Wannier-Darstellung: Unterschied zwischen den Versionen
imported>Mademoiselle Choupette K (gem. Duden) |
imported>Qcomp K (alle Indizes "i" -> "m" (damit jetzt wieder einheitlich)) |
||
| Zeile 3: | Zeile 3: | ||
Die nach dem Schweizer Physiker [[Gregory Hugh Wannier]] benannte '''Wannier-Darstellung''' ist ein Begriff aus der [[Festkörperphysik]]. In der [[Tight-Binding]]-Näherung ist eine Beschreibung der [[elektron]]ischen [[Wellenfunktion]]en in der gitterperiodischen [[Bloch-Funktion|Bloch-Basis]] nicht mehr sinnvoll. Eher konstruiert man die [[Zustandsfunktion]] aus [[atom]]aren Wellenfunktionen. Diese sind nicht orthonormiert. Aus den [[Bloch-Funktion]]en lässt sich jedoch eine [[Orthonormalbasis]] [[Lokalisierung (Physik)|lokalisierter]] Zustände konstruieren: | Die nach dem Schweizer Physiker [[Gregory Hugh Wannier]] benannte '''Wannier-Darstellung''' ist ein Begriff aus der [[Festkörperphysik]]. In der [[Tight-Binding]]-Näherung ist eine Beschreibung der [[elektron]]ischen [[Wellenfunktion]]en in der gitterperiodischen [[Bloch-Funktion|Bloch-Basis]] nicht mehr sinnvoll. Eher konstruiert man die [[Zustandsfunktion]] aus [[atom]]aren Wellenfunktionen. Diese sind nicht orthonormiert. Aus den [[Bloch-Funktion]]en lässt sich jedoch eine [[Orthonormalbasis]] [[Lokalisierung (Physik)|lokalisierter]] Zustände konstruieren: | ||
:<math>\omega_{ | :<math>\omega_{m n}(\vec r - \vec R_m) = \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_k e^{-i \vec k \vec R_m} \cdot \psi_{n \vec k} (\vec r)</math> | ||
Dabei ist | Dabei ist | ||
* <math>\psi_{n \vec k} (\vec r )</math> eine Bloch-Funktion | * <math>\psi_{n \vec k} (\vec r )</math> eine Bloch-Funktion | ||
* <math> \omega_{i n} (\vec r - \vec | * <math> \omega_{i n} (\vec r - \vec R_m)</math> der zugehörige Wannier-Zustand | ||
* <math>e</math> die [[Eulersche Zahl]] | * <math>e</math> die [[Eulersche Zahl]] | ||
* <math>i</math> die [[imaginäre Einheit]] | * <math>i</math> die [[imaginäre Einheit]] | ||
| Zeile 16: | Zeile 16: | ||
Die umgekehrte Konstruktion der Bloch-Zustände aus den Wannier-Zuständen heißt dann | Die umgekehrte Konstruktion der Bloch-Zustände aus den Wannier-Zuständen heißt dann | ||
:<math>\psi_{n \vec k} (\vec r) = \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{\vec | :<math>\psi_{n \vec k} (\vec r) = \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{\vec R_m} e^{i \vec k \vec R_m} \cdot \omega_{i n}(\vec r - \vec R_m)</math> | ||
Je größer die [[Gitterkonstante]] ist, desto stärker sind die Wannierzustände lokalisiert. Sie nähern sich immer mehr an die atomaren Zustände an. Statt aber den Wannier-Zustand einfach einem atomaren Zustand gleichzusetzen, nähert man ihn durch eine [[Linearkombination]] von atomaren Zuständen ([[LCAO]]): | Je größer die [[Gitterkonstante]] ist, desto stärker sind die Wannierzustände lokalisiert. Sie nähern sich immer mehr an die atomaren Zustände an. Statt aber den Wannier-Zustand einfach einem atomaren Zustand gleichzusetzen, nähert man ihn durch eine [[Linearkombination]] von atomaren Zuständen ([[LCAO]]): | ||
:<math> \omega_{i n}(\vec r -\vec | :<math> \omega_{i n}(\vec r -\vec R_m) = \sum_{n\in U} a_n \cdot \varphi_n (\vec r - \vec R_m)</math> | ||
Die Menge U stellt dabei einen [[Unterraum]] der atomaren Zustände <math>\varphi_n(\vec r - \vec | Die Menge U stellt dabei einen [[Unterraum]] der atomaren Zustände <math>\varphi_n(\vec r - \vec R_m)</math> dar. | ||
== Literatur == | == Literatur == | ||
Aktuelle Version vom 25. September 2020, 17:54 Uhr
Die nach dem Schweizer Physiker Gregory Hugh Wannier benannte Wannier-Darstellung ist ein Begriff aus der Festkörperphysik. In der Tight-Binding-Näherung ist eine Beschreibung der elektronischen Wellenfunktionen in der gitterperiodischen Bloch-Basis nicht mehr sinnvoll. Eher konstruiert man die Zustandsfunktion aus atomaren Wellenfunktionen. Diese sind nicht orthonormiert. Aus den Bloch-Funktionen lässt sich jedoch eine Orthonormalbasis lokalisierter Zustände konstruieren:
- $ \omega _{mn}({\vec {r}}-{\vec {R}}_{m})={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{k}e^{-i{\vec {k}}{\vec {R}}_{m}}\cdot \psi _{n{\vec {k}}}({\vec {r}}) $
Dabei ist
- $ \psi _{n{\vec {k}}}({\vec {r}}) $ eine Bloch-Funktion
- $ \omega _{in}({\vec {r}}-{\vec {R}}_{m}) $ der zugehörige Wannier-Zustand
- $ e $ die Eulersche Zahl
- $ i $ die imaginäre Einheit
- $ {\vec {k}} $ der Wellenvektor
- $ {\vec {r}} $ der Ortsvektor
- $ n $ der Bandindex.
Die umgekehrte Konstruktion der Bloch-Zustände aus den Wannier-Zuständen heißt dann
- $ \psi _{n{\vec {k}}}({\vec {r}})={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{{\vec {R}}_{m}}e^{i{\vec {k}}{\vec {R}}_{m}}\cdot \omega _{in}({\vec {r}}-{\vec {R}}_{m}) $
Je größer die Gitterkonstante ist, desto stärker sind die Wannierzustände lokalisiert. Sie nähern sich immer mehr an die atomaren Zustände an. Statt aber den Wannier-Zustand einfach einem atomaren Zustand gleichzusetzen, nähert man ihn durch eine Linearkombination von atomaren Zuständen (LCAO):
- $ \omega _{in}({\vec {r}}-{\vec {R}}_{m})=\sum _{n\in U}a_{n}\cdot \varphi _{n}({\vec {r}}-{\vec {R}}_{m}) $
Die Menge U stellt dabei einen Unterraum der atomaren Zustände $ \varphi _{n}({\vec {r}}-{\vec {R}}_{m}) $ dar.
Literatur
- Neil W. Ashcroft, N. David Mermin: Festkörperphysik. 2. Auflage. Oldenbourg, München 2005, ISBN 3-486-57720-4.
- Konrad Kopitzki: Einführung in die Festkörperphysik. 6. Auflage. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 3-8351-0144-7.
- Gerd Czycholl: Theoretische Festkörperphysik. 3. Auflage. Springer, Berlin 2008, ISBN 978-3-540-74789-5.