Gravitationsfeld: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 16. September 2021, 15:51 Uhr

In der klassischen Mechanik ist das Gravitationsfeld (auch Schwerkraftfeld) das Kraftfeld, das durch die Gravitation von Massen hervorgerufen wird. Die Feldstärke des Gravitationsfeldes gibt für jeden Ort den durch Gravitation verursachten Teil der Fallbeschleunigung $\vec{g}$ an. Sie kann mithilfe des Newtonschen Gravitationsgesetzes aus der räumlichen Verteilung der Massen berechnet werden.

Die Einsteinschen Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie beschreiben die Gravitation nicht mehr als Kraftfeld, sondern als Krümmung der Raumzeit. In rotierenden Bezugssystemen, wie dem mit der Erde verbundenen, besteht das Schwerefeld aus dem Gravitationsfeld und der Zentrifugalbeschleunigung. Ein anschauliches Modell des Gravitationsfeldes ist der Potentialtrichter, in dem Kugeln oder Münzen auf einer dreidimensionalen Trichterfläche rollen und dabei die Bewegung in der zur Trichterachse senkrechten Ebene simulieren.^[1]

Potential und Feld

Gravitationspotential (rote Kurve) und -beschleunigung (blau) gegen den Abstand vom Erdmittelpunkt. Abweichend vom Schwerepotential wird das Gravitationspotential üblicherweise im Unendlichen auf null gesetzt.

Das zum Gravitationsfeld gehörende Potential heißt Gravitationspotential. Sein Wert $Φ (\vec{r})$ am Ort $\vec{r}$ lässt sich bei bekannter Massendichte $ρ (\vec{r})$ durch Lösen der Poisson-Gleichung bestimmen

Δ Φ (\vec{r}) = 4 π G ρ (\vec{r})

,

wobei $G$ die Gravitationskonstante und $Δ$ der Laplace-Operator ist. So beträgt das Potential um einen näherungsweise punktförmigen oder radialsymmetrischen Körper der Masse $M$ beispielsweise

Φ (r) = - \frac{G M}{r} (+ Φ_{\infty})

.

Hierbei ist $Φ_{\infty}$ das Potential im Unendlichen. Es ist eine frei wählbare Integrationskonstante und wird üblicherweise willkürlich auf Null gesetzt.

Multipliziert man das Potential mit der Masse eines Körpers $m$ , so erhält man seine potentielle Energie

V (\vec{r}) = m Φ (\vec{r})

.

Das Gravitationsfeld $\vec{g}$ lässt sich als Gradientenfeld des Gravitationspotentials $Φ$ schreiben:

\vec{g} (\vec{r}) = - \nabla Φ (\vec{r})

.

Die vom Feld erzeugte Kraft ${\vec{F}}_{G}$ auf einen Körper der Masse $m$ ist dann

{\vec{F}}_{G} (\vec{r}) = m \vec{g} (\vec{r})

.

Feldstärke

Die Feldstärke des Gravitationsfeldes heißt Gravitationsfeldstärke oder Gravitationsbeschleunigung $\vec{g}$ . Sie ist unabhängig von der Probemasse (also der Masse des betrachteten Körpers, der sich im Gravitationsfeld befindet). Wirken keine weiteren Kräfte, so ist $\vec{g}$ die exakte Beschleunigung einer Probemasse im Feld.

Eine Punktmasse $M$ verursacht das Potential

Φ (\vec{r}) = - \frac{G M}{r}

und daher das dazugehörige radialsymmetrische Feld mit der Feldstärke

\vec{g} (\vec{r}) = - \frac{G M}{r^{2}} {\hat{e}}_{r}

Diese Formel gilt auch für kugelsymmetrische Körper, wenn der Abstand $r$ vom Mittelpunkt größer ist als sein Radius. Sie gilt näherungsweise für jeden beliebig geformten Körper, wenn $r$ um Größenordnungen größer als seine Ausdehnung ist. Befindet sich eine Probemasse $m$ in diesem Gravitationsfeld, so ergibt sich

F_{G} = m g (r) = m \frac{G M}{r^{2}}

.

Dies entspricht dem Newtonschen Gravitationsgesetz, das den Betrag der wirkenden anziehenden Kraft zwischen den Massenschwerpunkten von $M$ und $m$ angibt, die sich im Abstand $r$ befinden.

Da jede beliebig ausgedehnte Masse in (annähernd) punktförmige Teilmassen zerlegt werden kann, lässt sich jedes Gravitationsfeld auch als Summe über viele Punktmassen darstellen:

\vec{g} (\vec{r}) = - G \sum_{i} m_{i} \frac{\vec{r} - {\vec{r}}_{i}}{| \vec{r} - {\vec{r}}_{i} |^{3}}

wobei ${\vec{r}}_{i}$ die Orte der Punktmassen $m_{i}$ sind. Für kontinuierliche Masseverteilungen gilt:

$\vec{g} (\vec{r}) = - G \int ρ ({\vec{r}}^{'}) \frac{\vec{r} - {\vec{r}}^{'}}{| \vec{r} - {\vec{r}}^{'} |^{3}} d {\vec{r}}^{'}$

wobei $ρ (\vec{r})$ die Massendichteverteilung ist.

Siehe auch

Gravitationsbindungsenergie

Literatur

Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 1. Springer, 2006, ISBN 978-3-540-26034-9.
Horst Stöcker: Taschenbuch der Physik. 6. Auflage. Harri Deutsch, Leck 2010, ISBN 978-3-8171-1860-1, S. 124.

Weblinks

Literatur von und über Gravitationsfeld im Katalog der Deutschen Nationalbibliothek

Einzelnachweise

↑ Olaf Fischer: Planeten- und Kometenbewegung im Modell vom Potentialtrichter. In: Wissenschaft in die Schulen! Spektrum, 31. Juli 2019, abgerufen am 29. Oktober 2019.

[1] Olaf Fischer: Planeten- und Kometenbewegung im Modell vom Potentialtrichter. In: Wissenschaft in die Schulen! Spektrum, 31. Juli 2019, abgerufen am 29. Oktober 2019.

[1]

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-In der [[Klassische Mechanik|klassischen Mechanik]] ist das '''Gravitationsfeld''' (auch '''Schwerkraftfeld''') das [[Kraftfeld]], das durch die [[Gravitation]] von [[Masse (Physik)|Massen]] hervorgerufen wird. Die [[Feldstärke]] des Gravitationsfeldes gibt für jeden Ort den durch [[Gravitation]] verursachten Teil der [[Fallbeschleunigung]] <math>\vec g</math> an. Sie kann mithilfe des Newtonschen [[Gravitationsgesetz]]es aus der räumlichen Verteilung der Massen berechnet werden.
+In der [[Klassische Mechanik|klassischen Mechanik]] ist das '''Gravitationsfeld''' (auch '''Schwerkraftfeld''') das [[Kraftfeld]], das durch die [[Gravitation]] von [[Masse (Physik)|Massen]] hervorgerufen wird. Die [[Feldstärke]] des Gravitationsfeldes gibt für jeden Ort den durch Gravitation verursachten Teil der [[Fallbeschleunigung]] <math>\vec g</math> an. Sie kann mithilfe des Newtonschen [[Gravitationsgesetz]]es aus der räumlichen Verteilung der Massen berechnet werden.
-Die [[Einsteinsche Feldgleichungen|Einsteinschen Feldgleichungen]] der [[Allgemeine Relativitätstheorie|Allgemeinen Relativitätstheorie]] beschreiben die Gravitation nicht mehr als Kraftfeld, sondern als [[Raumkrümmung|Krümmung der Raumzeit]].
+Die [[Einsteinsche Feldgleichungen|Einsteinschen Feldgleichungen]] der [[Allgemeine Relativitätstheorie|Allgemeinen Relativitätstheorie]] beschreiben die Gravitation nicht mehr als Kraftfeld, sondern als [[Raumkrümmung|Krümmung der Raumzeit]]. In rotierenden Bezugssystemen, wie dem mit der Erde verbundenen, besteht das [[Schwerefeld]] aus dem Gravitationsfeld und der [[Zentrifugalkraft|Zentrifugalbeschleunigung]]. Ein anschauliches Modell des Gravitationsfeldes ist der Potentialtrichter, in dem Kugeln oder Münzen auf einer dreidimensionalen Trichterfläche rollen und dabei die Bewegung in der zur Trichterachse senkrechten Ebene simulieren.<ref>{{Internetquelle |autor=Olaf Fischer |url=http://www.wissenschaft-schulen.de/sixcms/media.php/1308/modell.pdf |titel=Planeten- und Kometenbewegung im Modell vom Potentialtrichter |werk=Wissenschaft in die Schulen! |hrsg=Spektrum |datum=2019-07-31 |abruf=2019-10-29}}</ref>
-In rotierenden Bezugssystemen, wie dem mit der Erde verbundenen, besteht das [[Schwerefeld]] aus dem Gravitationsfeld und der [[Zentrifugalkraft|Zentrifugalbeschleunigung]].
 == Potential und Feld ==
-[[Bild:Erdgravitation.png|thumb|Gravitationspotential (rote Kurve) und -beschleunigung (blau) gegen den Abstand vom Erdmittelpunkt. Abweichend vom Schwerepotential wird das Gravitationspotential üblicherweise im Unendlichen auf null gesetzt.]]
+[[Bild:Erdgravitation.png|mini|Gravitationspotential (rote Kurve) und -beschleunigung (blau) gegen den Abstand vom Erdmittelpunkt. Abweichend vom Schwerepotential wird das Gravitationspotential üblicherweise im Unendlichen auf null gesetzt.]]
 {{Hauptartikel|Potential (Physik)|titel1=Potential|Feld (Physik)|titel2=Feld}}
-Das zum Gravitationsfeld gehörende [[Potential (Physik)|Potential]] heißt '''Gravitationspotential'''. Sein Wert <math>\Phi(\vec r)</math> am Ort <math>\vec r</math> lässt sich bei bekannter [[Massendichte]] <math>\rho(\vec r)</math> durch Lösen der [[Poisson-Gleichung]] bestimmen
+Das zum Gravitationsfeld gehörende Potential heißt '''Gravitationspotential'''. Sein Wert <math>\Phi(\vec r)</math> am Ort <math>\vec r</math> lässt sich bei bekannter [[Massendichte]] <math>\rho(\vec r)</math> durch Lösen der [[Poisson-Gleichung]] bestimmen
 :<math>\Delta \Phi(\vec r) = 4 \pi G \rho(\vec r)</math>,
-wobei <math>G</math> die [[Gravitationskonstante]] und <math>\Delta</math> der [[Laplace-Operator]] ist. So beträgt das Potential um einen näherungsweise punktförmigen oder radialsymmetrischen Körper der Masse <math>M</math> beispielsweise
+wobei <math>G</math> die [[Gravitationskonstante]] und <math>\Delta</math> der [[Laplace-Operator]] ist. So beträgt das Potential um einen näherungsweise punktförmigen oder [[radialsymmetrisch]]en Körper der Masse <math>M</math> beispielsweise
-:<math>\Phi(r)=-\frac{GM}{r}(+\Phi_\infin)</math>.
+:<math>\Phi(r)=-\frac{GM}{r} \ ({} + \Phi_\infin)</math>.
-Hierbei ist <math>\Phi_\infin</math> das Potential im Unendlichen. Es ist eine frei wählbare Integrationskonstante und wird üblicherweise willkürlich auf Null gesetzt. (Für eine ausführliche Herleitung siehe [[Potential (Physik)]]).
+Hierbei ist <math>\Phi_\infin</math> das Potential im Unendlichen. Es ist eine frei wählbare Integrationskonstante und wird üblicherweise willkürlich auf Null gesetzt.
 Multipliziert man das Potential mit der Masse eines Körpers <math>m</math>, so erhält man seine potentielle Energie
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 Das Gravitationsfeld <math>\vec{g}</math> lässt sich als [[Gradientenfeld]] des Gravitationspotentials <math>\Phi</math> schreiben:
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+:<math>\vec{g}(\vec{r}) = - \nabla \Phi(\vec{r})</math>.
 Die vom Feld erzeugte Kraft <math>\vec{F}_\mathrm{G}</math> auf einen Körper der Masse <math>m</math> ist dann
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 :<math>\vec{g}(\vec{r}) = -G \sum_{i} {m_i} \frac{\vec{r} - \vec{r}_i}{|\vec{r}-\vec{r}_i|^3}</math>
-wobei <math>\vec{r}_i</math> die Orte der Punktmassen <math>m_i</math> sind.
+wobei <math>\vec{r}_i</math> die Orte der Punktmassen <math>m_i</math> sind. Für kontinuierliche Masseverteilungen gilt:
+<math>\vec{g}(\vec{r})= -G\int \rho(\vec{r}')\frac{\vec{r}-\vec{r}'}{|\vec{r}-\vec{r}'|^3} \mathrm{d}\vec{r}'</math>
+wobei <math>\rho(\vec r)</math> die Massendichteverteilung ist.
 == Siehe auch ==
 * [[Gravitationsbindungsenergie]]
-* [[Potentialtrichter]]
 == Literatur ==
-* {{Literatur|Titel=Experimentalphysik 1|Autor=Wolfgang Demtröder|ISBN=9783540260349|Verlag=Springer|Jahr=2006}}
+* {{Literatur |Titel=Experimentalphysik 1 |Autor=Wolfgang Demtröder |ISBN=9783540260349 |Verlag=Springer |Datum=2006}}
-* {{Literatur
+* {{Literatur |Autor=Horst Stöcker |Titel=Taschenbuch der Physik |Verlag=Harri Deutsch |Ort=Leck |Datum=2010 |Auflage=6 |ISBN=978-3-8171-1860-1 |Seiten=124}}
- | Autor  = Horst Stöcker
- | Titel  = Taschenbuch der Physik
+== Weblinks ==
- | Verlag = Harri Deutsch
+* {{DNB-Portal|4072014-7}}
- | Ort    = Leck
- | Jahr   = 2010
- | Auflage= 6.
- | ISBN   = 978-3-8171-1860-1
- | Seiten = 124}}
 == Einzelnachweise ==
 <references />
-{{Normdaten|TYP=s|GND=4072014-7}}
+{{Normdaten|TYP=s|GND=4072014-7|LCCN=sh85056560}}
 [[Kategorie:Gravitation]]