Dreikörperproblem: Unterschied zwischen den Versionen
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Das Dreikörperproblem galt seit den Entdeckungen von [[Johannes Kepler]] und [[ | Das Dreikörperproblem galt seit den Entdeckungen von [[Johannes Kepler]] und [[Nikolaus Kopernikus]] als eines der schwierigsten mathematischen Probleme, mit dem sich im Laufe der Jahrhunderte viele bekannte Mathematiker wie [[Alexis-Claude Clairaut]], [[Leonhard Euler]], [[Joseph-Louis Lagrange]], [[Thorvald Nicolai Thiele]], [[George William Hill]] und [[Henri Poincaré]] beschäftigten. Im allgemeinen Fall erfolgt die Bewegung [[Chaosforschung|chaotisch]] und kann nur numerisch berechnet werden. | ||
Die beiden Grafiken zeigen ein Beispiel für eine Simulationsrechnung. In kleinen Zeitintervallschritten werden die angreifenden Gravitationskräfte und daraus die Verschiebung berechnet. Selbst bei identischen Ausgangsbedingungen erhält man völlig verschiedene Prognosen, wenn die Länge der Zeitintervalle variiert. | |||
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== Sonderfall == | == Sonderfall == | ||
Den Spezialfall, dass einer der drei Körper eine verschwindend kleine Masse hat und seine Wirkung auf die beiden anderen vernachlässigt werden kann, bezeichnet man als ''eingeschränktes Dreikörperproblem'' | Den Spezialfall, dass einer der drei Körper eine verschwindend kleine Masse hat und seine Wirkung auf die beiden anderen vernachlässigt werden kann, bezeichnet man als '''eingeschränktes Dreikörperproblem.''' Er spielt in der [[Astronomie]] eine wichtige Rolle (z. B. bei Forschungssatelliten wie bei der [[Planetary Grand Tour]]), die auf das Problem der [[Lagrange-Punkte]] führt. | ||
== Allgemeine Aussagen == | == Allgemeine Aussagen == | ||
Das [[Zweikörperproblem]] ist durch die [[Keplersche Gesetze|Kepler’schen Gesetze]] analytisch lösbar. Dagegen sind die Integrale im Fall von | Das [[Zweikörperproblem]] ist durch die [[Keplersche Gesetze|Kepler’schen Gesetze]] analytisch lösbar. Dagegen sind die Integrale im Fall von mehr als zwei [[Himmelskörper]]n keine algebraischen Integrale mehr<ref>Nach einem Theorem von [[Henri Poincaré|Poincaré]], das einen Satz von [[Heinrich Bruns (Mathematiker)|Bruns]] verallgemeinert.</ref> und nicht mehr mit [[Elementare Funktion|elementaren Funktionen]] lösbar. [[Karl Frithiof Sundman]] konnte Anfang des 20. Jahrhunderts als Erster eine analytische Lösung des Dreikörperproblems in Form einer [[Grenzwert (Folge)|konvergenten]] [[Potenzreihe]] angeben, unter der Annahme, dass der Gesamt[[drehimpuls]] des Systems nicht verschwindet und es deshalb nicht zu einem [[Dreierstoß]] kommt, bei dem der Abstand aller drei Körper Null beträgt. Für praktische Berechnungen ist Sundmans Lösung allerdings nicht brauchbar, da bei der Summe mindestens 10 hoch 8.000.000 Terme berücksichtigt werden müssten, um eine hinreichende Genauigkeit zu erzielen.<ref>June Barrow-Green: ''[https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0315086009001360 The dramatic episode of Sundman.]'' In: Abschnitt ''9. The reception of Sundman’s work.''<br />{{Zitat|In 1930 David Beloriszky […] calculated that if Sundman’s series were going to be used for astronomical observations then the computations would involve at least 10<sup>8,000,000</sup> terms!}}</ref> | ||
Die [[Stabilität]] eines Dreikörpersystems wird durch das [[Kolmogorow-Arnold-Moser-Theorem]] beschrieben. | Die [[Stabilität (Numerik)|Stabilität]] eines Dreikörpersystems wird durch das [[Kolmogorow-Arnold-Moser-Theorem]] beschrieben. | ||
Näherungs- oder exakte Lösungen sind in manchen Fällen möglich: | Näherungs- oder exakte Lösungen sind in manchen Fällen möglich: | ||
* Wenn die [[Masse (Physik)|Masse]] eines der Himmelskörper klein ist, dann löst man das Dreikörperproblem [[Iteration|iterativ]], heutzutage mit [[Computer]]n, oder berechnet [[Bahnstörung]]en, | * Wenn die [[Masse (Physik)|Masse]] eines der Himmelskörper klein ist, dann löst man das Dreikörperproblem [[Iteration|iterativ]], heutzutage mit [[Computer]]n, oder berechnet [[Bahnstörung]]en, die der kleinste (leichteste) Körper durch die größeren (schwereren) erleidet. | ||
* Exakt lösbar ist der schon erwähnte Sonderfall des Gleichgewichts der Anziehungskraft zweier großer (schwerer) Körper auf einen verschwindend | * Exakt lösbar ist der schon erwähnte Sonderfall des Gleichgewichts der Anziehungskraft zweier großer (schwerer) Körper auf einen verschwindend kleinen (leichten) Körper (unter Berücksichtigung der im sich drehenden Bezugssystem auftretenden [[Trägheitskraft|Scheinkräfte]]) in den [[Lagrange-Punkte]]n L<sub>1</sub> bis L<sub>5</sub>. Der innere Punkt L<sub>1</sub> wird beispielsweise in der [[Raumfahrt]] zur [[Sonnenforschung]] verwendet. Das Sonnenobservatorium [[Solar and Heliospheric Observatory|SOHO]] befindet sich dort. | ||
* Für den Fall dreier gleicher Massen gibt es eine Lösung, bei der die Objekte auf einer gemeinsamen Bahn, die die Form eines [[Unendlichzeichen]]s (<math>\infty</math>) hat, hintereinander herlaufen. | * Für den Fall dreier gleicher Massen gibt es eine Lösung, bei der die Objekte auf einer gemeinsamen Bahn, die die Form eines [[Unendlichzeichen]]s (<math>\infty</math>) hat, hintereinander herlaufen. | ||
== Verallgemeinerung == | == Verallgemeinerung == | ||
Die Verallgemeinerung des Dreikörperproblems ist das | Die Verallgemeinerung des Dreikörperproblems ist das '''Mehrkörperproblem.''' Allgemeine Mehrkörperprobleme behandelt man durch ''[[Mehrkörpersimulation]]en.'' | ||
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Im [[Science-Fiction-Roman]] ''[[Die drei Sonnen]]'' des chinesischen Autors [[Liu Cixin|Cixin Liu]] spielt das Dreikörperproblem eine entscheidende Rolle bei der Verständigung mit einer außerirdischen [[Zivilisation]]. | |||
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* [[Sitnikov-Problem]] | * [[Sitnikov-Problem]] | ||
== Literatur == | |||
*[[Victor Szebehely]]: ''The theory of orbits: The Restricted Problem of Three Bodies'', Academic Press 1967 | |||
* Richard Montgomery: ''Das Dreikörper-Problem.'' In: ''[[Spektrum der Wissenschaft]].'' 2020, Heft 3, S. 12–19. | |||
== Weblinks == | == Weblinks == | ||
{{Wikibooks|Das Mehrkörperproblem in der Astronomie}} | |||
* [http://kappelhoff.wiwi.uni-wuppertal.de/fileadmin/kappelhoff/Downloads/Veroeffentlichungen/cckk.pdf Chaos und Komplexitätstheorie] (PDF | * ''[http://kappelhoff.wiwi.uni-wuppertal.de/fileadmin/kappelhoff/Downloads/Veroeffentlichungen/cckk.pdf Chaos und Komplexitätstheorie.]'' (PDF; 31 kB). | ||
* [http://www.eberl.net/chaos/Sem/Krause/D_index.html Numerische Berechnungen von Planetenbahnen] | * ''[http://www.eberl.net/chaos/Sem/Krause/D_index.html Numerische Berechnungen von Planetenbahnen.]'' | ||
== Anmerkungen == | |||
<references /> | |||
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Aktuelle Version vom 30. Januar 2022, 20:07 Uhr
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Das Dreikörperproblem der Himmelsmechanik besteht darin, eine Lösung (Vorhersage) für den Bahnverlauf dreier Körper unter dem Einfluss ihrer gegenseitigen Anziehung (Newtonsches Gravitationsgesetz) zu finden. Um quantitative Resultate zu erlangen, muss es im allgemeinen Fall bislang numerisch gelöst werden.
Mathematisch-Historisches
Das Dreikörperproblem galt seit den Entdeckungen von Johannes Kepler und Nikolaus Kopernikus als eines der schwierigsten mathematischen Probleme, mit dem sich im Laufe der Jahrhunderte viele bekannte Mathematiker wie Alexis-Claude Clairaut, Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange, Thorvald Nicolai Thiele, George William Hill und Henri Poincaré beschäftigten. Im allgemeinen Fall erfolgt die Bewegung chaotisch und kann nur numerisch berechnet werden.
Die beiden Grafiken zeigen ein Beispiel für eine Simulationsrechnung. In kleinen Zeitintervallschritten werden die angreifenden Gravitationskräfte und daraus die Verschiebung berechnet. Selbst bei identischen Ausgangsbedingungen erhält man völlig verschiedene Prognosen, wenn die Länge der Zeitintervalle variiert.
Sonderfall
Den Spezialfall, dass einer der drei Körper eine verschwindend kleine Masse hat und seine Wirkung auf die beiden anderen vernachlässigt werden kann, bezeichnet man als eingeschränktes Dreikörperproblem. Er spielt in der Astronomie eine wichtige Rolle (z. B. bei Forschungssatelliten wie bei der Planetary Grand Tour), die auf das Problem der Lagrange-Punkte führt.
Allgemeine Aussagen
Das Zweikörperproblem ist durch die Kepler’schen Gesetze analytisch lösbar. Dagegen sind die Integrale im Fall von mehr als zwei Himmelskörpern keine algebraischen Integrale mehr[1] und nicht mehr mit elementaren Funktionen lösbar. Karl Frithiof Sundman konnte Anfang des 20. Jahrhunderts als Erster eine analytische Lösung des Dreikörperproblems in Form einer konvergenten Potenzreihe angeben, unter der Annahme, dass der Gesamtdrehimpuls des Systems nicht verschwindet und es deshalb nicht zu einem Dreierstoß kommt, bei dem der Abstand aller drei Körper Null beträgt. Für praktische Berechnungen ist Sundmans Lösung allerdings nicht brauchbar, da bei der Summe mindestens 10 hoch 8.000.000 Terme berücksichtigt werden müssten, um eine hinreichende Genauigkeit zu erzielen.[2]
Die Stabilität eines Dreikörpersystems wird durch das Kolmogorow-Arnold-Moser-Theorem beschrieben.
Näherungs- oder exakte Lösungen sind in manchen Fällen möglich:
- Wenn die Masse eines der Himmelskörper klein ist, dann löst man das Dreikörperproblem iterativ, heutzutage mit Computern, oder berechnet Bahnstörungen, die der kleinste (leichteste) Körper durch die größeren (schwereren) erleidet.
- Exakt lösbar ist der schon erwähnte Sonderfall des Gleichgewichts der Anziehungskraft zweier großer (schwerer) Körper auf einen verschwindend kleinen (leichten) Körper (unter Berücksichtigung der im sich drehenden Bezugssystem auftretenden Scheinkräfte) in den Lagrange-Punkten L1 bis L5. Der innere Punkt L1 wird beispielsweise in der Raumfahrt zur Sonnenforschung verwendet. Das Sonnenobservatorium SOHO befindet sich dort.
- Für den Fall dreier gleicher Massen gibt es eine Lösung, bei der die Objekte auf einer gemeinsamen Bahn, die die Form eines Unendlichzeichens ($ \infty $) hat, hintereinander herlaufen.
Verallgemeinerung
Die Verallgemeinerung des Dreikörperproblems ist das Mehrkörperproblem. Allgemeine Mehrkörperprobleme behandelt man durch Mehrkörpersimulationen.
Trivia
Im Science-Fiction-Roman Die drei Sonnen des chinesischen Autors Cixin Liu spielt das Dreikörperproblem eine entscheidende Rolle bei der Verständigung mit einer außerirdischen Zivilisation.
Siehe auch
Literatur
- Victor Szebehely: The theory of orbits: The Restricted Problem of Three Bodies, Academic Press 1967
- Richard Montgomery: Das Dreikörper-Problem. In: Spektrum der Wissenschaft. 2020, Heft 3, S. 12–19.
Weblinks
Anmerkungen
- ↑ Nach einem Theorem von Poincaré, das einen Satz von Bruns verallgemeinert.
- ↑ June Barrow-Green: The dramatic episode of Sundman. In: Abschnitt 9. The reception of Sundman’s work.
„In 1930 David Beloriszky […] calculated that if Sundman’s series were going to be used for astronomical observations then the computations would involve at least 108,000,000 terms!“