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Die thermodynamisch korrekte Version der Gleichung ist | Die thermodynamisch korrekte Version der Gleichung ist | ||
:<math>\frac{\mathrm dp}{\mathrm dT} = \frac{\ | :<math>\frac{\mathrm dp}{\mathrm dT} = \frac{\Delta_\mathrm{vap} H}{\Delta_\mathrm{vap} V \cdot T}</math> | ||
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* <math>p</math> | * <math>p</math> – [[Dampfdruck]] | ||
* <math>T</math> | * <math>T</math> – [[Temperatur]] in [[Kelvin|K]] | ||
* <math>\ | *<math>\Delta_\mathrm{vap} H</math> – [[molare Größe|molare]] [[Verdampfungsenthalpie]] (Index <math>\mathrm{vap}</math> für [[Verdampfung]] bzw. {{EnS|''vapor''}} = [[Dampf]]) und | ||
* <math>\ | *<math>\Delta_\mathrm{vap} V = V_\mathrm{m(g)} - V_\mathrm{m(fl)}</math> – Änderung des [[molares Volumen|molaren Volumens]] zwischen gasförmiger und flüssiger Phase. | ||
== Approximation im Falle eines idealen Gases == | == Approximation im Falle eines idealen Gases == | ||
Im Regelfall bezeichnet man als '''Clausius-Clapeyron-Gleichung''' die näherungsweise gültige Gleichung | Im Regelfall bezeichnet man als '''Clausius-Clapeyron-Gleichung''' die näherungsweise gültige Gleichung | ||
:<math>\frac{1}{p} \, \mathrm{d}p = \frac{\ | :<math>\frac{1}{p} \, \mathrm{d}p = \frac{\Delta_\mathrm{vap} H}{R \cdot T^2} \, \mathrm{d}T</math> | ||
mit | mit | ||
* <math>R = 8,314\,462\;\mathrm{J \, mol^{-1} \, K^{-1}}</math> | * <math>R = 8{,}314\,462\;\mathrm{J \, mol^{-1} \, K^{-1}}</math> – [[universelle Gaskonstante]]. | ||
Herleitung: | Herleitung:<br />Da bei den meisten Verwendungszwecken das molare Volumen des Gases deutlich größer ist als das der Flüssigkeit: | ||
Da bei den meisten Verwendungszwecken das molare Volumen des Gases deutlich größer ist als das der Flüssigkeit: | |||
:<math>V_\mathrm{m(g)} \gg V_\mathrm{m(fl)},</math> | :<math>V_\mathrm{m(g)} \gg V_\mathrm{m(fl)},</math> | ||
wurde gegenüber der thermodynamisch korrekten Gleichung die Volumendifferenz <math>\ | wurde gegenüber der thermodynamisch korrekten Gleichung die Volumendifferenz <math>\Delta_\mathrm{vap} V</math> durch das molare Volumen <math>V_\mathrm{m(g)}</math> des Gases ausgedrückt: | ||
:<math>\Rightarrow \ | :<math>\Rightarrow \Delta_\mathrm{vap} V \approx V_\mathrm{m(g)}.</math> | ||
Außerdem wurde für die gasförmige Phase ein [[ | Außerdem wurde für die gasförmige Phase ein [[ideales Gas]] angenommen, für das folgende [[Gasgleichung|Zustandsgleichung]] gilt: | ||
:<math>V_\mathrm{m(g)} = \frac{RT}{p}.</math> | :<math>V_\mathrm{m(g)} = \frac{RT}{p}.</math> | ||
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Betrachtet man die Verdampfungsenthalpie eines Stoffes als konstant über einen kleinen Temperaturbereich (<math>T_1</math> bis <math>T_2</math>), so kann die Clausius-Clapeyron-Gleichung über diesen Temperaturbereich integriert werden. Dann gilt: | Betrachtet man die Verdampfungsenthalpie eines Stoffes als konstant über einen kleinen Temperaturbereich (<math>T_1</math> bis <math>T_2</math>), so kann die Clausius-Clapeyron-Gleichung über diesen Temperaturbereich integriert werden. Dann gilt: | ||
:<math>\ln | :<math>\ln \frac{p_2}{p_1} = \frac {\Delta_\mathrm{vap} H}{R} \cdot \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right)</math> | ||
mit | mit | ||
* dem bekannten [[Sättigungsdampfdruck]] <math>p_1</math> und der Temperatur <math>T_1</math> des Ausgangszustands, | * dem bekannten [[Sättigungsdampfdruck]] <math>p_1</math> und der Temperatur <math>T_1</math> des Ausgangszustands, | ||
* dem Druck <math>p_2</math> und der Temperatur <math>T_2</math> des zu berechnenden Zustands. | * dem Druck <math>p_2</math> und der Temperatur <math>T_2</math> des zu berechnenden Zustands. | ||
== Weblinks == | |||
* {{TIBAV|15670|Linktext=Dampfdruck von reinen Stoffen nach Clausius-Clapeyron – Wie wohl fühlt sich eine Komponente in einer Phase?|Herausgeber=Lauth|Jahr=2013|DOI=10.5446/15670}} | |||
== Literatur == | == Literatur == | ||
Die Clausius-Clapeyron-Gleichung wurde 1834 von Émile Clapeyron entwickelt und später von Rudolf Clausius aus den Theorien der Thermodynamik abgeleitet. Sie ist eine Spezialform der Clapeyron-Gleichung (Herleitung dort). Über die Clausius-Clapeyron-Gleichung lässt sich der Verlauf der Siedepunktskurve errechnen, d. h. der Phasengrenzlinie eines Phasendiagramms zwischen der flüssigen und der gasförmigen Phase eines Stoffes.
Die thermodynamisch korrekte Version der Gleichung ist
mit
Im Regelfall bezeichnet man als Clausius-Clapeyron-Gleichung die näherungsweise gültige Gleichung
mit
Herleitung:
Da bei den meisten Verwendungszwecken das molare Volumen des Gases deutlich größer ist als das der Flüssigkeit:
wurde gegenüber der thermodynamisch korrekten Gleichung die Volumendifferenz $ \Delta _{\mathrm {vap} }V $ durch das molare Volumen $ V_{\mathrm {m(g)} } $ des Gases ausgedrückt:
Außerdem wurde für die gasförmige Phase ein ideales Gas angenommen, für das folgende Zustandsgleichung gilt:
Betrachtet man die Verdampfungsenthalpie eines Stoffes als konstant über einen kleinen Temperaturbereich ($ T_{1} $ bis $ T_{2} $), so kann die Clausius-Clapeyron-Gleichung über diesen Temperaturbereich integriert werden. Dann gilt:
mit