Sellmeier-Gleichung: Unterschied zwischen den Versionen
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Die '''Sellmeier-Gleichung''' ist in der [[Optik]] eine empirisch ermittelte, funktionelle Beschreibung der Abhängigkeit des [[Brechungsindex]] <math>n</math> eines lichtdurchlässigen Mediums von der [[Wellenlänge]] <math>\lambda</math> des | Die '''Sellmeier-Gleichung''' ist in der [[Optik]] eine empirisch ermittelte, funktionelle Beschreibung der Abhängigkeit des [[Brechungsindex]] <math>n</math> eines lichtdurchlässigen Mediums von der [[Wellenlänge]] <math>\lambda</math> des Lichts. Die Gleichung wurde nach [[Wolfgang von Sellmeier]] benannt, der sie 1871 in Anlehnung an die [[Cauchy-Gleichung]] und [[Kramers-Kronig-Relation]] veröffentlichte.<ref>{{Literatur |Autor=Dirk Poelman, Philippe Frederic Smet |Titel=Methods for the determination of the optical constants of thin films from single transmission measurements: a critical review |Sammelwerk=Journal of Physics D: Applied Physics |Band=36 |Nummer=15 |Datum=2003 |Seiten=1850-1857 |DOI=10.1088/0022-3727/36/15/316}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Wolfgang von Sellmeier |Titel=Zur Erklärung der abnormen Farbenfolge in Spectrum einiger Substanzen |Sammelwerk=Annalen der Physik und Chemie |Band=143 |Nummer= |Datum=1871 |Seiten=272–282 |Online={{Gallica| ID = bpt6k15227z| Seite= 284}} |DOI=10.1002/andp.18712190612}}</ref> | ||
Anwendung findet sie vor allem in der [[Technische Optik|technischen Optik]] zur Beschreibung der [[Dispersion (Physik)|Dispersion]] von [[Optisches Glas|optischem Glas]] und anderen optischen Werkstoffen. | Anwendung findet sie vor allem in der [[Technische Optik|technischen Optik]] zur Beschreibung der [[Dispersion (Physik)|Dispersion]] von [[Optisches Glas|optischem Glas]] und anderen optischen Werkstoffen. | ||
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[[ | [[Datei:Dispersion - Sellmeier vs Cauchy modell DE.svg|mini|Darstellung des Brechungsindex von [[Borsilikatglas]] (BK7) gegen die Wellenlänge. Im Diagramm werden die gemessenen Werte und entsprechende parametrische Anpassungen der Cauchy- bzw. Sellmeier-Gleichung miteinander verglichen.]] | ||
Die Sellmeier-Gleichung kann als Erweiterung der [[Cauchy-Gleichung]] aufgefasst werden, sie lautet: | Die Sellmeier-Gleichung kann als Erweiterung der [[Cauchy-Gleichung]] aufgefasst werden, sie lautet: | ||
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n^2(\lambda) = 1 | n^2(\lambda) \,=\, 1 | ||
+ \frac{B_1 \lambda^2 }{ \lambda^2 - C_1} | + \frac{B_1 \lambda^2 }{ \lambda^2 - C_1} | ||
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mit ''B''<sub>1,2,3</sub> und ''C''<sub>1,2,3</sub> als experimentell ermittelte '''Sellmeier-Koeffizienten'''. Die ''B''<sub>1,2,3</sub> sind dimensionslos | mit ''B''<sub>1,2,3</sub> und ''C''<sub>1,2,3</sub> als experimentell ermittelte '''Sellmeier-Koeffizienten'''. Die ''B''<sub>1,2,3</sub> sind dimensionslos und die ''C''<sub>1,2,3</sub> werden gewöhnlich in [[Meter#Gebräuchliche dezimale Vielfache|μm]]² angegeben. | ||
Die Genauigkeit im sichtbaren Bereich ist in der Regel besser als <math>\pm 5 \cdot 10^{-6}</math>. | Die Genauigkeit im sichtbaren Bereich ist in der Regel besser als <math>\pm 5 \cdot 10^{-6}</math>. | ||
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\frac{B_i \lambda^2 }{ \lambda^2 - C_i} | n^2(\lambda) \, = \, 1 + \sum_{i=1}^m\frac{B_i \lambda^2 }{ \lambda^2 - C_i} | ||
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Setzt man <math>C_i = \lambda_i^2</math>, | Setzt man <math>C_i = \lambda_i^2</math>, | ||
Aktuelle Version vom 28. Juli 2020, 16:32 Uhr
Die Sellmeier-Gleichung ist in der Optik eine empirisch ermittelte, funktionelle Beschreibung der Abhängigkeit des Brechungsindex $ n $ eines lichtdurchlässigen Mediums von der Wellenlänge $ \lambda $ des Lichts. Die Gleichung wurde nach Wolfgang von Sellmeier benannt, der sie 1871 in Anlehnung an die Cauchy-Gleichung und Kramers-Kronig-Relation veröffentlichte.[1][2] Anwendung findet sie vor allem in der technischen Optik zur Beschreibung der Dispersion von optischem Glas und anderen optischen Werkstoffen.
Mathematische Beschreibung
| Koeffizient | Wert |
|---|---|
| B1 | 1,03961212 |
| B2 | 0,231792344 |
| B3 | 1,01046945 |
| C1 | 6,00069867·10−3 μm2 |
| C2 | 2,00179144·10−2 μm2 |
| C3 | 103,560653 μm2 |
Die Sellmeier-Gleichung kann als Erweiterung der Cauchy-Gleichung aufgefasst werden, sie lautet:
- $ n^{2}(\lambda )\,=\,1+{\frac {B_{1}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{1}}}+{\frac {B_{2}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{2}}}+{\frac {B_{3}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{3}}} $
mit B1,2,3 und C1,2,3 als experimentell ermittelte Sellmeier-Koeffizienten. Die B1,2,3 sind dimensionslos und die C1,2,3 werden gewöhnlich in μm² angegeben.
Die Genauigkeit im sichtbaren Bereich ist in der Regel besser als $ \pm 5\cdot 10^{-6} $.
Der rechte Term der Gleichung kann für eine größere Genauigkeit auch um weitere Summanden erweitert werden:
- $ n^{2}(\lambda )\,=\,1+\sum _{i=1}^{m}{\frac {B_{i}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{i}}} $
Setzt man $ C_{i}=\lambda _{i}^{2} $, so lassen sich die $ \lambda _{i} $ als Resonanzwellenlängen von Absorptionslinien oder -banden erklären.
Siehe auch
Einzelnachweise
- ↑ Dirk Poelman, Philippe Frederic Smet: Methods for the determination of the optical constants of thin films from single transmission measurements: a critical review. In: Journal of Physics D: Applied Physics. Band 36, Nr. 15, 2003, S. 1850–1857, doi:10.1088/0022-3727/36/15/316.
- ↑ Wolfgang von Sellmeier: Zur Erklärung der abnormen Farbenfolge in Spectrum einiger Substanzen. In: Annalen der Physik und Chemie. Band 143, 1871, S. 272–282, doi:10.1002/andp.18712190612 (Digitalisat auf Gallica).