Wilson-Loop: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 27. November 2020, 16:51 Uhr

Der Wilson-Loop (oder Wilson Line) $W_{C}$ , benannt nach Kenneth Wilson, einem Pionier der Gittereichtheorien, ist ein Erwartungswert eines Operators in Eichtheorien, der zur Unterscheidung der unterschiedlichen Phasen der Theorie dient.

Definition

Der Wilson-Loop wird als eichinvarianter Erwartungswert eines Phasenfaktors definiert, bei der die Feldvariablen der Eichtheorie, die (Vierer-)Vektorpotentiale $A_{\mu }$ mit Werten in der Lie-Algebra der zugrundeliegenden Lie-Gruppe $$ G $$ der Eichtheorie, längs eines geschlossenen Weges (englisch Loop) miteinander multipliziert werden:

W_{C}=\mathrm {Tr} \,\left\{{\mathcal {P}}\exp i\oint _{C}A_{\mu }dx^{\mu }\right\}

Dabei bezeichnet

$$ C $$ den geschlossenen Weg
${\mathcal {P}}$ , dass das Produkt der Operatoren längs des Weges geordnet ist.
$$ Tr $$ (englisch Trace) die Spur bezüglich der Eichgruppe $$ G $$ . Wegen der zyklischen Invarianz dieser Spur ist der Operator eichinvariant.

Anwendung

Gittereichtheorien

Ein Hauptanwendungsgebiet der Wilson-Loops sind Gittereichtheorien, wo aus ihnen Ordnungsparameter für verschiedene Phasenzustände gewonnen werden.

In der Quantenchromodynamik beispielsweise (betrachtet als Quantenfeldtheorie auf einem Gitter bei endlicher Temperatur) werden mit den Wilson Loops unterschieden:

Confinement-Phasen, wenn sich der Ausdruck im Exponenten in der räumlichen Dimension flächenhaft verhält (proportional zur umschlossenen Fläche; area law). Dies kann man sich als Folge der additiven Beiträge vieler farbelektrischer confinement-Flusstuben vorstellen. Das zugehörige Potential nimmt linear mit dem Abstand zu, ähnlich dem elastischen Verhalten eines Gummibandes.
Deconfinement-Phasen, wenn sich der Ausdruck im Exponenten in der räumlichen Dimension linear verhält (proportional zum Umfang der Schleife $$ C $$ ; circumferential law). Hier gibt es keine Fluss-Beiträge durch die Schleife bzw. sie heben sich im Mittel auf. Das zugehörige Potential verhält sich umgekehrt proportional zum Abstand, wie in der Elektrodynamik (Coulombphase).

Die Wilson-Loops werden dabei über geschlossene Kurven in der Raum-Zeit gebildet, wobei die Zeit imaginär angenommen wird, so dass sich ein euklidischer Formalismus ähnlich wie bei der statistischen Mechanik ergibt, nur in vier Dimensionen. Dabei ist die entsprechende Temperatur umgekehrt proportional zur Zeit, und es werden periodische Randbedingungen angenommen. Die geschlossenen Kurven werden üblicherweise über eine Zeit- und eine Raumrichtung geführt; dann entsprechen die Wilson-Loops im Kontinuum-Limes des Gitters der Berechnung des Quark-Antiquark-Potentials. Es werden aber auch rein räumliche Schleifen betrachtet.

Elektrodynamik

In der Elektrodynamik ist $\oint _{C}A_{\mu }dx^{\mu }$ identisch mit dem magnetischen Fluss durch die Schleife $$ C $$ , falls diese räumlich ist, wie sich durch Anwendung des Satzes von Stokes ergibt.

Stringtheorie und Quantengravitation

Wilson-Loops werden auch in der Stringtheorie betrachtet. Hier ergibt sich die Möglichkeit nicht kontraktibler (zusammenziehbarer) Loops in den kompaktifizierten Extra-Dimensionen, je nach deren Topologie.

In der Loop-Quantengravitation von Ashtekar spielen Wilson-Loops eine große Rolle als fundamentale Basiszustände einer quantisierten Gravitationstheorie. Dort wird ein Paralleltransport eines Vierbeins längs eines geschlossenen Weges betrachtet. Das ist in direkter Analogie zu den Wilson-Loops in den Eichtheorien, deren Beschreibung mathematisch ähnlich ist (Faserbündel mit zugehörigen, den Paralleltransport beschreibenden Zusammenhangsformen ("connections"), die im Fall der Eichtheorien mit den Eichfeldern identisch sind).

Seit den 1990er Jahren wird in der Quantengravitation statt der Wilson-Loops zunehmend der Formalismus der Spin-Netzwerke verwendet.

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-Der '''Wilson-Loop''' (oder '''Wilson Line''') ist ein Erwartungswert eines Operators in [[Eichtheorie]]n, der zur Unterscheidung der unterschiedlichen Phasen der Theorie dient. Er ist nach dem Nobelpreisträger [[Kenneth Wilson]], einem der Pioniere der [[Gittereichtheorie]]n, benannt.
+Der '''Wilson-Loop''' (oder '''Wilson Line''') <math>W_C</math>, benannt nach [[Kenneth Wilson]], einem Pionier der [[Gittereichtheorie]]n, ist ein [[Erwartungswert]] eines [[Operator (Mathematik)|Operators]] in [[Eichtheorie]]n, der zur Unterscheidung der unterschiedlichen Phasen der Theorie dient.
-Der Wilson Loop wird als eichinvarianter Erwartungswert eines [[Zustand (Quantenmechanik)|Phasenfaktors]] definiert, bei der die Feldvariablen der Eichtheorie, die ([[Vierervektor|Vierer]]-)[[Vektorpotential]]e <math>A_\mu</math> mit Werten in der zugrundeliegenden [[Lie-Gruppe]] G der Eichtheorie, längs eines geschlossenen Weges (englisch ''Loop'') miteinander multipliziert werden:
+== Definition ==
+Der Wilson-Loop wird als eichinvarianter Erwartungswert eines [[Zustand (Quantenmechanik)|Phasenfaktors]] definiert, bei der die Feldvariablen der Eichtheorie, die ([[Vierervektor|Vierer]]-)[[Vektorpotential]]e <math>A_\mu</math> mit Werten in der [[Lie-Algebra]] der zugrundeliegenden [[Lie-Gruppe]] <math>G</math> der Eichtheorie, längs eines geschlossenen Weges (englisch ''Loop'') miteinander multipliziert werden:
-:<math>W_C = \mathrm{Tr}\,\left\{ \mathcal{P}\exp i \oint_C A_\mu dx^\mu\right\}</math>
+:<math>W_C = \mathrm{Tr} \, \left\{ \mathcal{P}\exp i \oint_C A_\mu dx^\mu \right\}</math>
-Dabei bezeichnet <math>C</math> den geschlossenen Weg und <math>\mathcal{P}</math>, dass das Produkt der Operatoren längs des Weges geordnet ist. ''Tr'' (englisch Trace) steht für die [[Spur (Mathematik)|Spur]] bezüglich der Eichgruppe G. Wegen der zyklischen Invarianz dieser Spur ist der Operator eichinvariant.
+Dabei bezeichnet
+* <math>C</math> den geschlossenen Weg
+* <math>\mathcal{P}</math>, dass das Produkt der Operatoren längs des Weges geordnet ist.
+* <math>Tr</math> (englisch ''Trace'') die [[Spur (Mathematik)|Spur]] bezüglich der [[Eichgruppe]] <math>G</math>. Wegen der zyklischen Invarianz dieser Spur ist der Operator eichinvariant.
-Ein Hauptanwendungsgebiet der Wilson-Loops sind Gittereichtheorien, wo aus ihnen [[Ordnungsparameter]] für verschiedene Phasenzustände gewonnen werden. In der [[Quantenchromodynamik]] beispielsweise (betrachtet als Quantenfeldtheorie auf einem Gitter bei endlicher Temperatur) dienen sie zur Unterscheidung von [[Confinement]] und [[Deconfinement]]-Phasen, je nachdem ob sich der Ausdruck im Exponenten in der räumlichen Dimension ''flächenhaft'' (proportional zur umschlossenen Fläche, sog. "area law", Confinement) oder ''linear'' verhält (proportional zum Umfang der Schleife ''C'', sog. "circumferential law"). Den ersten Fall (Area Law) kann man sich anschaulich als Folge der additiven Beiträge vieler farbelektrischer confinement-Flusstuben vorstellen. Er zeigt ein Verhalten der linearen Zunahme des zugehörigen Potentials mit dem Abstand, ähnlich wie zum Beispiel im elastischen Verhalten eines [[Gummielastizität|Gummibandes]]. Im zweiten Fall gibt es keine solchen Fluss-Beiträge durch die Schleife bzw. sie heben sich im Mittel auf, es liegt ein Abstandsverhalten des zugehörigen Potentials umgekehrt proportional zum Abstand vor wie in der Elektrodynamik vor (Coulombphase). Die Wilson-Loops werden dabei über geschlossene Kurven in der Raum-Zeit gebildet, wobei die Zeit imaginär angenommen wird, so dass sich ein euklidischer Formalismus ähnlich wie bei der statistischen Mechanik, nur in vier Dimensionen, ergibt (wobei die entsprechende Temperatur umgekehrt proportional zur Zeit ist und periodische Randbedingungen angenommen werden). Die geschlossenen Kurven werden üblicherweise über eine Zeit- und eine Raumrichtung geführt; es werden aber auch rein räumliche Schleifen betrachtet. Im ersten Fall entsprechen die Wilson-Loops im Kontinuum-Limes des Gitters der Berechnung des [[Quark (Physik)|Quark]]-Antiquark Potentials.
+== Anwendung ==
+=== Gittereichtheorien ===
+Ein Hauptanwendungsgebiet der Wilson-Loops sind Gittereichtheorien, wo aus ihnen [[Ordnungsparameter]] für verschiedene Phasenzustände gewonnen werden.
-In der Elektrodynamik ist <math>\oint_C A_\mu dx^\mu </math>  identisch mit dem magnetischen Fluss durch die Schleife C, falls diese räumlich ist, wie sich durch Anwendung des [[Satz von Stokes|Satzes von Stokes]] ergibt.
+In der [[Quantenchromodynamik]] beispielsweise (betrachtet als [[Quantenfeldtheorie]] auf einem Gitter bei endlicher Temperatur) werden mit den Wilson Loops unterschieden:
+* [[Confinement]]-Phasen, wenn sich der Ausdruck im Exponenten in der räumlichen Dimension ''flächenhaft'' verhält (proportional zur umschlossenen Fläche; ''area law''). Dies kann man sich als Folge der additiven Beiträge vieler farbelektrischer confinement-Flusstuben vorstellen. Das zugehörige Potential nimmt linear mit dem Abstand zu, ähnlich dem [[Gummielastizität|elastischen Verhalten eines Gummibandes]].
+* [[Deconfinement]]-Phasen, wenn sich der Ausdruck im Exponenten in der räumlichen Dimension ''linear'' verhält (proportional zum ''Umfang'' der Schleife <math>C</math>; ''circumferential law''). Hier gibt es ''keine'' Fluss-Beiträge durch die Schleife bzw. sie heben sich im Mittel auf. Das zugehörige Potential verhält sich ''umgekehrt'' proportional zum Abstand, wie in der Elektrodynamik ([[Coulombsches Gesetz#Coulomb-Potential|Coulombphase]]).
-Wilson-Loops werden auch in der [[Stringtheorie]] betrachtet, wo sich auch die Möglichkeit nicht kontraktibler (zusammenziehbarer) Loops in den kompaktifizierten Extra-Dimensionen ergibt, je nach deren Topologie. In der [[Loop-Quantengravitation]] von Ashtekar spielen sie eine große Rolle als fundamentale Basiszustände einer quantisierten Gravitationstheorie. Dort wird ein [[Paralleltransport]] eines Vierbeins längs eines geschlossenen Weges betrachtet. Das ist in direkter Analogie zu den Wilson-Loops in den Eichtheorien, deren Beschreibung mathematisch ähnlich ist ([[Faserbündel]] mit zugehörigen, den Paralleltransport beschreibenden  Zusammenhangsformen ("connections"), die im Fall der Eichtheorien mit den Eichfeldern identisch sind). Seit den 1990er Jahren wird in der [[Quantengravitation]] zunehmend der Formalismus der [[Spin-Netzwerk]]e verwendet.
+Die Wilson-Loops werden dabei über geschlossene Kurven in der [[Raum-Zeit]] gebildet, wobei die Zeit [[Imaginäre Zahl|imaginär]] angenommen wird, so dass sich ein euklidischer Formalismus ähnlich wie bei der [[statistische Mechanik|statistischen Mechanik]] ergibt, nur in [[4D|vier Dimensionen]]. Dabei ist die entsprechende Temperatur umgekehrt proportional zur Zeit, und es werden periodische [[Randbedingung]]en angenommen. Die geschlossenen Kurven werden üblicherweise über eine Zeit- und eine Raumrichtung geführt; dann entsprechen die Wilson-Loops im [[Kontinuum (Physik)|Kontinuum]]-Limes des Gitters der Berechnung des [[Quark (Physik)|Quark]]-Antiquark-Potentials. Es werden aber auch rein räumliche Schleifen betrachtet.
+=== Elektrodynamik ===
+In der [[Elektrodynamik]] ist <math>\oint_C A_\mu dx^\mu </math>  identisch mit dem [[magnetischer Fluss|magnetischen Fluss]] durch die Schleife <math>C</math>, falls diese räumlich ist, wie sich durch Anwendung des [[Satz von Stokes|Satzes von Stokes]] ergibt.
+=== Stringtheorie und Quantengravitation ===
+Wilson-Loops werden auch in der [[Stringtheorie]] betrachtet. Hier ergibt sich die Möglichkeit nicht kontraktibler (zusammenziehbarer) Loops in den kompaktifizierten Extra-Dimensionen, je nach deren [[Topologie (Mathematik)|Topologie]].
+In der [[Loop-Quantengravitation]] von [[Ashtekar]] spielen Wilson-Loops eine große Rolle als fundamentale Basiszustände einer [[Quantengravitation|quantisierten Gravitationstheorie]]. Dort wird ein [[Paralleltransport]] eines Vierbeins längs eines geschlossenen Weges betrachtet. Das ist in direkter Analogie zu den Wilson-Loops in den Eichtheorien, deren Beschreibung mathematisch ähnlich ist ([[Faserbündel]] mit zugehörigen, den Paralleltransport beschreibenden  Zusammenhangsformen ("connections"), die im Fall der Eichtheorien mit den Eichfeldern identisch sind).
+Seit den 1990er&nbsp;Jahren wird in der Quantengravitation statt der Wilson-Loops zunehmend der Formalismus der [[Spin-Netzwerk]]e verwendet.
 [[Kategorie:Stringtheorie]]
 [[Kategorie:Quantenfeldtheorie]]
 [[Kategorie:Allgemeine Relativitätstheorie]]