Stokessche Gleichung: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 4. Juni 2021, 07:33 Uhr

Stromlinien um eine sinkende Kugel in einer Flüssigkeit; Die Auftriebskraft ist hier bezeichnet mit

F_{d}

und die Gravitationskraft mit

F_{g}

.

Die Stokessche Gleichung, welche auf dem Gesetz von Stokes aufbaut, dient zur Berechnung der Sedimentationsgeschwindigkeit sphärischer Körper in einer Flüssigkeit oder einem Gas. Bei nicht kugelförmigen Körpern wird anstatt des Partikelradius $$ r $$ der halbe Äquivalentdurchmesser verwendet.

Die Stokessche Gleichung ist gültig für langsame Sedimentation bei Reynolds-Zahlen deutlich kleiner als eins, das heißt, vernachlässigbaren Trägheitskräften im umströmenden Fluid.

Aus dem Ansatz

F_{\text{Reibung}}=F_{\text{Gewicht}}-F_{\text{Auftrieb}}

folgt mit

F_{\text{Reibung}}=6\;\pi \;r\;\eta \;v_{\text{p}}\!

(Stokes-Reibung),

F_{\text{Auftrieb}}=\rho _{\text{f}}\;V_{\text{p}}\;g

(statischer Auftrieb) und

F_{\text{Gewicht}}=\rho _{\text{p}}\;V_{\text{p}}\;g

(Gravitation)

die konstante Sinkgeschwindigkeit

v_{\text{p}}={\frac {2}{9}}{\frac {r^{2}\;g\;(\rho _{\text{p}}-\rho _{\text{f}})}{\eta }}

.

Die einzelnen Formelzeichen stehen für folgende Größen:

$v_{\text{p}}$ – Sedimentationsgeschwindigkeit
$$ r $$ – Radius des sinkenden Gegenstandes
$V_{\text{p}}$ – Volumen des Partikels (für Kugeln: $V_{\text{k}}={\frac {4}{3}}\pi \,r^{3}$ )
$$ g $$ – Erdbeschleunigung
$\rho _{\text{p}}$ – Dichte des Partikels
$\rho _{\text{f}}$ – Dichte des Fluids
$\eta$ – dynamische Viskosität des Fluids.

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 {{Dieser Artikel|bezieht sich auf die Stokessche Gleichung. Zu weiteren Gesetzmäßigkeiten, Regeln und Sätzen, die der Physiker und Mathematiker Sir George Gabriel Stokes aufgestellt hat, siehe [[Stokessche Gesetze]].}}
-[[File:Stokes sphere.svg|thumb|[[Stromlinie]]n um eine sinkende Kugel in einer Flüssigkeit; Die Auftriebskraft ist hier bezeichnet mit <math>F_d</math> und die Gravitationskraft mit <math>F_g</math>.]]
+[[Datei:Stokes sphere.svg|mini|[[Stromlinie]]n um eine sinkende Kugel in einer Flüssigkeit; Die Auftriebskraft ist hier bezeichnet mit <math>F_d</math> und die Gravitationskraft mit <math>F_g</math>.]]
-Die '''Stokessche Gleichung''', welche auf dem [[Gesetz von Stokes]] aufbaut, dient zur Berechnung der [[Sedimentationsgeschwindigkeit]] [[Sphäre (Mathematik)|sphärischer Körper]] in einer Flüssigkeit. Bei nichtsphärischen Körpern wird als grobe Näherung anstatt des Partikel[[radius]] <math>r</math> auch dessen halbierter [[Äquivalentdurchmesser]] verwendet.
+Die '''Stokessche Gleichung''', welche auf dem [[Gesetz von Stokes]] aufbaut, dient zur Berechnung der [[Sedimentationsgeschwindigkeit]] [[Sphäre (Mathematik)|sphärischer Körper]] in einer Flüssigkeit oder einem Gas. Bei nicht kugelförmigen Körpern wird anstatt des Partikel[[radius]] <math>r</math> der halbe [[Äquivalentdurchmesser]] verwendet.
-Die Stokessche Gleichung ist gültig für langsame Sedimentation bei [[Reynolds-Zahl]]en kleiner als eins ([[laminare Strömung]]). Dies ist der Fall, wenn die [[Trägheit]] des [[Fluid]]s unbedeutend ist für die Strömung, die durch den sinkenden Körper bewirkt wird. Bei höherer Reynolds-Zahl muss auch die Entstehung von [[Wirbel (Strömungslehre)|Wirbeln]] berücksichtigt werden ([[turbulente Strömung]]), dann gilt die u.&nbsp;g. Formel nicht mehr.
+Die Stokessche Gleichung ist gültig für langsame Sedimentation bei [[Reynolds-Zahl]]en deutlich kleiner als eins, das heißt, vernachlässigbaren [[Trägheit]]skräften im umströmenden [[Fluid]].
-Aus dem Ansatz <math>F_\text{Reibung} = F_\text{Gewicht} - F_\text{Auftrieb}</math> folgt mit
+Aus dem Ansatz
-:<math>F_\text{Reibung} = 6 \; \pi \; r \; \eta \; v_p \! </math>   ([[Gesetz_von_Stokes|Stokes-Reibung]]) und
+:<math>F_\text{Reibung} = F_\text{Gewicht} - F_\text{Auftrieb}</math>
-:<math>F_\text{Auftrieb} = \rho_f \; V_p \; g </math>  ([[statischer Auftrieb]])
-:<math>F_\text{Gewicht} = \rho_p \; V_p \; g </math>  ([[Gravitation]])
-die konstante Sinkgeschwindigkeit
+folgt mit
-:<math>v_p = \frac 2 9 \cdot \frac{r^2 \; g \;(\rho_p - \rho_f)} \eta</math>
+:<math>F_\text{Reibung} = 6 \; \pi \; r \; \eta \; v_\text{p} \! </math>   ([[Gesetz von Stokes|Stokes-Reibung]]),
+:<math>F_\text{Auftrieb} = \rho_\text{f} \; V_\text{p} \; g </math>  ([[statischer Auftrieb]]) und
+:<math>F_\text{Gewicht} = \rho_\text{p} \; V_\text{p} \; g </math>  ([[Gravitation]])
+die konstante Sinkgeschwindigkeit
+:<math>v_\text{p} = \frac{2}{9} \frac{r^2 \; g \;(\rho_\text{p} - \rho_\text{f})} \eta</math>.
 Die einzelnen [[Formelzeichen]] stehen für folgende [[Physikalische Größe|Größen]]:
-*<math>v_p</math> - Sedimentationsgeschwindigkeit
+*<math>v_\text{p}</math> – Sedimentationsgeschwindigkeit
-*<math>r</math> - Radius des sinkenden Gegenstandes
+*<math>r</math> – Radius des sinkenden Gegenstandes
-*<math>V_p</math> - Volumen des Partikels (für Kugeln: <math>V_k = \frac 4 3 \pi \, r^3</math>)
+*<math>V_\text{p}</math> – Volumen des Partikels (für Kugeln: <math>V_\text{k} = \frac 4 3 \pi \, r^3</math>)
-*<math>g</math> - [[Erdbeschleunigung]]
+*<math>g</math> – [[Erdbeschleunigung]]
-*<math>\rho_p</math> - [[Dichte|Dichte]] des Partikels
+*<math>\rho_\text{p}</math> – [[Dichte]] des Partikels
-*<math>\rho_f</math> - Dichte des Fluids
+*<math>\rho_\text{f}</math> – Dichte des Fluids
-*<math>\eta</math> - [[Viskosität|dynamische Viskosität]] des Fluids.
+*<math>\eta</math> – [[Viskosität|dynamische Viskosität]] des Fluids.
 [[Kategorie:Strömungsmechanik]]
-[[Kategorie:Bodenkunde]]