur Achszähligkeiten von 2, 3, 4 und 6 auf. Bei der Beschreibung von Punktgruppen bzw. Kristallklassen mit Hilfe der Hermann-Mauguin-Symbolik werden zweizählige Drehachsen beispielsweise mit „2“ und dreizählige Drehachsen mit „3“ bezeichnet. Zur Kennzeichnung der Raumgruppen wird die Drehung mit der Translation verknüpft, wodurch man kristallographische Schraubenachsen erhält.

Wegen der Achszähligkeiten hat ein Kristall niemals die Form eines Rotationskörpers. Die Hauptdrehachsen sind bei makroskopischen Kristallen meist sehr auffällig und bilden die Grundlage für die Klassifikation der Kristallsysteme. Bei mikrokristallinen Stoffen wird die Lage der Drehachsen mit Hilfe der Röntgenstrukturanalyse aufgeklärt.

Molekülphysik bzw. Chemie

Drehachsen (blau markiert) in (v. l. n. r.) Wasser, Ammoniak, Xenonoxidtetrafluorid und Blausäure^[1]

Auch die Gestalt von Molekülen ist mit Symmetrieelementen beschreibbar. Diese geben an, durch welche Symmetrieoperationen das Molekül mit sich selbst zur Deckung gebracht werden kann. Da es sich bei Molekülen im Gegensatz zur Kristallstruktur um diskrete Objekte handelt, sind bei den Drehachsen prinzipiell alle Zähligkeiten möglich, z. B. eine fünfzählige Achse beim Ferrocen. Weiterhin gibt es die beliebige Zähligkeit in der Längsachse der Moleküle bei linearen Molekülen.

Im flüssigen Zustand, wo eine bedingte, und im gasförmigen Aggregatzustand eins Stoffes, wo eine freie Beweglichkeit der Moleküle vorliegt, können diese Drehachsen die Achsen realer Bewegungen sein.

Die Drehachsen werden in der Schoenflies-Symbolik mit $C_{n}$ bezeichnet, wobei „ $$ C $$ “ zyklisch bedeutet und der Index die Zähligkeit angibt. Lage, Anzahl und Zähligkeit der Drehachsen im Molekül beeinflussen in die Resultate der Schwingungs- und Rotationsspektroskopie.

Im Allgemeinen entspricht die Kristallsymmetrie eines Feststoffs nicht der Molekülsymmetrie seiner Bausteine. So besitzt das Wasser-Molekül eine zweizählige Drehachse, der Eiskristall jedoch eine sechszählige, was morphologisch in den hexagonalen Schneekristallen sichtbar wird.

Einzelnachweise

↑ Erwin Riedel und Christoph Janiak: Anorganische Chemie, 8. Auflage, 2011, Walter de Gruyter Verlag, S. 213, ISBN 978-3-11-022566-2.

en:Axis of rotation

[Riedel-1] Erwin Riedel und Christoph Janiak: Anorganische Chemie, 8. Auflage, 2011, Walter de Gruyter Verlag, S. 213, ISBN 978-3-11-022566-2.

[1]

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
-Eine '''Rotationsachse''' oder '''Drehachse''' ist eine [[Gerade]], um die ein [[Körper (Physik)|Körper]] sich dreht (''[[Rotation (Physik)|Rotation]]'') oder drehen kann.
+Eine '''Rotationsachse''' oder '''Drehachse''' ist eine [[Gerade]], die eine [[Rotation (Physik)|Rotation]] oder [[Drehung]] beschreibt. Drehachsen spielen in verschiedenen Bereichen der [[Mathematik]], der [[Technik]] und der [[Naturwissenschaft]]en eine wichtige Rolle, sind aber jeweils speziell definiert. Je nach der Definition kann es sich um eine fiktive oder eine physikalisch reale Drehung handeln, in beliebigen oder fest definierten Winkeln.
-== Veranschaulichungen und Anwendungsfälle ==
+== Mathematik ==
-Anschaulich machen lässt sich die Drehachse anhand des [[Rad]]es. Die Drehachse steht senkrecht auf den [[Radspeiche|Speichen]]. Sie steht auch senkrecht auf dem [[Radreifen]], der einen Kreis darstellt.
+=== Rotationskörper ===
-In abstrakter Betrachtungsweise kommt man ohne Speichen und Reifen aus. Wir ersetzen den Reifen durch Punkte, die sich auf einer Kreisbahn bewegen, deren Durchmesser ohne Belang ist. Der gedachte Kreis spannt eine Ebene auf, auf der die Drehachse senkrecht steht.
+[[Datei:Solid of revolution-Cylinder.svg|mini|Die Rotation eines [[Rechteck]]s bildet einen (vollen) [[Zylinder (Geometrie)|Zylinder]], Längsachse hier die [[x-Achse]]]]
+Als ''Rotationsachse'' bezeichnet man bei einem [[Rotationskörper]] diejenige Gerade, um die man diesen in beliebigem Winkel drehen kann, ohne dass sich die Ansicht des Körpers verändert. In diesem Fall ist die Rotationsachse zugleich auch eine Symmetrieachse des Körpers. Die einzelnen Punkte des Körpers bewegen sich bei einer Rotation auf Kreisen in Ebenen senkrecht zur Rotationsachse. Der Begriff „Rotationskörper“ besagt, dass man sich dessen Entstehung durch Rotation einer durch eine Kurve begrenzten Ebene um die Rotationsachse denken kann. Bekannte Rotationskörper sind [[Zylinder (Geometrie)|Zylinder]], [[Kegel (Geometrie)|Kegel]] und [[Rotationsellipsoid]].
-Die Drehachse kann jetzt noch eine Richtung bekommen, das heißt, sie kann in eine Richtung oder auch entgegengesetzt zeigen. Wenn sich der Kreis vom Beobachter aus gesehen, im Uhrzeigersinn dreht, weist sein Blick in dieselbe Richtung wie die Richtung der Drehachse. Dies ist eine Vereinbarung (Definition). Siehe dazu auch [[Drehrichtung]].
+=== Symmetrieachsen ===
+{{Hauptartikel|Symmetrieachse}}
+Wenn die Ansicht eines Körpers nur in bestimmten Drehstellungen gleich ist, spricht man von einer Zähligkeit der Symmetrie bzw. der [[Symmetrie (Geometrie)#Rotationssymmetrie / Drehsymmetrie|Drehachsen]]. Man unterscheidet zweizählige (Digyren), dreizählige (Trigyren), vierzählige (Tetragyren), fünfzählige (Pentagyren), sechszählige (Hexagyren) und vielzählige Symmetrie- bzw. Drehachsen.
-Bei Körpern, die sich frei im Raum drehen, z.&nbsp;B. [[Himmelskörper]]n, hängt die Rotationsachse in bestimmter Weise von der [[Massenverteilung]] im Körper ab. Wenn sich die Massenverteilung im Körper ändert, ändern sich im Allgemeinen auch die Rotationsachse des Körpers, aber genau so, dass der [[Drehimpuls]] erhalten bleibt ([[Drehimpulserhaltung]]).
+Die Anzahl und Zähligkeit der Drehachsen bestimmen die Form des Körpers. So besitzt ein [[Würfel (Geometrie)|Würfel]] nicht nur – wie jeder [[Quader]] – drei zweizählige Drehachsen, sondern darüber hinaus vier senkrecht aufeinanderstehende dreizählige Drehachsen.
-=== Geometrie ===
+Die Kombination von Drehung und [[Spiegelung (Geometrie)|Achsenspiegelung]] führt zum Symmetrieelement der ''Drehspiegelachsen'', diejenige von Drehung und [[Punktspiegelung|Inversion]] zu den ''Drehinversionsachsen''.
-[[Datei:Solid of revolution-Cylinder.svg|thumb|left|Die Rotation eines [[Rechteck]]s bildet einen (vollen) [[Zylinder (Geometrie)|Zylinder]], Längsachse hier die [[x-Achse]]]]
-Als ''Rotationsachse'' bezeichnet man bei einem [[Rotationskörper]] diejenige Gerade, um die man diesen drehen kann, ohne dass sich der Körper verändert. In diesem Fall ist die Rotationsachse gleichzeitig eine [[Symmetrieachse]] des Rotationskörpers. Man unterscheidet in diesem Fall zweizählige Drehachsen (Digyren), dreizählige Drehachsen (Trigyren), vierzählige Drehachsen (Tetragyren), fünfzählige Drehachsen (Pentagyren) und sechszählige Drehachsen (Hexagyren). Die Kombination von Drehung und [[Spiegelung (Geometrie)|Spiegelung]] führt zum Symmetrieelement der Drehspiegelachsen, diejenige von Drehung und [[Punktspiegelung|Inversion]] zu den Drehinversionsachsen ([[Gyroid|Gyroiden]]).
-=== Fahrzeugtechnik ===
+=== Drehsinn ===
-{{Linkbox Lagewinkel|klein}}
+Zur eindeutigen Beschreibung der Drehung muss die Drehrichtung definiert werden; dazu wird der Drehachse eine bestimmte [[Drehrichtung]] zugeteilt. Wenn sich der Kreis, vom Beobachter aus gesehen, im Uhrzeigersinn dreht, weist sein Blick in dieselbe Richtung wie die Richtung der Drehachse.
-In der Fahrzeugtechnik verwendet man drei wichtige Rotationsachsen der Bewegung:
-* [[Längsachse]]: ''[[Rollachse]]'' (engl. ''roll axis'') oder ''[[Wankachse]]'' (bei Landfahrzeugen): Drehung um die in Längsrichtung des Fahrzeugs verlaufende x-Achse. Für den [[Querneigung]]swinkel wird dabei auch die Bezeichnung ''banking'' gebraucht.
+== Physik ==
-* Querachse: ''[[Nickachse]]'' (engl. ''pitch axis'', selten auch ''nick axis''): Drehung um die y-Achse des Fahrzeugs.
+Körper können um beliebig viele Achsen frei gedreht werden. Eine besondere Bedeutung hat die Drehung um die [[Hauptträgheitsachse]]n für das Rotationsverhalten des Körpers. Auch bei der Beschreibung [[Bezugssystem#Rotierendes Bezugssystem|rotierender Bezugssysteme]] ist die Drehachse heranzuziehen.
-* Hoch- oder Vertikalachse: ''[[Gierachse]]'' (engl. ''yaw axis''): Drehung um die z-Achse des Referenzsystems. Für den Richtungswinkel werden dabei mitunter auch die Bezeichnungen ''heading'' oder ''[[Azimut]]'' gebraucht.
-=== Chemie ===
+Eine Rotationsachse lässt sich anhand eines [[Rad]]es veranschaulichen. Die Rotationsachse steht senkrecht auf der Radscheibe und dem kreisförmigen [[Radreifen]]. In abstrakter Betrachtungsweise kommt man ohne Scheibe und Reifen aus. Alle Punkte des Rades bewegen sich auf Kreisbahnen, die Ebenen aufspannen, auf denen die Drehachse senkrecht steht.
-[[Datei:Drehachsen V.1.png|miniatur|hochkant=1.4|left|Drehachsen (<span style="color:blue;">blau</span> markiert) in (v.l.n.r.) Wasser, Ammoniak, Xenonoxidtetrafluorid und Blausäure<ref name=Riedel>[[Erwin Riedel]] und Christoph Janiak: ''Anorganische Chemie'', 8. Auflage, 2011, Walter de Gruyter Verlag, S. 213, ISBN 978-3-11-022566-2.</ref>]]
-Die Symmetrie eines [[Molekül]]s ist mit [[Symmetrieelement]]en  beschreibbar. Dabei gibt ein Symmetrieelement an, durch welche [[Symmetrieoperation]] das Molekül mit sich selbst zur Deckung gebracht werden kann. Eines dieser Symmetrieelemente ist die Drehachse C<sub>n</sub> (siehe Abbildung).
-=== Kristallographie ===
+== Technik ==
-Drehachsen werden in der [[Kristallographie]] mit ihrer Zähligkeit bezeichnet. Digyren im [[#Geometrie|geometrischen Sinne]] also mit „2“, Trigyren mit „3“ usw. Die Gyroiden werden zusätzlich mit einem Querstrich auf der Ziffer versehen. Diese Nomenklatur wird in der Bezeichnung der [[Punktgruppe]]n bzw. [[Kristallklasse]]n nach Hermann und Mauguin verwendet. Für die Benennung von [[Raumgruppe]]n spielen zudem Kombinationen aus Drehung und [[Parallelverschiebung|Translation]], die Schraubenachsen eine Rolle.
+[[Datei:Roll pitch yaw gravitation center de.png|mini|Drehachsen des körperfesten Koordinatensystems]]
+In der Technik wird der Begriff vorwiegend bei Drehungen um feste Rotationsachsen verwendet, z.&nbsp;B. bei [[Roboter]]n. Bei freien Drehungen starrer Körpern im Raum wird der Begriff zwar auch gelegentlich benutzt, wird aber wegen der Mehrdeutigkeit bei Straßenfahrzeugen in der Normung (DIN ISO 8855 Fahrzeugdynamik und Fahrverhalten – Begriffe) nicht verwendet. Eindeutig ist die Angabe der [[Winkelgeschwindigkeit]] und der Bewegung des Bezugspunkts. Die Winkelgeschwindigkeit kann noch in Komponenten, z.&nbsp;B. um die Koordinatenachsen oder um die Hauptträgheitsachsen, angegeben werden.
-<div style="clear:both"></div>
+In der Fahrzeugtechnik setzt sich die Winkelgeschwindigkeit des fahrzeugfesten Bezugssystems aus den Elementardrehungen um die Koordinatenachsen zusammen. Diese sind:
-== Siehe auch ==
-* [[Umdrehung]]
+* [[Längsachse]]: ''[[Rollachse]]'' (engl. ''roll axis'') oder ''[[Wankachse]]'' (bei Landfahrzeugen): [[Rotation (Physik)|Rotation]] um die in Längsrichtung des Fahrzeugs verlaufende <math>x</math>-Achse.
-* [[Trägheitsmoment]]
+* Querachse: ''[[Nickachse]]'' (engl. ''pitch axis''): Rotation um die <math>y</math>-Achse des Fahrzeugs. Bei Straßenfahrzeugen nach links
-* [[Deviationsmoment]]
+* Hoch- oder Vertikalachse: ''[[Gierachse]]'' (engl. ''yaw axis''): Rotation um die <math>z</math>-Achse des Fahrzeugs. Bei Straßenfahrzeugen nach oben.
-* [[Winkelmessung]]
+Die tatsächliche Rotationsachse geht im Fall einer ebenen Bewegung durch den [[Momentanpol]]. Bei einer stationären Kurvenfahrt eines PKW auf ebener Fahrbahn wäre das der Kurvenmittelpunkt. Bei einer räumlicher Bewegung eines starren Körpers ist die Rotationsachse gleich der [[Schraubung|Schraubachse]].
+== Kristallographie ==
+[[Datei:cryst struct ice.png|mini|Kristallstruktur von Eis mit sechszähliger Drehachse]]
+Obwohl die Bausteine eines Kristalls nahezu unbeweglich sind (abgesehen von den Schwingungen um ihre Ruhelage), sind die Drehachsen als [[Symmetrie (Geometrie)#Symmetrien im Dreidimensionalen|Symmetrieelement]]e  unabdingbar zur Beschreibung sowohl der makroskopisch sichtbaren [[Kristallform]]en als auch der inneren Anordnung der Kristallbausteine ([[Kristallstruktur]]) in der [[Kristallographie]].
+Bei einer – theoretisch räumlich unbegrenzten – Kristallstruktur treten nur Achszähligkeiten von 2, 3, 4 und 6 auf. Bei der Beschreibung von [[Punktgruppe]]n bzw. [[Punktgruppe#Punktgruppen in der Kristallographie|Kristallklassen]] mit Hilfe der [[Hermann-Mauguin-Symbolik]] werden zweizählige Drehachsen beispielsweise mit „2“ und dreizählige Drehachsen mit „3“ bezeichnet. Zur Kennzeichnung der [[Raumgruppe]]n wird die Drehung mit der [[Parallelverschiebung|Translation]] verknüpft, wodurch man kristallographische ''Schraubenachsen'' erhält.
+Wegen der Achszähligkeiten hat ein Kristall niemals die Form eines Rotationskörpers. Die Hauptdrehachsen sind bei makroskopischen Kristallen meist sehr auffällig und bilden die Grundlage für die Klassifikation der [[Kristallsystem]]e. Bei mikrokristallinen Stoffen wird die Lage der Drehachsen mit Hilfe der [[Röntgenstrukturanalyse]] aufgeklärt.
+== Molekülphysik bzw. Chemie ==
+[[Datei:Drehachsen V.1.png|miniatur|hochkant=1|Drehachsen (<span style="color:blue;">blau</span> markiert) in (v.&nbsp;l.&nbsp;n.&nbsp;r.) Wasser, Ammoniak, Xenonoxidtetrafluorid und Blausäure<ref name=Riedel>[[Erwin Riedel]] und [[Christoph Janiak]]: ''Anorganische Chemie'', 8. Auflage, 2011, Walter de Gruyter Verlag, S. 213, ISBN 978-3-11-022566-2.</ref>]]
+Auch die Gestalt von [[Molekül]]en ist mit Symmetrieelementen beschreibbar. Diese geben an, durch welche [[Symmetrieoperation]]en das Molekül mit sich selbst zur Deckung gebracht werden kann. Da es sich bei Molekülen im Gegensatz zur Kristallstruktur um diskrete Objekte handelt, sind bei den Drehachsen prinzipiell alle Zähligkeiten möglich, z.&nbsp;B. eine fünfzählige Achse beim [[Ferrocen]]. Weiterhin gibt es die beliebige Zähligkeit in der Längsachse der Moleküle bei linearen Molekülen.
+Im flüssigen Zustand, wo eine bedingte, und im gasförmigen [[Aggregatzustand]] eins Stoffes, wo eine freie Beweglichkeit der Moleküle vorliegt, können diese Drehachsen die Achsen realer Bewegungen sein.
+Die Drehachsen werden in der [[Schoenflies-Symbolik]] mit <math>C_n</math> bezeichnet, wobei „<math>C</math>“ zyklisch bedeutet und der Index die Zähligkeit angibt. Lage, Anzahl und Zähligkeit der Drehachsen im Molekül beeinflussen in die Resultate der [[Schwingungsspektroskopie|Schwingungs-]] und [[Rotationsspektroskopie]].
+Im Allgemeinen entspricht die Kristallsymmetrie eines Feststoffs nicht der Molekülsymmetrie seiner Bausteine. So besitzt das Wasser-Molekül eine zweizählige Drehachse, der Eiskristall jedoch eine sechszählige, was morphologisch in den [[Hexagonales Kristallsystem|hexagonal]]en [[Schnee]]kristallen sichtbar wird.
 == Einzelnachweise ==