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Ein '''Weg-Zeit-Gesetz'''<ref name="Müller2010">{{cite book|author=Rainer Müller|title=Klassische Mechanik: Vom Weitsprung zum Marsflug|url= | Ein '''Weg-Zeit-Gesetz'''<ref name="Müller2010">{{cite book|author=Rainer Müller|title=Klassische Mechanik: Vom Weitsprung zum Marsflug|url=https://books.google.de/books?id=FcQ7eXuTzlsC&pg=PA58&hl=de|date=22. September 2010|publisher=Walter de Gruyter|isbn=978-3-11-025003-9|pages=58}}</ref><ref name="StuartKlages2013">{{cite book|author=Herbert A. Stuart, Gerhard Klages|title=Kurzes Lehrbuch der Physik|url=https://books.google.de/books?id=h3b1BQAAQBAJ&pg=PA10&hl=de|date=14. März 2013|publisher=Springer-Verlag|isbn=978-3-662-08228-7|pages=10}}</ref><ref name="HeringMartin2013">{{cite book|author=Ekbert Hering, Rolf Martin, Martin Stohrer|title=Physik für Ingenieure|url=https://books.google.de/books?id=50IjBgAAQBAJ&pg=PA349&hl=de|date=1. Juli 2013|publisher=Springer-Verlag|isbn=978-3-662-09314-6|pages=349–}}</ref> beschreibt in der klassischen Physik den Ablauf der [[Bewegung (Physik)|Bewegung]] eines [[Massenpunkt]]s. Es gilt jeweils für eine bestimmte Bewegung, indem es den Ort des Massenpunkts als Funktion der Zeit angibt. Es stellt somit den zeitlichen Verlauf der Bewegung eines Körpers auf seiner [[Trajektorie (Physik)|Bahnkurve (Trajektorie)]] dar und wird daher auch als '''Zeit-Ort-Funktion''' bezeichnet. Bei gegebenen äußeren [[Kraft|Kräften]] ist sie die durch die [[Anfangsbedingung]]en für Ort und Geschwindigkeit festgelegte spezielle Lösung der [[Bewegungsgleichung]] des Massenpunkts. | ||
Ist die Bewegung durch [[Zwangsbedingung]]en von vorneherein auf eine bestimmte Linie festgelegt, wie beispielsweise die Bewegung einer Lokomotive durch die Schienen, so genügt als Ortsangabe die [[Bogenlänge]] längs der Bahn, die dann meist als ''Weg'' bzw. ''Wegstrecke'' bezeichnet wird. Der Nullpunkt des Weges ist frei wählbar. Die Bewegung kann dann in einem als ''Zeit-Ort-Diagramm'' bezeichneten [[Funktionsgraph]]en dargestellt werden. In allen anderen Fällen gibt die Zeit-Ort-Funktion die unabhängigen [[Koordinaten]] des Massenpunkts relativ zu einem frei gewählten [[Bezugssystem]] zur gegebenen Zeit an und ist daher [[Vektorwertige Funktion|vektorwertig]]. | Ist die Bewegung durch [[Zwangsbedingung]]en von vorneherein auf eine bestimmte Linie festgelegt, wie beispielsweise die Bewegung einer Lokomotive durch die Schienen, so genügt als Ortsangabe die [[Bogenlänge]] längs der Bahn, die dann meist als ''Weg'' bzw. ''Wegstrecke'' bezeichnet wird. Der Nullpunkt des Weges ist frei wählbar. Die Bewegung kann dann in einem als ''Zeit-Ort-Diagramm'' bezeichneten [[Funktionsgraph]]en dargestellt werden. In allen anderen Fällen gibt die Zeit-Ort-Funktion die unabhängigen [[Koordinaten]] des Massenpunkts relativ zu einem frei gewählten [[Bezugssystem]] zur gegebenen Zeit an und ist daher [[Vektorwertige Funktion|vektorwertig]]. | ||
Das Formelzeichen für den Wert der Weg-Zeit-Funktion ist oft <math>\vec{r}(t)</math>, <math>\vec {X}(t)</math> oder Ähnliches. Dies soll zum Ausdruck bringen, dass der Ort <math>\vec r</math> eine eindeutige Funktion der Zeit <math>t</math> ist, welche im mathematischen Sinne eine freie Variable darstellt. Jedem Zeitpunkt ist also ''genau ein'' Ort zugeordnet, wo sich der Massepunkt gerade befindet. Die Umkehrung gilt nicht: Ein Massenpunkt kann sich sehr wohl zu verschiedenen Zeiten an ein und demselben Ort befinden. Die Weg-Zeit-Funktion ist [[ | Das Formelzeichen für den Wert der Weg-Zeit-Funktion ist oft <math>\vec{r}(t)</math>, <math>\vec {X}(t)</math> oder Ähnliches. Dies soll zum Ausdruck bringen, dass der Ort <math>\vec r</math> eine eindeutige Funktion der Zeit <math>t</math> ist, welche im mathematischen Sinne eine freie Variable darstellt. Jedem Zeitpunkt ist also ''genau ein'' Ort zugeordnet, wo sich der Massepunkt gerade befindet. Die Umkehrung gilt nicht: Ein Massenpunkt kann sich sehr wohl zu verschiedenen Zeiten an ein und demselben Ort befinden. Die Weg-Zeit-Funktion ist [[Stetige Funktion|stetig]], da der Massepunkt nicht ohne Zeitverlust von einem Ort zu einem anderen „springen“ kann. Mathematisch ausgedrückt: Die Wegstrecke, die der Massepunkt zurücklegen kann, geht gegen Null, wenn das zur Verfügung stehende Zeitintervall ebenfalls gegen Null geht. Ferner ist die Weg-Zeit-Funktion – mindestens abschnittsweise – einmal [[Differenzierbarkeit|differenzierbar]]; falls sich die Geschwindigkeit nicht ruckartig ändert, sogar zweimal. Die erste [[Differentialrechnung|Ableitung]] nach der Zeit, nach [[Isaac Newton]] oft mit <math> \dot{\vec {r}}(t)</math> bezeichnet, ist die [[Geschwindigkeit#Definition|Momentangeschwindigkeit]] <math>\vec {v}(t) =\dot{\vec {r}}(t)</math>. Diese Funktion wird auch '''Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz''' oder '''Zeit-Geschwindigkeits-Funktion''' genannt. Die zweite Ableitung ergibt die [[Beschleunigung]] <math>\vec {a}(t) =\dot{\vec {v}}(t) =\ddot{\vec {r}}(t)</math>. | ||
Die Darstellung der Koordinaten des Orts hängt vom gewählten [[Koordinatensystem]] ab. So ist für eine Bewegung in einer Ebene etwa <math>\vec{r}(t)= ( x(t),y(t) )</math> in einem zweidimensionalen [[kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinatensystem]], oder alternativ <math>\vec{r}(t)= ( r(t),\varphi(t) )</math> in [[Polarkoordinaten]]. Die Anzahl der Komponenten von <math>\vec{r}(t)</math> ist gleich der Anzahl der Dimensionen des Raums, in dem die Bewegung stattfindet. | Die Darstellung der Koordinaten des Orts hängt vom gewählten [[Koordinatensystem]] ab. So ist für eine Bewegung in einer Ebene etwa <math>\vec{r}(t)= ( x(t),y(t) )</math> in einem zweidimensionalen [[kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinatensystem]], oder alternativ <math>\vec{r}(t)= ( r(t),\varphi(t) )</math> in [[Polarkoordinaten]]. Die Anzahl der Komponenten von <math>\vec{r}(t)</math> ist gleich der Anzahl der Dimensionen des Raums, in dem die Bewegung stattfindet. | ||
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Die folgenden Beispiele beschreiben idealisiert vereinfachte Verläufe. Alle Bewegungen starten zum Zeitpunkt <math>t=0</math> am durch <math>\vec r_0</math> bezeichneten [[Startwert|Startpunkt]]. | Die folgenden Beispiele beschreiben idealisiert vereinfachte Verläufe. Alle Bewegungen starten zum Zeitpunkt <math>t=0</math> am durch <math>\vec r_0</math> bezeichneten [[Startwert|Startpunkt]]. | ||
* Im Stillstand hängt die Position nicht von der Zeit ab und der Massenpunkt bleibt für immer am Startpunkt <math>\vec r_0</math>: | * Im Stillstand hängt die Position nicht von der Zeit ab und der Massenpunkt bleibt für immer am Startpunkt <math>\vec r_0</math>: | ||
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Ein Weg-Zeit-Gesetz[1][2][3] beschreibt in der klassischen Physik den Ablauf der Bewegung eines Massenpunkts. Es gilt jeweils für eine bestimmte Bewegung, indem es den Ort des Massenpunkts als Funktion der Zeit angibt. Es stellt somit den zeitlichen Verlauf der Bewegung eines Körpers auf seiner Bahnkurve (Trajektorie) dar und wird daher auch als Zeit-Ort-Funktion bezeichnet. Bei gegebenen äußeren Kräften ist sie die durch die Anfangsbedingungen für Ort und Geschwindigkeit festgelegte spezielle Lösung der Bewegungsgleichung des Massenpunkts.
Ist die Bewegung durch Zwangsbedingungen von vorneherein auf eine bestimmte Linie festgelegt, wie beispielsweise die Bewegung einer Lokomotive durch die Schienen, so genügt als Ortsangabe die Bogenlänge längs der Bahn, die dann meist als Weg bzw. Wegstrecke bezeichnet wird. Der Nullpunkt des Weges ist frei wählbar. Die Bewegung kann dann in einem als Zeit-Ort-Diagramm bezeichneten Funktionsgraphen dargestellt werden. In allen anderen Fällen gibt die Zeit-Ort-Funktion die unabhängigen Koordinaten des Massenpunkts relativ zu einem frei gewählten Bezugssystem zur gegebenen Zeit an und ist daher vektorwertig.
Das Formelzeichen für den Wert der Weg-Zeit-Funktion ist oft $ {\vec {r}}(t) $, $ {\vec {X}}(t) $ oder Ähnliches. Dies soll zum Ausdruck bringen, dass der Ort $ {\vec {r}} $ eine eindeutige Funktion der Zeit $ t $ ist, welche im mathematischen Sinne eine freie Variable darstellt. Jedem Zeitpunkt ist also genau ein Ort zugeordnet, wo sich der Massepunkt gerade befindet. Die Umkehrung gilt nicht: Ein Massenpunkt kann sich sehr wohl zu verschiedenen Zeiten an ein und demselben Ort befinden. Die Weg-Zeit-Funktion ist stetig, da der Massepunkt nicht ohne Zeitverlust von einem Ort zu einem anderen „springen“ kann. Mathematisch ausgedrückt: Die Wegstrecke, die der Massepunkt zurücklegen kann, geht gegen Null, wenn das zur Verfügung stehende Zeitintervall ebenfalls gegen Null geht. Ferner ist die Weg-Zeit-Funktion – mindestens abschnittsweise – einmal differenzierbar; falls sich die Geschwindigkeit nicht ruckartig ändert, sogar zweimal. Die erste Ableitung nach der Zeit, nach Isaac Newton oft mit $ {\dot {\vec {r}}}(t) $ bezeichnet, ist die Momentangeschwindigkeit $ {\vec {v}}(t)={\dot {\vec {r}}}(t) $. Diese Funktion wird auch Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz oder Zeit-Geschwindigkeits-Funktion genannt. Die zweite Ableitung ergibt die Beschleunigung $ {\vec {a}}(t)={\dot {\vec {v}}}(t)={\ddot {\vec {r}}}(t) $.
Die Darstellung der Koordinaten des Orts hängt vom gewählten Koordinatensystem ab. So ist für eine Bewegung in einer Ebene etwa $ {\vec {r}}(t)=(x(t),y(t)) $ in einem zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem, oder alternativ $ {\vec {r}}(t)=(r(t),\varphi (t)) $ in Polarkoordinaten. Die Anzahl der Komponenten von $ {\vec {r}}(t) $ ist gleich der Anzahl der Dimensionen des Raums, in dem die Bewegung stattfindet.
Die folgenden Beispiele beschreiben idealisiert vereinfachte Verläufe. Alle Bewegungen starten zum Zeitpunkt $ t=0 $ am durch $ {\vec {r}}_{0} $ bezeichneten Startpunkt.