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== Definition == | == Definition == | ||
Eine symplektische Mannigfaltigkeit ist eine [[glatte Mannigfaltigkeit]] <math>M</math> zusammen mit einer '''symplektischen Form''' <math>\omega</math>, das heißt einer globalen, glatten und ''[[geschlossene Differentialform|geschlossenen]]'' [[Differentialform|2-Form]], die punktweise nicht ausgeartet ist (siehe auch [[symplektischer Raum]]). „Geschlossen“ bedeutet, dass die [[äußere Ableitung]] der Differentialform verschwindet, <math>\mathrm d \omega = 0</math>.<ref>Definition symplektischer Mannigfaltigkeiten nach Vladimir I. Arnold ''Mathematical Methods of Classical Mechanics.'' 2. Auflage, Springer, 1989, ISBN 0-387-96890-3, S. 201 (Kapitel 8 – Symplectic Manifolds). Ebenso in {{Literatur|Autor=Ana Cannas da Silva|Titel=Lectures on Symplectic Geometry|Verlag=Springer|Ort=Berlin|Jahr=2001|ISBN=3-540-42195-5}} | Eine symplektische Mannigfaltigkeit ist eine [[glatte Mannigfaltigkeit]] <math>M</math> zusammen mit einer '''symplektischen Form''' <math>\omega</math>, das heißt einer globalen, glatten und ''[[geschlossene Differentialform|geschlossenen]]'' [[Differentialform|2-Form]], die punktweise nicht ausgeartet ist (siehe auch [[symplektischer Raum]]). „Geschlossen“ bedeutet, dass die [[äußere Ableitung]] der Differentialform verschwindet, <math>\mathrm d \omega = 0</math>.<ref>Definition symplektischer Mannigfaltigkeiten nach Vladimir I. Arnold ''Mathematical Methods of Classical Mechanics.'' 2. Auflage, Springer, 1989, ISBN 0-387-96890-3, S. 201 (Kapitel 8 – Symplectic Manifolds). Ebenso in {{Literatur|Autor=Ana Cannas da Silva|Titel=Lectures on Symplectic Geometry|Verlag=Springer|Ort=Berlin|Jahr=2001|ISBN=3-540-42195-5}}</ref> | ||
Symplektische Mannigfaltigkeiten haben immer eine geradzahlige Dimension, da antisymmetrische Matrizen in ungeraden Dimensionen nicht invertierbar sind und deshalb antisymmetrische Bilinearformen in ungerader Dimension ausgeartet sind. | Symplektische Mannigfaltigkeiten haben immer eine geradzahlige Dimension, da antisymmetrische Matrizen in ungeraden Dimensionen nicht invertierbar sind und deshalb antisymmetrische Bilinearformen in ungerader Dimension ausgeartet sind. | ||
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Da die Form <math>\textstyle \omega=\sum_{ij}\omega_{ij}\,\mathrm dx^i\wedge\mathrm d x^j</math> nicht ausgeartet ist, definiert sie mit ihrem Inversen an jedem Punkt eine bilineare Abbildung von Eins-Formen <math>\textstyle \eta=\sum_i\eta_i\, \mathrm d x^i</math> und <math>\textstyle \chi=\sum_j\chi_j\, \mathrm d x^j</math> | Da die Form <math>\textstyle \omega=\sum_{ij}\omega_{ij}\,\mathrm dx^i\wedge\mathrm d x^j</math> nicht ausgeartet ist, definiert sie mit ihrem Inversen an jedem Punkt eine bilineare Abbildung von Eins-Formen <math>\textstyle \eta=\sum_i\eta_i\, \mathrm d x^i</math> und <math>\textstyle \chi=\sum_j\chi_j\, \mathrm d x^j</math> | ||
:<math>\Omega(\eta,\chi) =\sum_{ij} \omega^{ij}\,\eta_i\, \chi_j\,,\quad \sum_j \omega^{ij}\omega_{jk}=\delta^i{}_k </math> | :<math>\Omega(\eta,\chi) =\sum_{ij} \omega^{ij}\,\eta_i\, \chi_j\,,\quad \sum_j \omega^{ij}\omega_{jk}=\delta^i{}_k </math> | ||
und die Poisson-Klammer der Funktionen <math>f</math> und <math>g</math>, | und die Poisson-Klammer der Funktionen <math>f</math> und <math>g</math>, | ||
:<math>\{f, g\}=\Omega(\mathrm d f, \mathrm d g) = \sum_{ij}\omega^{ij}\,\partial_i f\, \partial_j g\,.</math> | :<math>\{f, g\}=\Omega(\mathrm d f, \mathrm d g) = \sum_{ij}\omega^{ij}\,\partial_i f\, \partial_j g\,.</math> | ||
== Lagrangesche Untermannigfaltigkeit == | == Lagrangesche Untermannigfaltigkeit == | ||
Eine Lagrangesche Untermannigfaltigkeit einer 2n-dimensionalen symplektischen Mannigfaltigkeit <math>(M,\omega)</math> ist eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit <math>L\subset M</math> mit | {{Hauptartikel|Lagrangesche Untermannigfaltigkeit}} | ||
Eine Lagrangesche Untermannigfaltigkeit einer 2n-dimensionalen symplektischen Mannigfaltigkeit <math>(M,\omega)</math> ist eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit <math>L\subset M</math> mit | |||
:<math>\omega\mid_{TL}=0</math>, | :<math>\omega\mid_{TL}=0</math>, | ||
d.h. die Einschränkung der symplektischen Form auf den [[Tangentialraum]] von L verschwindet. | d. h. die Einschränkung der symplektischen Form auf den [[Tangentialraum]] von L verschwindet. | ||
== Hamilton’scher Fluss == | == Hamilton’scher Fluss == | ||
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In einem [[Euklidischer Raum|Euklidischen Raum]] ist der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] einer Funktion <math>f</math> dasjenige [[Vektorfeld]] <math>g_f</math>, dessen Skalarprodukt <math>\langle g_f,w\rangle</math> für jedes gegebene Vektorfeld <math>w</math> mit der Anwendung von <math>\mathrm d f</math> auf <math>w</math> übereinstimmt, | In einem [[Euklidischer Raum|Euklidischen Raum]] ist der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] einer Funktion <math>f</math> dasjenige [[Vektorfeld]] <math>g_f</math>, dessen Skalarprodukt <math>\langle g_f,w\rangle</math> für jedes gegebene Vektorfeld <math>w</math> mit der Anwendung von <math>\mathrm d f</math> auf <math>w</math> übereinstimmt, | ||
:<math>\langle g_f,w\rangle =\mathrm d f[w] = w[f]\,.</math> | :<math>\langle g_f,w\rangle =\mathrm d f[w] = w[f]\,.</math> | ||
In einer Symplektischen Mannigfaltigkeit gehört zu gegebenem ''f'' und einer gegebenen beliebigen Funktion <math>h</math> das Vektorfeld | In einer Symplektischen Mannigfaltigkeit gehört zu gegebenem ''f'' und einer gegebenen beliebigen Funktion <math>h</math> das Vektorfeld | ||
:<math>v_h:f\mapsto \{f,h\}\,,</math> | :<math>v_h:f\mapsto \{f,h\}\,,</math> | ||
das Funktionen <math>f</math> längs einer Integralkurve der zu <math>h</math> (interpretiert als sog. [[Hamiltonfunktion]] des Systems) gehörigen [[Hamiltonsche Mechanik|hamiltonschen Gleichungen]] ableitet. Die Rolle von ''w'' wird hier also durch ''h'' übernommen, und es wird für ''h'' die Symplektische Geometrie bzw. die Hamilton’sche Dynamik benutzt. | das Funktionen <math>f</math> längs einer Integralkurve der zu <math>h</math> (interpretiert als sog. [[Hamiltonfunktion]] des Systems) gehörigen [[Hamiltonsche Mechanik|hamiltonschen Gleichungen]] ableitet. Die Rolle von ''w'' wird hier also durch ''h'' übernommen, und es wird für ''h'' die Symplektische Geometrie bzw. die Hamilton’sche Dynamik benutzt. | ||
Das Vektorfeld <math>\,v_h</math> ist also der | Das Vektorfeld <math>\,v_h</math> ist also der [[Symplektischer Gradient|symplektische Gradient]] von <math>h</math> oder der infinitesimale [[Hamiltonscher Fluss|Hamilton’sche Fluss]] von <math>h</math>. | ||
== Satz von Darboux == | == Satz von Darboux == | ||
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Der Satz von Darboux benannt nach dem Mathematiker [[Jean Gaston Darboux]] besagt:<ref>Ein Beweis findet sich in [[Wladimir Igorewitsch Arnold|V. I. Arnold]]: ''Mathematical Methods of Classical Mechanics.'' 2. Auflage. Springer, 1989, ISBN 0-387-96890-3, Kapitel 8.</ref> | Der Satz von Darboux benannt nach dem Mathematiker [[Jean Gaston Darboux]] besagt:<ref>Ein Beweis findet sich in [[Wladimir Igorewitsch Arnold|V. I. Arnold]]: ''Mathematical Methods of Classical Mechanics.'' 2. Auflage. Springer, 1989, ISBN 0-387-96890-3, Kapitel 8.</ref> | ||
In der [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] jedes Punktes einer symplektischen Mannigfaltigkeit gibt es lokale Koordinatenpaare <math>(q_i, p_i)</math> mit | In der [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] jedes Punktes einer symplektischen Mannigfaltigkeit gibt es lokale Koordinatenpaare <math>(q_i, p_i)</math> mit | ||
:<math>\omega = \sum_{i} \mathrm d q_i \ | :<math>\omega = \sum_{i} \mathrm d q_i \land \mathrm d p_i\,.</math> | ||
Die so definierten Koordinatenpaare werden als ''kanonisch konjugiert'' bezeichnet. | Die so definierten Koordinatenpaare werden als ''kanonisch konjugiert'' bezeichnet. | ||
== Beziehung zur Hamiltonschen Mechanik == | == Beziehung zur Hamiltonschen Mechanik == | ||
In der [[Hamiltonsche Mechanik|Hamiltonschen Mechanik]] ist der [[Phasenraum]] eine symplektische Mannigfaltigkeit mit der geschlossenen, symplektischen Form | In der [[Hamiltonsche Mechanik|Hamiltonschen Mechanik]] ist der [[Phasenraum]] eine symplektische Mannigfaltigkeit mit der geschlossenen, symplektischen Form | ||
:<math>\omega = \sum_{i} \mathrm d q_i \ | :<math>\omega = \sum_{i} \mathrm d q_i \land \mathrm d p_i\,,\quad \mathrm d \omega = 0\,.</math> | ||
Dies ist kein Spezialfall, denn nach dem Satz von Darboux lässt sich <math>\omega</math> in lokalen Koordinaten immer als <math>\textstyle \sum_{i} \mathrm d q_i \ | Dies ist kein Spezialfall, denn nach dem Satz von Darboux lässt sich <math>\omega</math> in lokalen Koordinaten immer als <math>\textstyle \sum_{i} \mathrm d q_i \land \mathrm d p_i\ </math> schreiben. Bei symplektischen Mannigfaltigkeiten handelt es sich um die Phasenräume der Hamiltonschen Mechanik. | ||
Die mathematische Aussage bezüglich <math>\omega</math> ist äquivalent zu den sogenannten [[Kanonische Gleichungen|kanonischen Gleichungen]] der theoretischen Physik, speziell in der [[Analytische Mechanik|analytischen Mechanik]]. | Die mathematische Aussage bezüglich <math>\omega</math> ist äquivalent zu den sogenannten [[Kanonische Gleichungen|kanonischen Gleichungen]] der theoretischen Physik, speziell in der [[Analytische Mechanik|analytischen Mechanik]]. | ||
In diesem Zusammenhang ist auch das [[Liouville-Theorem]] von Bedeutung, das in der [[Statistische Physik|statistischen Physik]] eine Rolle spielt. Es besagt im Wesentlichen, dass bei Hamilton'schen Flüssen das Phasenraumvolumen konstant bleibt, was für die Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsmaße dieser Theorie wichtig ist. | In diesem Zusammenhang ist auch das [[Liouville-Theorem]] von Bedeutung, das in der [[Statistische Physik|statistischen Physik]] eine Rolle spielt. Es besagt im Wesentlichen, dass bei Hamilton'schen Flüssen das Phasenraumvolumen konstant bleibt, was für die Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsmaße dieser Theorie wichtig ist. | ||
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== Siehe auch == | == Siehe auch == | ||
* [[Kanonische Transformation]], speziell den Absatz „Symplektische Struktur“ | * [[Kanonische Transformation]], speziell den Absatz „Symplektische Struktur“ | ||
* [[Symplektische Abbildung]], die Homomorphismen in der Kategorie der symplektischen Mannigfaltigkeiten | |||
== Literatur == | == Literatur == | ||
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== Weblinks == | == Weblinks == | ||
* [ | * [https://encyclopediaofmath.org/wiki/Symplectic_structure Artikel ''Symplectic Structure'' in Springer Online Reference] | ||
* [http://mathworld.wolfram.com/SymplecticManifold.html Artikel in Weisstein, Encyclopedia of Mathematics, bei Math World] | * [http://mathworld.wolfram.com/SymplecticManifold.html Artikel in Weisstein, Encyclopedia of Mathematics, bei Math World] | ||
* [http://www.ams.org/notices/199808/mcduff.pdf Dusa McDuff ''Symplectic structures - a new approach to geometry'', Notices AMS, November 1998, | * [http://www.ams.org/notices/199808/mcduff.pdf Dusa McDuff ''Symplectic structures - a new approach to geometry'', Notices AMS, November 1998, PDF-Datei] | ||
== Einzelnachweise == | == Einzelnachweise == | ||
<references /> | <references /> | ||
[[Kategorie:Symplektische Topologie]] | [[Kategorie:Symplektische Topologie]] | ||
[[Kategorie:Klassische Mechanik]] | [[Kategorie:Klassische Mechanik]] | ||
[[Kategorie:Komplexe Mannigfaltigkeit]] | [[Kategorie:Komplexe Mannigfaltigkeit]] | ||
Symplektische Mannigfaltigkeiten sind die zentralen Objekte der symplektischen Geometrie, eines Teilgebiets der Differentialgeometrie. Die symplektischen Mannigfaltigkeiten haben einen sehr starken Bezug zur theoretischen Physik.
Eine symplektische Mannigfaltigkeit ist eine glatte Mannigfaltigkeit $ M $ zusammen mit einer symplektischen Form $ \omega $, das heißt einer globalen, glatten und geschlossenen 2-Form, die punktweise nicht ausgeartet ist (siehe auch symplektischer Raum). „Geschlossen“ bedeutet, dass die äußere Ableitung der Differentialform verschwindet, $ \mathrm {d} \omega =0 $.[1]
Symplektische Mannigfaltigkeiten haben immer eine geradzahlige Dimension, da antisymmetrische Matrizen in ungeraden Dimensionen nicht invertierbar sind und deshalb antisymmetrische Bilinearformen in ungerader Dimension ausgeartet sind.
Da die Form $ \textstyle \omega =\sum _{ij}\omega _{ij}\,\mathrm {d} x^{i}\wedge \mathrm {d} x^{j} $ nicht ausgeartet ist, definiert sie mit ihrem Inversen an jedem Punkt eine bilineare Abbildung von Eins-Formen $ \textstyle \eta =\sum _{i}\eta _{i}\,\mathrm {d} x^{i} $ und $ \textstyle \chi =\sum _{j}\chi _{j}\,\mathrm {d} x^{j} $
und die Poisson-Klammer der Funktionen $ f $ und $ g $,
Eine Lagrangesche Untermannigfaltigkeit einer 2n-dimensionalen symplektischen Mannigfaltigkeit $ (M,\omega ) $ ist eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit $ L\subset M $ mit
d. h. die Einschränkung der symplektischen Form auf den Tangentialraum von L verschwindet.
In einem Euklidischen Raum ist der Gradient einer Funktion $ f $ dasjenige Vektorfeld $ g_{f} $, dessen Skalarprodukt $ \langle g_{f},w\rangle $ für jedes gegebene Vektorfeld $ w $ mit der Anwendung von $ \mathrm {d} f $ auf $ w $ übereinstimmt,
In einer Symplektischen Mannigfaltigkeit gehört zu gegebenem f und einer gegebenen beliebigen Funktion $ h $ das Vektorfeld
das Funktionen $ f $ längs einer Integralkurve der zu $ h $ (interpretiert als sog. Hamiltonfunktion des Systems) gehörigen hamiltonschen Gleichungen ableitet. Die Rolle von w wird hier also durch h übernommen, und es wird für h die Symplektische Geometrie bzw. die Hamilton’sche Dynamik benutzt.
Das Vektorfeld $ \,v_{h} $ ist also der symplektische Gradient von $ h $ oder der infinitesimale Hamilton’sche Fluss von $ h $.
Der Satz von Darboux benannt nach dem Mathematiker Jean Gaston Darboux besagt:[2]
In der Umgebung jedes Punktes einer symplektischen Mannigfaltigkeit gibt es lokale Koordinatenpaare $ (q_{i},p_{i}) $ mit
Die so definierten Koordinatenpaare werden als kanonisch konjugiert bezeichnet.
In der Hamiltonschen Mechanik ist der Phasenraum eine symplektische Mannigfaltigkeit mit der geschlossenen, symplektischen Form
Dies ist kein Spezialfall, denn nach dem Satz von Darboux lässt sich $ \omega $ in lokalen Koordinaten immer als $ \textstyle \sum _{i}\mathrm {d} q_{i}\land \mathrm {d} p_{i}\ $ schreiben. Bei symplektischen Mannigfaltigkeiten handelt es sich um die Phasenräume der Hamiltonschen Mechanik.
Die mathematische Aussage bezüglich $ \omega $ ist äquivalent zu den sogenannten kanonischen Gleichungen der theoretischen Physik, speziell in der analytischen Mechanik.
In diesem Zusammenhang ist auch das Liouville-Theorem von Bedeutung, das in der statistischen Physik eine Rolle spielt. Es besagt im Wesentlichen, dass bei Hamilton'schen Flüssen das Phasenraumvolumen konstant bleibt, was für die Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsmaße dieser Theorie wichtig ist.