Konforme Feldtheorie: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 14. Januar 2022, 01:23 Uhr

Konforme Feldtheorien (englisch Conformal Field Theory, Abkürzung CFT) sind Quantenfeldtheorien oder statistische Feldtheorien, die invariant sind unter beliebigen konformen Transformationen. In diese Kategorie fallen die meisten renormierbaren Feldtheorien an ihren kritischen Punkten, da das System dort Skaleninvarianz besitzt (beschrieben durch die Renormierungsgruppe), siehe auch Abbildung 1.

Abb. 1: Lokal lässt sich eine konforme Transformation durch eine Translation, eine Rotation und eine Skalenänderung beschreiben. Für ein physikalisches System mit kurzreichweitiger Wechselwirkung (man denke etwa an einen Kristall) sind Translation und Rotation unwesentlich. Dies veranschaulicht, weshalb skaleninvariante (kritische) Systeme mit kurzreichweitiger Wechselwirkung in der Regel auch konforme Invarianz aufweisen.

Die Gruppe der konformen Transformationen des 2-dimensionalen euklidischen Raumes wird erzeugt von einer unendlich-dimensionalen Algebra von Generatoren, der Witt-Algebra. Bei Berücksichtigung der Fluktuationen wird die Witt-Algebra zu einer Virasoro-Algebra. Dieser hohe Grad an Symmetrie ermöglicht eine Klassifikation 2-dimensionaler Feldtheorien und manchmal auch eine exakte Lösung. Aus diesem Grund sind die kritischen Exponenten 2-dimensionaler Systeme oft rationale Zahlen (Beispiele: Ising-Modell, isotrope Perkolation).

Weitere Anwendungen finden sich in der Stringtheorie, da ein String in der Raumzeit eine 2-dimensionale Fläche aufspannt.

Für d-dimensionale euklidische Räume mit d > 2 ist die Algebra der Generatoren hingegen nur (d+1)(d+2)/2 -dimensional, und die konforme Invarianz ist hier weniger nützlich.

Siehe auch

Holografisches Prinzip#Vermutete AdS/CFT-Korrespondenz

Literatur

Malte Henkel: Conformal invariance and critical Phenomena. Springer, Berlin u. a. 1999, ISBN 3-540-65321-X (Texts and Monographs in Physics).
John Cardy: Scaling and Renormalization in Statistical Physics. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 1996, ISBN 0-521-49959-3 (Cambridge Lecture Notes in Physics 5).

Weblinks

Strings und Branen-Welten: einige Aspekte einer vereinheitlichten Theorie aller Wechselwirkungen. Max-Planck-Gesellschaft, 2005
Michael Flohr: Konforme Feldtheorie und Riemannsche Flächen. (PDF; 1,77 MB) Leibniz Universität Hannover; Slideshow
Matthias R. Gaberdiel: Konforme Feldtheorie (PDF; 504 kB) Vorlesungsskript, ETH Zürich
Paul Ginsparg: Applied Conformal Field Theory, Lectures given at Les Houches summer session 1988 arxiv:hep-th/9108028

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-'''Konforme Feldtheorien''' (engl. ''Conformal Field Theory'', Abkürzung '''CFT''') sind [[Quantenfeldtheorie|Quantenfeldtheorien]]
+'''Konforme Feldtheorien''' ({{enS|Conformal Field Theory}}, Abkürzung '''CFT''') sind [[Quantenfeldtheorie]]n
-oder statistische Feldtheorien, die invariant sind unter beliebigen [[Konforme Abbildung|konformen Transformationen]].
+oder statistische [[Feldtheorie]]n, die invariant sind unter beliebigen [[Konforme Abbildung|konformen Transformationen]].
-In diese Kategorie fallen die meisten renormierbaren Feldtheorien an ihren [[Kritischer Punkt (Thermodynamik)|kritischen Punkten]].
+In diese Kategorie fallen die meisten renormierbaren Feldtheorien an ihren [[Kritischer Punkt (Thermodynamik)|kritischen Punkten]], da das System dort [[Skaleninvarianz]] besitzt (beschrieben durch die [[Renormierungsgruppe]]), siehe auch Abbildung&nbsp;1.
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+Lokal lässt sich eine konforme Transformation durch eine Translation, eine Rotation und eine Skalenänderung beschreiben. Für ein physikalisches System mit kurzreichweitiger Wechselwirkung (man denke etwa an einen Kristall) sind Translation und Rotation unwesentlich.
+Dies veranschaulicht, weshalb skaleninvariante (kritische) Systeme mit kurzreichweitiger Wechselwirkung in der Regel auch konforme Invarianz aufweisen.]]
 Die Gruppe der [[Konforme Abbildung|konformen Transformationen]] des 2-dimensionalen [[Euklidischer Raum|euklidischen Raumes]]
-wird erzeugt von einer unendlich-dimensionalen Algebra von Generatoren.
+wird erzeugt von einer unendlich-dimensionalen Algebra von [[Erzeuger (Algebra)|Generatoren]], der [[Witt-Algebra]]. Bei Berücksichtigung der Fluktuationen wird die Witt-Algebra zu einer [[Virasoro-Algebra]]. Dieser hohe Grad an Symmetrie ermöglicht eine Klassifikation 2-dimensionaler Feldtheorien und manchmal auch eine exakte Lösung. Aus diesem Grund sind die [[Kritischer Exponent|kritischen Exponenten]] 2-dimensionaler Systeme oft [[rationale Zahl]]en (Beispiele: [[Ising-Modell]], [[isotrop]]e [[Perkolationstheorie|Perkolation]]).
-Dieser hohe Grad an Symmetrie ermöglicht eine Klassifikation 2-dimensionaler Feldtheorien und manchmal auch eine exakte Lösung. Aus diesem Grund sind die [[Kritischer Exponent|kritischen Exponenten]]
--dimensionaler Systeme oft rationale Zahlen (Beispiele: [[Ising-Modell]], [[Perkolationstheorie|isotrope Perkolation]]).
-Weitere Anwendungen finden sich in der [[Stringtheorie]], da ein String in der Raumzeit eine 2-dimensionale Fläche aufspannt.
-Für ''d''-dimensionale euklidische Räume mit ''d > 2'' ist die Algebra der Generatoren hingegen nur ''(d+1)(d+2)/2'' -dimensional, und die konforme Invarianz ist hier weniger nützlich.
-'''Anschauliche Begründung für konforme Invarianz'''
+Weitere Anwendungen finden sich in der [[Stringtheorie]], da ein String in der [[Raumzeit]] eine 2-dimensionale Fläche aufspannt.
-Eine wesentliche Voraussetzung für konforme Invarianz ist, dass alle Wechselwirkungen kurzreichweitig sind.
+Für ''d''-dimensionale euklidische Räume mit ''d'' > 2 ist die Algebra der Generatoren hingegen nur (''d''+1)(''d''+2)/2 -dimensional, und die konforme Invarianz ist hier weniger nützlich.
-Dies impliziert eine lokale Invarianz unter Translation und Rotation. Die lokale Invarianz unter Reskalierung folgt aus der Renormierbarkeit.
 == Siehe auch ==
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 == Literatur ==
-* Malte Henkel: ''Conformal invariance and critical Phenomena.'' Springer, Berlin u. a. 1999, ISBN 3-540-65321-X (''Texts and Monographs in Physics'').
+* Malte Henkel: ''Conformal invariance and critical Phenomena.'' Springer, Berlin u.&nbsp;a. 1999, ISBN 3-540-65321-X (''Texts and Monographs in Physics'').
-* [[John Cardy]]: ''Scaling and Renormalization in Statistical Physics.'' Cambridge University Press, Cambridge u. a. 1996, ISBN 0-521-49959-3 (''Cambridge Lecture Notes in Physics'' 5).
+* [[John Cardy]]: ''Scaling and Renormalization in Statistical Physics.'' Cambridge University Press, Cambridge u.&nbsp;a. 1996, ISBN 0-521-49959-3 (''Cambridge Lecture Notes in Physics'' 5).
 == Weblinks ==
-* [http://www.mpg.de/821537/forschungsSchwerpunkt1?c=166398 ''Strings und Branen-Welten: einige Aspekte einer vereinheitlichten Theorie aller Wechselwirkungen''], Max-Planck-Gesellschaft 2005
+* [http://www.mpg.de/821537/forschungsSchwerpunkt1?c=166398 ''Strings und Branen-Welten: einige Aspekte einer vereinheitlichten Theorie aller Wechselwirkungen''.] Max-Planck-Gesellschaft, 2005
-* Michael Flohr (Leibniz Universität Hannover): [http://www.itp.uni-hannover.de/~flohr/lectures/muenster.pdf ''Konforme Feldtheorie und Riemannsche Flächen''], (PDF-Slideshow; 1,77 MB)
+* Michael Flohr: [http://www.itp.uni-hannover.de/~flohr/lectures/muenster.pdf ''Konforme Feldtheorie und Riemannsche Flächen''.] (PDF; 1,77 MB) Leibniz Universität Hannover; Slideshow
-* Matthias R. Gaberdiel: [http://www.phys.ethz.ch/~mrg/CFT.pdf ''Konforme Feldtheorie''], Vorlesungsskript ETH Zürich (PDF-Datei; 504 kB)
+* Matthias R. Gaberdiel: [http://www.phys.ethz.ch/~mrg/CFT.pdf ''Konforme Feldtheorie''] (PDF; 504 kB) Vorlesungsskript, ETH Zürich
-* Paul Ginsparg: [http://de.arxiv.org/abs/hep-th/9108028 ''Applied Conformal Field Theory''], Lectures given at Les Houches summer session 1988 (arXiv.org)
+* Paul Ginsparg: ''Applied Conformal Field Theory'', Lectures given at Les Houches summer session 1988 {{arXiv|hep-th/9108028}}
 [[Kategorie:Quantenfeldtheorie]]
 [[Kategorie:Stringtheorie]]