Niveaumenge: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 15. Juli 2019, 20:44 Uhr

Niveaumengen (schwarze Linien) um einen Sattelpunkt einer Funktion von zwei Variablen

In der Mathematik bezeichnet eine Niveaumenge oder Levelmenge die Menge aller Punkte des Definitionsbereichs einer Funktion, denen ein gleicher Funktionswert zugeordnet ist. Eng verwandte Begriffe für Funktionen mit Werten in einer geordneten Menge sind die der Subniveaumenge, die alle Punkte enthält, deren Funktionswerte einen vorgegebenen Wert nicht überschreiten, und der Superniveaumenge, die alle Punkte enthält, deren Funktionswerte einen vorgegebenen Wert nicht unterschreiten.

Definition

Es seien $U, V$ Mengen, $f : U \to V$ eine Funktion und $c \in V$ ein Wert aus der Zielmenge, dann heißt

N_{f} (c) := f^{- 1} (c) = {x \in U ∣ f (x) = c} \subseteq U

die Niveaumenge der Funktion $f$ zum Niveau bzw. Level $c$ .

Trägt $V$ eine Ordnungsrelation $\leq$ (mit Umkehrrelation $\geq$ ), können wir folgende Begriffe definieren.

Als Subniveaumenge wird die Menge

L_{f}^{\leq} (c) := {x \in U ∣ f (x) \leq c}

bezeichnet, im Falle $V = R$ ist $L_{f}^{\leq} (c) = f^{- 1} ((- \infty, c])$ .

Als Superniveaumenge wird die Menge

L_{f}^{\geq} (c) := {x \in U ∣ f (x) \geq c}

bezeichnet, im Falle $V = R$ ist $L_{f}^{\geq} (c) = f^{- 1} ([c, \infty))$ .

Anwendungen

Physik

Für zweidimensionale Skalarfelder ist eine Niveaumenge zumeist eine Linie und man spricht von einer Isolinie oder Niveaulinie. Für dreidimensionale Skalarfelder (zum Beispiel für skalare Potentialfelder) ist diese Menge zumeist eine gekrümmte Fläche und man nennt sie Isofläche oder Niveaufläche (z. B. Höhenlinien).
Der Begriff Niveaufläche wird aber auch für Kraftfelder wie das elektrische Feld oder Magnetfelder verwendet.

Wirtschaftswissenschaften

Für eine Produktionsfunktion $f : (0, \infty)^{n} \to (0, \infty)$ sowie ein Produktionsniveau $c \in (0, \infty)$ ist $N_{f} (c) = f^{- 1} (c)$ die Menge aller Bündel von Produktionsfaktoren, mit denen sich die Menge $c$ generieren lässt. Die Menge $N_{f} (c)$ wird als Isoquante zum Produktionsniveau $c$ bezeichnet.^[1]

Verallgemeinerung

Ist die Funktion reell-vektorwertig, hat also als Bildraum den $R^{n}$ und ist dieser mit einer verallgemeinerten Ungleichung $≼_{K}$ versehen, so lässt sich die Subniveaumenge verallgemeinern zu

L_{f}^{\leq} (c) := {x \in U ∣ f (x) ≼_{K} c}

und die Superniveaumenge zu

L_{f}^{\geq} (c) := {x \in U ∣ f (x) ≽_{K} c}

.

Einzelnachweise

↑ Klaus D. Schmidt: Mathematik. Grundlagen für Wirtschaftswissenschaftler. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2000, ISBN 978-3-540-66521-2, S. 369 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

[1] Klaus D. Schmidt: Mathematik. Grundlagen für Wirtschaftswissenschaftler. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2000, ISBN 978-3-540-66521-2, S. 369 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

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 [[Datei:Saddle contours.svg|thumb|right|Niveaumengen (schwarze Linien) um einen [[Sattelpunkt]] einer Funktion von zwei Variablen]]
-In der [[Mathematik]] bezeichnet man mit '''Niveaumenge''' oder '''Levelmenge''' die Menge aller Punkte des [[Definitionsbereich|Definitionsbereichs]] einer [[Funktion_(Mathematik)|Funktion]], denen der gleiche Wert zugeordnet ist. Eng verwandte Begriffe für Funktionen mit Werten in einer geordneten Menge sind die der '''Subniveaumenge''', die alle Punkte enthält, deren Funktionswerte einen vorgegebenen Wert nicht überschreiten, und der '''Superniveaumenge''', die alle Punkte enthält, deren Funktionswerte einen vorgegebenen Wert nicht unterschreiten.
+In der [[Mathematik]] bezeichnet eine '''Niveaumenge''' oder '''Levelmenge''' die Menge aller Punkte des [[Definitionsbereich|Definitionsbereichs]] einer [[Funktion_(Mathematik)|Funktion]], denen ein gleicher Funktionswert zugeordnet ist. Eng verwandte Begriffe für Funktionen mit Werten in einer geordneten Menge sind die der '''Subniveaumenge''', die alle Punkte enthält, deren Funktionswerte einen vorgegebenen Wert nicht überschreiten, und der '''Superniveaumenge''', die alle Punkte enthält, deren Funktionswerte einen vorgegebenen Wert nicht unterschreiten.
 == Definition ==
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 === Physik ===
-Für zweidimensionale Skalarfelder ist diese Menge zumeist eine Linie und man spricht von einer ''[[Isolinie]]'' oder ''Niveaulinie.'' Für dreidimensionale Skalarfelder (zum Beispiel für skalare [[Potential (Physik)|Potentialfelder]]) ist diese Menge zumeist eine gekrümmte [[Fläche (Mathematik)|Fläche]] und man nennt sie ''[[Isofläche]]'' oder ''[[Niveaufläche]]'' (z.&nbsp;B. ''Höhenlinien'').<br/>
+Für zweidimensionale [[Skalarfeld]]er ist eine Niveaumenge zumeist eine Linie und man spricht von einer ''[[Isolinie]]'' oder ''Niveaulinie.'' Für dreidimensionale Skalarfelder (zum Beispiel für skalare [[Potential (Physik)|Potentialfelder]]) ist diese Menge zumeist eine gekrümmte [[Fläche (Mathematik)|Fläche]] und man nennt sie ''[[Isofläche]]'' oder ''[[Niveaufläche]]'' (z.&nbsp;B. ''Höhenlinien'').<br/>
-Der Begriff ''Niveaufläche'' wird aber auch für andere Kraftfelder wie einem [[Elektrisches Feld|elektrischen Feld]] oder einem [[Magnetismus|Magnetfeld]] verwendet.
+Der Begriff ''Niveaufläche'' wird aber auch für Kraftfelder wie das [[Elektrisches Feld|elektrische Feld]] oder [[Magnetismus|Magnetfelder]] verwendet.
 === Wirtschaftswissenschaften ===
-Für eine Produktionsfunktion <math>f\colon (0, \infty)^n \to (0, \infty)</math> sowie ein Produktionsniveau <math>c \in (0, \infty)</math> ist <math>\mathcal N_f(c) = f^{- 1}(c)</math> die Menge aller Bündel von Produktionsfaktoren, mit denen sich die Menge <math>c</math> generieren lässt. Die Menge <math>\mathcal N_f(c)</math> wird als ''Isoquante'' zum Produktionsniveau <math>c</math> bezeichnet.<ref>{{Literatur | Autor=Klaus D. Schmidt | Titel=Mathematik | TitelErg=Grundlagen für Wirtschaftswissenschaftler | Auflage=2. | Verlag=Springer-Verlag | Ort=Berlin | Jahr=2000 | ISBN=978-3-540-66521-2 | Seiten=369 | Online={{Google Buch| BuchID=LE_RQAbHZbEC}}}}</ref>
+Für eine [[Produktionsfunktion]] <math>f\colon (0, \infty)^n \to (0, \infty)</math> sowie ein Produktionsniveau <math>c \in (0, \infty)</math> ist <math>\mathcal N_f(c) = f^{- 1}(c)</math> die Menge aller Bündel von Produktionsfaktoren, mit denen sich die Menge <math>c</math> generieren lässt. Die Menge <math>\mathcal N_f(c)</math> wird als ''Isoquante'' zum Produktionsniveau <math>c</math> bezeichnet.<ref>{{Literatur | Autor=Klaus D. Schmidt | Titel=Mathematik | TitelErg=Grundlagen für Wirtschaftswissenschaftler | Auflage=2. | Verlag=Springer-Verlag | Ort=Berlin | Jahr=2000 | ISBN=978-3-540-66521-2 | Seiten=369 | Online={{Google Buch| BuchID=LE_RQAbHZbEC}}}}</ref>
 == Verallgemeinerung ==
 Ist die Funktion [[reell-vektorwertige Funktion|reell-vektorwertig]], hat also als Bildraum den <math> \R^n </math> und ist dieser mit einer [[verallgemeinerte Ungleichung|verallgemeinerten Ungleichung]] <math> \preccurlyeq_K </math> versehen, so lässt sich die Subniveaumenge verallgemeinern zu