imported>Mabschaaf (Parameter-Fix) |
imported>Crazy1880 K (Vorlagen-fix (arXiv)) |
||
| Zeile 1: | Zeile 1: | ||
Beim '''Thomson-Problem''' sollen ''n'' Elektronen so auf der Oberfläche einer [[Einheitskugel]] verteilt werden, dass das gesamte elektrostatische Potential, das sich durch die [[Coulombsches Gesetz|Coulombkraft]] einstellt, sein Minimum annimmt. Der Physiker [[Joseph John Thomson]] formulierte dieses Problem 1904, nachdem er sein [[Thomsonsches Atommodell|Atommodell]] entwickelte. | Beim '''Thomson-Problem''' sollen ''n'' Elektronen so auf der Oberfläche einer [[Einheitskugel]] verteilt werden, dass das gesamte elektrostatische Potential, das sich durch die [[Coulombsches Gesetz|Coulombkraft]] einstellt, sein Minimum annimmt. Der Physiker [[Joseph John Thomson]] formulierte dieses Problem 1904<ref>Joseph J. Thomson: ''On the structure of the atom: an investigation of the stability and periods of oscillation of a number of corpuscles arranged at equal intervals around the circumference of a circle; with application of the results to the theory of atomic structure.'' In: ''The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science.'' Series 6, Bd. 7, Nr. 39, 1904, {{ZDB|5450-1}}, S. 237–265, [[doi:10.1080/14786440409463107]].</ref>, nachdem er sein [[Thomsonsches Atommodell|Atommodell]] entwickelte. | ||
Mathematisch ist es eines | Mathematisch ist es eines der [[Smale-Probleme]]. | ||
== Mathematische Beschreibung == | == Mathematische Beschreibung == | ||
| Zeile 8: | Zeile 8: | ||
:<math>U_{ij}(N)=k_e{e_i e_j \over r_{ij}}</math>. | :<math>U_{ij}(N)=k_e{e_i e_j \over r_{ij}}</math>. | ||
Dabei sind <math>e_i</math> und <math>e_j</math> die [[Elementarladung|Ladungen]] der Elektronen, <math>k_e</math> ist die Coulombkonstante (gegeben durch <math> \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}</math>) und <math>r_{ij}=|\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j|</math> ist der Abstand der beiden Elektronen zueinander. Zur Vereinfachung des Problems können <math>e_i=e_j=1</math> und <math>k_e=1</math> gesetzt werden. | Dabei sind <math>e_i</math> und <math>e_j</math> die [[Elementarladung|Ladungen]] der Elektronen, <math>k_e</math> ist die Coulombkonstante (gegeben durch <math> \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}</math>; <math>\varepsilon_0</math> ist die [[elektrische Feldkonstante]]) und <math>r_{ij}=|\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j|</math> ist der Abstand der beiden Elektronen zueinander. Zur Vereinfachung des Problems können <math>e_i=e_j=1</math> und <math>k_e=1</math> gesetzt werden. | ||
Bei einer Konfiguration von <math>N</math> Elektronen stellt sich dann das Potential | Bei einer Konfiguration von <math>N</math> Elektronen stellt sich dann das Potential | ||
| Zeile 17: | Zeile 17: | ||
== Bekannte Lösungen == | == Bekannte Lösungen == | ||
* | * <math>N=1</math>: Für nur ein einziges Elektron ist die Lösung trivial, da sich, egal wo sich das Elektron auf der Kugeloberfläche befindet, immer dasselbe Potential einstellt. | ||
* | * <math>N=2</math>: Bei zwei Elektronen ist das Potentialminimum dann vorhanden, wenn sie sich diametral gegenüber befinden (z. B. Nord- und Südpol). | ||
* | * <math>N=3</math>: Bei drei Elektronen bildet die Konfiguration ein gleichseitiges Dreieck auf einem [[Großkreis]] der Kugel.<ref>[[Ludwig Föppl]]: ''Stabile Anordnungen von Elektronen im Atom.'' In: ''[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]].'' Bd. 141, 1912, S. 251–302, ([http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=GDZPPN002167611&physid=phys257#navi Digitalisat]).</ref> | ||
* | * <math>N=4</math>: Die vier Elektronen bilden ein [[Tetraeder]]. | ||
* | * <math>N=5</math>: Für fünf Elektronen wurde 2010 ein computergestützter Beweis erbracht, wonach diese eine dreieckige [[Bipyramide]] bilden.<ref>{{Literatur |Autor=Richard Evan Schwartz |Titel=The 5 Electron Case of Thomson’s Problem |Sammelwerk=Mathematical Physics |Datum=2010-01-21 |arXiv=1001.3702}}</ref> | ||
* | * <math>N=6</math>: Die sechs Elektronen bilden ein [[Oktaeder]].<ref>{{Literatur |Autor=V. A. Yudin |Titel=The minimum of potential energy of a System of point charges |Sammelwerk=Discrete Mathematics and Applications |Band=3 |Nummer=1 |Datum=2009 |Seiten=75–82 |DOI=10.1515/dma.1993.3.1.75}}</ref> | ||
* | * <math>N=12</math>: Diese Konfiguration bildet ein regelmäßiges [[Ikosaeder]].<ref>Nikolay N. Andreev: ''An extremal property of the icosahedron.'' In: ''East Journal on Approximations.'' Bd. 2, Nr. 4, 1996, {{ISSN|1310-6236}}, S. 459–462, [[Mathematical Reviews|MR]] 97m:52022, [[Zentralblatt MATH|Zbl]] 0877.51021.</ref> | ||
== Verwandte wissenschaftliche Probleme == | == Verwandte wissenschaftliche Probleme == | ||
Das Problem von Thomson spielt eine Rolle in anderen physikalischen Modellen wie zum Beispiel [[Elektronenblase]]n oder die Oberflächenbeschaffenheit von flüssigen Metalltropfen in [[Paul-Falle]]n. | Das Problem von Thomson spielt eine Rolle in anderen physikalischen Modellen wie zum Beispiel [[Elektronenblase]]n oder die Oberflächenbeschaffenheit von flüssigen Metalltropfen in [[Paul-Falle]]n. | ||
== Literatur == | |||
* Carlos Beltrán: ''The State of the Art in Smale's 7th Problem.'' In: [[Felipe Cucker]], Teresa Krick, Allan Pinkus, Agnes Szanto (Hrsg.): ''Foundations of Computational Mathematics. Budapest 2011'' (= ''London Mathematical Society. Lecture Note Series.'' 403). Cambridge University Press, Cambridge u. a. 2013, ISBN 978-1-107-60407-0, S. 1–15. | |||
* L. L. Whyte: ''Unique arrangements of points on a sphere.'' In: ''[[American Mathematical Monthly]].'' Bd. 59, Nr. 9, 1952, S. 606–611, {{JSTOR|2306764}}. | |||
* Edward B. Saff, [[Arno Kuijlaars|Arno B. J. Kuijlaars]]: ''Distributing many points on a sphere.'' In: ''[[The Mathematical Intelligencer]].'' Bd. 19, Nr. 1, 1997, S. 5–11, [[doi:10.1007/BF03024331]] | |||
== Weblinks == | == Weblinks == | ||
Beim Thomson-Problem sollen n Elektronen so auf der Oberfläche einer Einheitskugel verteilt werden, dass das gesamte elektrostatische Potential, das sich durch die Coulombkraft einstellt, sein Minimum annimmt. Der Physiker Joseph John Thomson formulierte dieses Problem 1904[1], nachdem er sein Atommodell entwickelte.
Mathematisch ist es eines der Smale-Probleme.
Das elektrostatische Potential $ U(N) $, das zwischen zwei Elektronen entsteht, kann mit dem coulombschen Gesetz beschrieben werden.
Dabei sind $ e_{i} $ und $ e_{j} $ die Ladungen der Elektronen, $ k_{e} $ ist die Coulombkonstante (gegeben durch $ {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}} $; $ \varepsilon _{0} $ ist die elektrische Feldkonstante) und $ r_{ij}=|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}| $ ist der Abstand der beiden Elektronen zueinander. Zur Vereinfachung des Problems können $ e_{i}=e_{j}=1 $ und $ k_{e}=1 $ gesetzt werden.
Bei einer Konfiguration von $ N $ Elektronen stellt sich dann das Potential
ein. Ziel ist es nun, diejenige Form zu finden, bei der dieses Gesamtpotential ein Minimum annimmt. Das Finden einer Lösung geschieht meist durch numerische Verfahren.
Das Problem von Thomson spielt eine Rolle in anderen physikalischen Modellen wie zum Beispiel Elektronenblasen oder die Oberflächenbeschaffenheit von flüssigen Metalltropfen in Paul-Fallen.