Ensemblemittelwert: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 16. Dezember 2021, 06:14 Uhr

Der Ensemblemittelwert $\langle \dots \rangle$ (auch Ensemblemittel oder Scharmittelwert) ist ein Mittelwert aus der statistischen Physik. Mit ihm lässt sich der Mittelwert einer Messgröße aller Elemente eines Ensembles zu einem bestimmten Zeitpunkt berechnen.

Verwendung

Für ein ergodisches System ist in einem gegebenen Ensemble der Ensemblemittelwert gleich dem über unendlich lange Zeit bestimmten Zeitmittelwert. Die Ergodenhypothese sagt aus, dass thermodynamische Systeme ergodisch sind und für sie somit die erwähnte Gleichheit gilt.

Definition

Der Ensemblemittelwert $\langle A\rangle$ einer Größe $$ A $$ ist gegeben durch:

\langle A\rangle =\sum _{i\in I}p_{i}\cdot A_{i}=\sum _{i\in I}{\frac {e^{-{\frac {H_{i}}{k_{\mathrm {B} }\cdot T}}}\cdot A_{i}}{\sum _{i\in I}e^{-{\frac {H_{i}}{k_{\mathrm {B} }\cdot T}}}}}

mit

der Wahrscheinlichkeit $$ p $$ im kanonischen Ensemble für ein System mit diskreten Zuständen, das System im Zustand $$ i $$ zu finden:

p_{i}={\frac {e^{-{\frac {H_{i}}{k_{\mathrm {B} }\cdot T}}}}{Z}}

,

der kanonischen Zustandssumme:

Z=\sum _{i\in I}e^{-{\frac {H_{i}}{k_{\mathrm {B} }\cdot T}}}

dem Boltzmann-Faktor $e^{-{\frac {H_{i}}{k_{\mathrm {B} }\cdot T}}}$
der Hamiltonian $H_{i}$ des Zustandes $$ i $$
der Boltzmann-Konstante $k_{\mathrm {B} }$
der absoluten Temperatur $$ T $$
der Menge aller Mikrozustände $$ I $$ .

Lässt sich die Menge $$ I $$ der Zustände nicht mehr abzählen, sondern ist kontinuierlich – beispielsweise, wenn der Hamiltonian des Systems von kontinuierlichen Orten und kontinuierlichen Geschwindigkeiten abhängt –, dann geht man von der Summe zum Integral über, indem man die obige diskrete Schreibweise geeignet mit dem Phasenraumelement erweitert, woraufhin man ein Riemann-Integral identifiziert:

\langle A\rangle ={\frac {\int _{\mathbb {R} ^{6N}}{\frac {d^{3N}rd^{3N}p}{h^{3N}N!}}A\cdot e^{-{\frac {H({\vec {r}}_{1},\dots {\vec {r}}_{N},{\vec {p}}_{1},\dots {\vec {p}}_{N})}{k_{\mathrm {B} }\cdot T}}}}{\int _{\mathbb {R} ^{6N}}{\frac {d^{3N}rd^{3N}p}{h^{3N}N!}}\cdot e^{-{\frac {H({\vec {r}}_{1},\dots {\vec {r}}_{N},{\vec {p}}_{1},\dots {\vec {p}}_{N})}{k_{\mathrm {B} }\cdot T}}}}}

Weiterführendes

Torsten Fließbach: Statistische Physik. 4. Auflage. Spektrum, München 2007, ISBN 978-3-8274-1684-1.

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-Der '''Ensemblemittelwert''' <math>\langle \dots \rangle</math> (auch '''Ensemblemittel''' oder '''Scharmittelwert''') ist ein [[Mittelwert]] aus der [[Statistische Physik|statistischen Physik]]. Mit ihm lässt sich der Mittelwert einer Messgröße ''aller'' Elemente eines [[Ensemble (Physik)|Ensembles]] zu einer zufällig gewählten [[Zeit]] berechnen.
+Der '''Ensemblemittelwert''' <math>\langle \dots \rangle</math> (auch '''Ensemblemittel''' oder '''Scharmittelwert''') ist ein [[Mittelwert]] aus der [[Statistische Physik|statistischen Physik]]. Mit ihm lässt sich der Mittelwert einer [[Messgröße]] ''aller'' Elemente eines [[Ensemble (Physik)|Ensembles]] zu einem bestimmten [[Zeitpunkt]] berechnen.
-Der Ensemblemittelwert und der [[Zeitmittelwert]] sind für ein [[Ergodizität|ergodisches System]] gleich. Die [[Ergodenhypothese]] sagt aus, dass [[thermodynamisches System|thermodynamische Systeme]] ergodisch sind und für sie somit in einem gegebenen Ensemble der Ensemblemittelwert und der über unendlich lange Zeit bestimmte Zeitmittelwert identisch sind.
+== Verwendung ==
+Für ein [[Ergodizität|ergodisches System]] ist in einem gegebenen Ensemble der Ensemblemittelwert gleich dem über unendlich lange Zeit bestimmten [[Zeitmittelwert]]. Die [[Ergodenhypothese]] sagt aus, dass [[thermodynamisches System|thermodynamische Systeme]] ergodisch sind und für sie somit die erwähnte Gleichheit gilt.
-Im [[Kanonisches Ensemble|kanonischen Ensemble]] ist für ein System mit diskreten Zuständen die [[Wahrscheinlichkeit]], ein System im Zustand&nbsp;i zu finden, gegeben durch
+== Definition ==
+Der Ensemblemittelwert <math>\langle A \rangle</math> einer Größe <math>A</math> ist gegeben durch:
-:<math>p_i = \frac{e^{-\frac{H_i}{k_B \cdot T}}}{Z}</math>,
+:<math style = "border: 1px black; border-style: solid; padding: 1em">\langle A \rangle = \sum_{i\in I} p_i \cdot A_i = \sum_{i\in I} \frac{e^{-\frac{H_i}{k_\mathrm B \cdot T}} \cdot A_i}{\sum_{i\in I} e^{-\frac{H_i}{k_\mathrm B \cdot T}} }</math>
-wobei
+mit
+* der [[Wahrscheinlichkeit]] <math>p</math> im [[Kanonisches Ensemble|kanonischen Ensemble]] für ein System mit [[diskret]]en Zuständen, das System im Zustand <math>i</math> zu finden:
-::<math>Z = \sum_{i\in I} e^{-\frac{H_i}{k_B \cdot T}}</math>
+::<math>p_i = \frac{e^{-\frac{H_i}{k_\mathrm B \cdot T}}}{Z}</math>,
-die [[kanonische Zustandssumme]] ist.
+* der [[kanonische Zustandssumme|kanonischen Zustandssumme]]:
-Somit ist der Ensemblemittelwert einer Größe <math>A</math> gegeben durch:
+::<math>Z = \sum_{i\in I} e^{-\frac{H_i}{k_\mathrm B \cdot T}}</math>
-:<math style = "border: 1px black; border-style: solid; padding: 1em">\langle A \rangle = \sum_{i\in I} p_i \cdot A = \frac{\sum_{i\in I} e^{-\frac{H_i}{k_B \cdot T}} \cdot A}{\sum_{i\in I} e^{-\frac{H_i}{k_B \cdot T}} }</math>
+* dem [[Boltzmann-Faktor]] <math>e^{-\frac{H_i}{k_\mathrm B \cdot T}}</math>
+* der [[Hamilton-Funktion|Hamiltonian]] <math>H_i</math> des Zustandes <math>i</math>
+* der [[Boltzmann-Konstante]] <math>k_\mathrm B</math>
+* der [[absolute Temperatur|absoluten Temperatur]] <math>T</math>
+* der Menge aller [[Mikrozustand|Mikrozustände]] <math>I</math>.
-Lässt sich die Menge <math>I</math> der Zustände [[Überabzählbare Menge|nicht mehr abzählen]], sondern ist kontinuierlich - beispielsweise, wenn der [[Hamilton-Funktion|Hamiltonian]] <math>H</math> des Systems von kontinuierlichen Orten und kontinuierlichen Geschwindigkeiten abhängt - so geht man von der Summe zum [[Integralrechnung|Integral]] über, indem man die obige diskrete Schreibweise geeignet mit dem [[Phasenraum]]<nowiki/>element erweitert, woraufhin man ein [[Riemann-Integral]] identifiziert:
+Lässt sich die Menge <math>I</math> der Zustände [[Überabzählbare Menge|nicht mehr abzählen]], sondern ist [[Kontinuum (Mathematik)|kontinuierlich]] – beispielsweise, wenn der Hamiltonian des Systems von kontinuierlichen Orten und kontinuierlichen Geschwindigkeiten abhängt –, dann geht man von der Summe zum [[Integralrechnung|Integral]] über, indem man die obige diskrete Schreibweise geeignet mit dem [[Phasenraum]]<nowiki/>element erweitert, woraufhin man ein [[Riemann-Integral]] identifiziert:
-:<math>\langle A \rangle =\frac{\int_{\R^{6N}}\frac{d^{3N}r d^{3N}p}{h^{3N}N!} A \cdot e^{-\frac{H(\vec{r}_1,\dots \vec{r}_N, \vec{p}_1, \dots \vec{p}_N)}{k_B \cdot T}} }{\int_{\R^{6N}}\frac{d^{3N}r d^{3N}p}{h^{3N}N!} \cdot e^{-\frac{H(\vec{r}_1,\dots \vec{r}_N, \vec{p}_1, \dots \vec{p}_N)}{k_B \cdot T}}}</math>
+:<math>\langle A \rangle =\frac{\int_{\R^{6N}}\frac{d^{3N}r d^{3N}p}{h^{3N}N!} A \cdot e^{-\frac{H(\vec{r}_1,\dots \vec{r}_N, \vec{p}_1, \dots \vec{p}_N)}{k_\mathrm B \cdot T}} }{\int_{\R^{6N}}\frac{d^{3N}r d^{3N}p}{h^{3N}N!} \cdot e^{-\frac{H(\vec{r}_1,\dots \vec{r}_N, \vec{p}_1, \dots \vec{p}_N)}{k_\mathrm B \cdot T}}}</math>
 == Weiterführendes ==