Skalarfeld: Unterschied zwischen den Versionen
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In der mehrdimensionalen [[Analysis]], der [[Vektorrechnung]] und der [[Differentialgeometrie]] ist ein '''skalares Feld''' (kurz '''Skalarfeld''') eine Funktion, die jedem Punkt eines Raumes eine reelle Zahl ([[Skalar (Mathematik)|Skalar]]) zuordnet, z. B. eine Temperatur. | In der mehrdimensionalen [[Analysis]], der [[Vektorrechnung]] und der [[Differentialgeometrie]] ist ein '''skalares Feld''' (kurz '''Skalarfeld''') eine Funktion, die jedem Punkt eines Raumes eine [[reelle Zahl]] ([[Skalar (Mathematik)|Skalar]]) zuordnet, z. B. eine [[Temperatur]].<ref name="sanal2015">{{Literatur |Autor=Ziya Şanal |Titel=Mathematik für Ingenieure: Grundlagen – Anwendungen in Maple |Datum=2015-07 |Verlag=Springer |ISBN=9783658106423 |Seiten=550}}</ref> | ||
Skalarfelder sind von großer Bedeutung in der [[Feld (Physik)|Feldbeschreibung der Physik]] und in der mehrdimensionalen [[Vektoranalysis]]. | Skalarfelder sind von großer Bedeutung in der [[Feld (Physik)|Feldbeschreibung der Physik]]<ref name="bartelmann2014">{{Literatur |Autor=Matthias Bartelmann, Björn Feuerbacher, Timm Krüger, Dieter Lüst, Anton Rebhan, Andreas Wipf |Titel=Theoretische Physik |Verlag=Springer |Datum=2014 |ISBN=9783642546181 |Seiten=31, 35, 274}}</ref> und in der mehrdimensionalen [[Vektoranalysis]].<ref>{{Literatur |Autor=Paul C. Matthews |Titel=Vector Calculus |Reihe=Springer Undergraduate Mathematics Series |Verlag=Springer |Datum=2000 |ISBN=9783540761808 |Kapitel=1.6 Scalar fields and vector fields}}</ref> | ||
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Man spricht von einem ''stationären Skalarfeld'', wenn die Funktionswerte nur vom Ort abhängen. Hängen sie auch von der Zeit ab, handelt es sich um ein ''instationäres Skalarfeld''.<ref name="iben2013"/> | |||
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Beispiele für Skalarfelder in der Physik sind der [[Druck (Physik)|Luftdruck]], die [[Temperatur]], [[Dichte]] oder allgemein [[Potential (Physik)|Potentiale]] (auch als [[Skalarpotential]]e bezeichnet). | Beispiele für Skalarfelder in der Physik sind der [[Druck (Physik)|Luftdruck]], die [[Temperatur]], [[Dichte]] oder allgemein [[Potential (Physik)|Potentiale]] (auch als [[Skalarpotential]]e bezeichnet).<ref name="bartelmann2014"/><ref>{{Literatur |Autor=Josef Betten |Titel=Elementare Tensorrechnung für Ingenieure: Mit zahlreichen Übungsaufgaben und vollständig ausgearbeiteten Lösungen |Verlag=Springer |Datum=2013 |ISBN=9783663141396 |Seiten=112}}</ref> | ||
== Operationen == | == Operationen == | ||
Wichtige Operationen im Zusammenhang mit Skalarfeldern sind: | Wichtige Operationen im Zusammenhang mit Skalarfeldern sind:<ref name="iben2013">{{Literatur |Autor=Hans Karl Iben |Titel=Tensorrechnung – Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Ökonomen und Landwirte |Verlag=Springer |Datum=2013 |ISBN=9783322847928 |Kapitel=4.2 Gradient, Divergenz und Rotation von Tensorfeldern}}</ref> | ||
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Aktuelle Version vom 10. Juni 2020, 06:39 Uhr
In der mehrdimensionalen Analysis, der Vektorrechnung und der Differentialgeometrie ist ein skalares Feld (kurz Skalarfeld) eine Funktion, die jedem Punkt eines Raumes eine reelle Zahl (Skalar) zuordnet, z. B. eine Temperatur.[1]
Skalarfelder sind von großer Bedeutung in der Feldbeschreibung der Physik[2] und in der mehrdimensionalen Vektoranalysis.[3]
Definition
Ein Skalarfeld $ \varphi $ bildet jeden Punkt $ p $ einer Mannigfaltigkeit $ M $ auf einen Skalar $ \varphi (p) $ ab.
Man unterscheidet dabei zwischen reellwertigen Skalarfeldern
- $ \varphi \colon M\to \mathbb {R} $
und komplexwertigen Skalarfeldern
- $ \varphi \colon M\to \mathbb {C} $.
Man spricht von einem stationären Skalarfeld, wenn die Funktionswerte nur vom Ort abhängen. Hängen sie auch von der Zeit ab, handelt es sich um ein instationäres Skalarfeld.[4]
Beispiele
Beispiele für Skalarfelder in der Physik sind der Luftdruck, die Temperatur, Dichte oder allgemein Potentiale (auch als Skalarpotentiale bezeichnet).[2][5]
Operationen
Wichtige Operationen im Zusammenhang mit Skalarfeldern sind:[4]
- Gradient eines Skalarfeldes, der ein Vektorfeld ist.
- Richtungsableitung eines Skalarfeldes.
Einordnung
Im Gegensatz zum Skalarfeld ordnet ein Vektorfeld jedem Punkt einen Vektor zu. Ein Skalarfeld ist das einfachste Tensorfeld.[4]
Einzelnachweise
- ↑ Ziya Şanal: Mathematik für Ingenieure: Grundlagen – Anwendungen in Maple. Springer, 2015, ISBN 978-3-658-10642-3, S. 550.
- ↑ 2,0 2,1 Matthias Bartelmann, Björn Feuerbacher, Timm Krüger, Dieter Lüst, Anton Rebhan, Andreas Wipf: Theoretische Physik. Springer, 2014, ISBN 978-3-642-54618-1, S. 31, 35, 274.
- ↑ Paul C. Matthews: Vector Calculus (= Springer Undergraduate Mathematics Series). Springer, 2000, ISBN 978-3-540-76180-8, 1.6 Scalar fields and vector fields.
- ↑ 4,0 4,1 4,2 Hans Karl Iben: Tensorrechnung – Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Ökonomen und Landwirte. Springer, 2013, ISBN 978-3-322-84792-8, 4.2 Gradient, Divergenz und Rotation von Tensorfeldern.
- ↑ Josef Betten: Elementare Tensorrechnung für Ingenieure: Mit zahlreichen Übungsaufgaben und vollständig ausgearbeiteten Lösungen. Springer, 2013, ISBN 978-3-663-14139-6, S. 112.
Normdaten (Sachbegriff): GND: 4181618-3