Anyon: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 13. Juli 2021, 11:57 Uhr

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Anyonen (von englisch any ‚irgendein‘) sind exotische Quasiteilchen, die weder Bosonen (mit ganzzahligem Spin) noch Fermionen (mit halbzahligem Spin) sind. In der theoretischen Festkörperphysik werden die Anyonen besonders im Zusammenhang mit dem Quanten-Hall-Effekt intensiv erforscht. Neuerdings beschäftigen sich auch Experimentalphysiker und Informatiker damit, und zwar im Zusammenhang mit sogenannten „topologischen Quantencomputern“. Anyonen können aus mathematischen Gründen nur in zwei Dimensionen existieren. Als Quasiteilchen sind sie in zweidimensionalen Systemen (z. B. dünne Schichten) etabliert.

Ein Anyon darf nicht mit dem chemischen Begriff Anion verwechselt werden.

Auftreten und mathematische Grundlage

Die Existenz dieser Teilchen ist eine Folge davon, dass die Art der Quantenstatistik von massiven identischen Teilchen von der Dimension des Raumes abhängt: Der Hilbertraum trägt eine unitäre Darstellung der Fundamentalgruppe des Konfigurationsraums. Für eine Dimension ist dies die triviale Gruppe und es gibt keinen Unterschied zwischen Fermionen und Bosonen. Für zwei Dimensionen ist dies die Artin'sche „Zopfgruppe“ und für drei Dimensionen und mehr die symmetrische Gruppe.^[1] Da die Zopfgruppe die symmetrische Gruppe nur als Quotienten enthält, sind in zweidimensionalen Systemen neben Bosonen und Fermionen noch weitere Teilchenarten erlaubt.

Beispiel: Gebrochenzahliger (= fraktionaler) Quanten-Hall-Effekt

Die Vertauschung zweier elementarer Anregungen mit nicht ganzzahliger Ladung führt hier wegen der anhängenden Magnetflussquanten^[2] bei Drehungen um 360° zu einer Aharonov-Bohm-Phase, welche weder $\pi$ (Fermionen) noch 0 bzw. $2\pi$ (Bosonen) beträgt, sondern durch einen beliebigen Wert $\theta$ charakterisiert ist ( $\langle \psi _{1}\psi _{2}\rangle \equiv \langle \psi _{2}\psi _{1}\rangle \,e^{i\theta }$ ). Der Spin hat dann den Wert $s=\theta /2\pi$ , muss also auch nicht notwendig ganz- oder halbzahlig sein.

Im Zusammenhang mit diesem Effekt, insbesondere den Zusammenhängen mit dem ganzzahligen und gebrochenzahligen Quanten-Hall-Effekt, ist auch der Begriff der sog. „Composite Fermions“ aktuell (s. u. bei Literatur).

Anwendungen

Anwendungen betreffen sowohl reale mathematisch-abstrakte Aspekte wie die bereits erwähnte Artin'sche Zopfgruppe^[1] als auch derzeit als spekulativ zu bewertende Gegenstände wie eine von Experimentalphysikern und Informatikern untersuchte aussichtsreiche „topologische“ Realisierung des (noch nicht existierenden) Quantencomputers. Hierfür sind besonders die sogenannten nichtabelschen Anyonen interessant, deren Vertauschungsrelationen sich nicht durch eine Phase allein beschreiben lassen. Nichtabelsche Anyonen besitzen interne Freiheitsgrade, so dass ein System von $$ n $$ Anyonen (an den Orten $r_{1},\dots ,r_{n}$ ) eine $$ g>1 $$ -fache Entartung aufweist und Vertauschungen unter den $$ n $$ Teilchen mit einer unitären Transformation auf dem $$ g $$ -dimensionalen entarteten Raum einhergehen. Wenn diese unitären Transformationen nicht alle miteinander kommutieren, heißen die Anyonen nicht-abelsch. (Der Name kommt daher, dass die unitären Transformationenen als eine nichtabelsche Darstellung der der Vertauschung zugrunde liegenden Zopfgruppe verstanden werden können.^[3]^[4]) Topologisches Quantencomputing wird dann innerhalb des $$ g $$ -dimensionalen Raums allein durch Vertauschen von Anyonen realisiert. Dazu müssen die durch Vertauschung erzeugten unitären Transformationen eine universelle Menge von Quantengattern sein.

Einzelnachweise und Fußnoten

↑ ^1,0 ^1,1 Der wesentliche Aspekt ist, dass ein „Zopf“ jeden anderen beliebig oft „umwinden“ kann, sodass es im Zweidimensionalen nicht nur auf die Position – und damit das Permutationsverhalten – der singulären Punkte ankommt.
↑ Durch das beteiligte Flussschlauch-Gitter ist das System quasi-zweidimensional; siehe auch den letzten Weblink.
↑
↑ Rainer Scharf: Viertelelektronen mit nicht-abelscher Teilchenstatistik? In: pro-physik.de. 17. April 2008, abgerufen am 4. Februar 2020.

Literatur

Frank Wilczek: Fractional Statistics and Anyon Superconductivity. World Scientific Publishing Company, 1990, ISBN 981-02-0049-8.
Frank Wilczek: Anyons. In: Scientific American. Mai 1991.
Jainendra K. Jain: Composite Fermions. Cambridge University Press, 2007, ISBN 978-0-521-86232-5.

Weblinks

Wiktionary: Anyon – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

S. Rao: An Anyon Primer, 1992
Interview mit F. Wilczek von 1991 über Anyonen, archiviert bei archive.is (Memento vom 2. März 2008 im Internet Archive)
Anyonen in der Quanteninformatik (Memento vom 29. September 2007 im Internet Archive) – Seminararbeit (Winter 2003/04) an der Universität Karlsruhe von Pascal Bihler (PDF; 268 kB)

[Artin-1] 1,0 ^1,1 Der wesentliche Aspekt ist, dass ein „Zopf“ jeden anderen beliebig oft „umwinden“ kann, sodass es im Zweidimensionalen nicht nur auf die Position – und damit das Permutationsverhalten – der singulären Punkte ankommt.

[2] Durch das beteiligte Flussschlauch-Gitter ist das System quasi-zweidimensional; siehe auch den letzten Weblink.

[3] ↑

[4] Rainer Scharf: Viertelelektronen mit nicht-abelscher Teilchenstatistik? In: pro-physik.de. 17. April 2008, abgerufen am 4. Februar 2020.

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-'''Anyonen''' (von [[Englische Sprache|engl.]] ''any'': irgendein; nicht zu verwechseln mit [[Anion]]en) sind exotische [[Quasiteilchen]], die weder [[Boson]]en (mit ganzzahligem Spin) noch [[Fermion]]en (mit halbzahligem Spin) sind. In der theoretischen Festkörperphysik werden die Anyonen besonders im Zusammenhang mit dem [[Quanten-Hall-Effekt]] intensiv erforscht. Neuerdings beschäftigen sich auch Experimentalphysiker und Informatiker damit, und zwar im Zusammenhang mit  sog. „[[Topologie|topologischen]] [[Quantencomputer]]n“.
+{{Dieser Artikel|behandelt die Quasiteilchen. Zum ähnlich lautenden Begriff negativer Ionen siehe [[Anion]].}}
+{{QS-Physik|Unerledigt=2019}}
-Anyonen können aus mathematischen Gründen nur in zwei [[Dimension (Mathematik)|Dimensionen]] oder als [[Masse (Physik)|masselose]] Teilchen existieren. Als Quasiteilchen sind sie in zweidimensionalen Systemen (z.&nbsp;B. dünne Schichten) etabliert.
+'''Anyonen''' (von {{enS|any|de=irgendein}}) sind exotische [[Quasiteilchen]], die weder [[Boson]]en (mit ganzzahligem [[Spin]]) noch [[Fermion]]en (mit halbzahligem Spin) sind. In der theoretischen [[Festkörperphysik]] werden die Anyonen besonders im Zusammenhang mit dem [[Quanten-Hall-Effekt]] intensiv erforscht. Neuerdings beschäftigen sich auch Experimentalphysiker und Informatiker damit, und zwar im Zusammenhang mit sogenannten „[[Topologische Quantenfeldtheorie|topologischen]] [[Quantencomputer]]n“.
+Anyonen können aus mathematischen Gründen nur in zwei [[Dimension (Mathematik)|Dimensionen]] existieren. Als Quasiteilchen sind sie in zweidimensionalen Systemen (z.&nbsp;B. [[dünne Schichten]]) etabliert.
-Die Existenz dieser Teilchen ist eine Folge davon, dass die Art der [[Quantenstatistik]] von massiven identischen Teilchen von der Dimension des Raumes abhängt: Der [[Hilbertraum]] trägt eine [[Darstellungstheorie_(Gruppentheorie)#Einteilung nach Zielmengen|unitäre Darstellung]] der [[Fundamentalgruppe]] des [[Konfigurationsraum]]s. Für eine Dimension ist dies die [[triviale Gruppe]] und es gibt keinen Unterschied zwischen Fermionen und Bosonen. Für zwei Dimensionen ist dies die [[Artin-Gruppe|Artin'sche]] „[[Zopfgruppe]]“ und für drei Dimensionen und mehr die [[symmetrische Gruppe]].<ref name="Artin">Der wesentliche Aspekt ist, dass ein „Zopf“ jeden anderen beliebig oft „umwinden“ kann, sodass es im Zweidimensionalen nicht nur auf die Position – und damit das Permutationsverhalten – der singulären Punkte ankommt.</ref> Da die Zopfgruppe die symmetrische Gruppe nur als Quotienten enthält, sind in zweidimensionalen Systemen neben Bosonen und Fermionen noch weitere Teilchenarten erlaubt.
+Ein Anyon darf nicht mit dem chemischen Begriff [[Anion]] verwechselt werden.
-==Beispiel: Gebrochenzahliger (= fraktionaler) Quanten-Hall-Effekt ==
+== Auftreten und mathematische Grundlage ==
-Die Vertauschung zweier [[Elementare Anregung|elementarer Anregungen]] mit nicht ganzzahliger [[Ladung (Physik)|Ladung]] führt hier wegen der anhängenden [[Flussquantisierung|Magnetflussquanten]]&nbsp;<ref>Durch das beteiligte Flussschlauch-Gitter ist das System  quasi-zweidimensional; siehe auch den letzten Weblink.</ref> bei Drehungen um 360° zu einer [[Aharonov-Bohm-Effekt|Aharonov-Bohm-Phase]], welche weder π ([[Fermion]]en) noch  0 bzw. 2π ([[Boson]]en) beträgt, sondern durch einen beliebigen Wert θ charakterisiert ist &nbsp;<math>(\,\,\langle\psi_1\psi_2\rangle \equiv \langle\psi_2\psi_1\rangle\,e^{i\theta}\,\,).</math> Der [[Spin]] hat dann den Wert s = θ/2π, muss also auch nicht notwendig ganz- oder halbzahlig sein.
+Die Existenz dieser Teilchen ist eine Folge davon, dass die Art der [[Quantenstatistik]] von massiven identischen Teilchen von der Dimension des Raumes abhängt: Der [[Hilbertraum]] trägt eine [[Darstellung (Gruppe)#Einteilung nach Zielmengen|unitäre Darstellung]] der [[Fundamentalgruppe]] des [[Konfigurationsraum]]s. Für eine Dimension ist dies die [[triviale Gruppe]] und es gibt keinen Unterschied zwischen Fermionen und Bosonen. Für zwei Dimensionen ist dies die [[Artin-Gruppe|Artin'sche]] „[[Zopfgruppe]]“ und für drei Dimensionen und mehr die [[symmetrische Gruppe]].<ref name="Artin">Der wesentliche Aspekt ist, dass ein „Zopf“ jeden anderen beliebig oft „umwinden“ kann, sodass es im Zweidimensionalen nicht nur auf die Position – und damit das Permutationsverhalten – der singulären Punkte ankommt.</ref> Da die Zopfgruppe die symmetrische Gruppe nur als Quotienten enthält, sind in zweidimensionalen Systemen neben Bosonen und Fermionen noch weitere Teilchenarten erlaubt.
+== Beispiel: Gebrochenzahliger (= fraktionaler) Quanten-Hall-Effekt ==
+Die Vertauschung zweier [[Elementare Anregung|elementarer Anregungen]] mit nicht ganzzahliger [[Ladung (Physik)|Ladung]] führt hier wegen der anhängenden [[Flussquantisierung|Magnetflussquanten]]<ref>Durch das beteiligte Flussschlauch-Gitter ist das System quasi-zweidimensional; siehe auch den letzten Weblink.</ref> bei Drehungen um 360° zu einer [[Aharonov-Bohm-Effekt|Aharonov-Bohm-Phase]], welche weder <math>\pi</math> ([[Fermion]]en) noch 0 bzw. <math>2\pi</math> ([[Boson]]en) beträgt, sondern durch einen beliebigen Wert <math>\theta</math> charakterisiert ist (<math>\langle\psi_1\psi_2\rangle \equiv \langle\psi_2\psi_1\rangle\,e^{i\theta}</math>). Der [[Spin]] hat dann den Wert <math>s = \theta/2\pi</math>, muss also auch nicht notwendig ganz- oder halbzahlig sein.
 Im Zusammenhang mit diesem Effekt, insbesondere den Zusammenhängen mit dem ganzzahligen und gebrochenzahligen [[Quanten-Hall-Effekt]], ist auch der Begriff der sog. „Composite Fermions“ aktuell (s.&nbsp;u. bei Literatur).
 == Anwendungen ==
-Anwendungen betreffen sowohl ''reale'' mathematisch-abstrakte Aspekte wie die bereits erwähnte [[Emil Artin|Artin'sche]] ''[[Zopfgruppe]]''<ref name="Artin" /> als auch derzeit als ''spekulativ'' zu bewertende Gegenstände wie eine von Experimentalphysikern und Informatikern untersuchte aussichtsreiche [[Topologie|„topologische“]] Realisierung des (noch nicht existierenden!) [[Quantencomputer]]s.
+Anwendungen betreffen sowohl ''reale'' mathematisch-abstrakte Aspekte wie die bereits erwähnte [[Emil Artin|Artin'sche]] ''[[Zopfgruppe]]''<ref name="Artin" /> als auch derzeit als ''spekulativ'' zu bewertende Gegenstände wie eine von Experimentalphysikern und Informatikern untersuchte aussichtsreiche [[Topologische Quantenfeldtheorie|„topologische“]] Realisierung des (noch nicht existierenden) [[Quantencomputer]]s. Hierfür sind besonders die sogenannten ''nichtabelschen Anyonen'' interessant, deren Vertauschungsrelationen sich nicht durch eine Phase allein beschreiben lassen. Nichtabelsche Anyonen besitzen interne Freiheitsgrade, so dass ein System von <math>n</math> Anyonen (an den Orten <math>r_1,\dots,r_n</math>) eine <math>g>1</math>-fache [[Entartung (Quantenmechanik)|Entartung]] aufweist und Vertauschungen unter den <math>n</math> Teilchen mit einer [[Unitäre Abbildung|unitären Transformation]] auf dem <math>g</math>-dimensionalen entarteten Raum einhergehen. Wenn diese unitären Transformationen nicht alle miteinander [[Kommutativgesetz|kommutieren]], heißen die Anyonen nicht-abelsch. (Der Name kommt daher, dass die unitären Transformationenen als eine [[nichtabelsche Gruppe|nichtabelsche Darstellung]] der der Vertauschung zugrunde liegenden Zopfgruppe verstanden werden können.<ref>{{Literatur |Titel=Non-Abelian Anyons and Topological Quantum Computation |Autor=Chetan Nayak, Steven H. Simon, Ady Stern, [[Michael Freedman]], [[Sankar Das Sarma]] |Sammelwerk=Rev. Mod. Phys. |Band=80 |Seiten=1083 |Datum=2008 |DOI=10.1103/RevModPhys.80.1083 |arXiv=0707.1889 |Sprache=en}}</ref><ref>{{Internetquelle |url=https://www.pro-physik.de/nachrichten/viertelelektronen-mit-nicht-abelscher-teilchenstatistik |titel=Viertelelektronen mit nicht-abelscher Teilchenstatistik? |autor=Rainer Scharf |werk=pro-physik.de |datum=2008-04-17 |abruf=2020-02-04}}</ref>) Topologisches Quantencomputing wird dann innerhalb des <math>g</math>-dimensionalen Raums allein durch Vertauschen von Anyonen realisiert. Dazu müssen die durch Vertauschung erzeugten unitären Transformationen eine universelle Menge von [[Quantengatter]]n sein.
 == Einzelnachweise und Fußnoten ==
 <references />
 == Literatur ==
-* [[Frank Wilczek]]: ''Fractional Statistics and Anyon Superconductivity'', World Scientific Publishing Company, 1990, ISBN 981-02-0049-8
+* [[Frank Wilczek]]: ''Fractional Statistics and Anyon Superconductivity.'' World Scientific Publishing Company, 1990, ISBN 981-02-0049-8.
-* Frank Wilczek: ''Anyons'', Scientific American, Mai 1991
+* Frank Wilczek: ''Anyons.'' In: ''Scientific American.'' Mai 1991.
-* Jainendra K. Jain: ''Composite Fermions'', Cambridge University Press, 2007, ISBN 978-0-521-86232-5
+* [[Jainendra K. Jain]]: ''Composite Fermions.'' Cambridge University Press, 2007, ISBN 978-0-521-86232-5.
 == Weblinks ==
 {{Wiktionary|Anyon}}
-* [http://arxiv.org/abs/hep-th/9209066 S. Rao: ''An Anyon Primer'', 1992]
+* [https://arxiv.org/abs/hep-th/9209066 S. Rao: ''An Anyon Primer'', 1992]
 * {{Webarchiv | url=http://archive.sciencewatch.com/interviews/frank_wilczek1.htm | wayback=20080302043427 | text=Interview mit F. Wilczek von 1991 über Anyonen, archiviert bei archive.is}}
-* {{Webarchiv | url=http://www.bihler-online.de/mixed/pdf/anyonen.pdf | wayback=20070929220311 | text=Anyonen in der Quanteninformatik}} – Seminararbeit (Winter 2003/04) an der Universität Karlsruhe von Pascal Bihler (PDF, 268&nbsp;KB)
+* {{Webarchiv | url=http://www.bihler-online.de/mixed/pdf/anyonen.pdf | wayback=20070929220311 | text=Anyonen in der Quanteninformatik}} – Seminararbeit (Winter 2003/04) an der Universität Karlsruhe von Pascal Bihler (PDF; 268&nbsp;kB)
 [[Kategorie:Quantenfeldtheorie]]
 [[Kategorie:Quasiteilchen]]