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In der [[Strömungsmechanik]] besagt das '''Theorem von Froude und Rankine''', dass die [[Strömungsgeschwindigkeit]] in der Rotationsebene eines [[Rotor|Rotors]], [[Propeller|Propellers]] oder einer [[Turbine]] sich als der Mittelwert der Strömungsgeschwindigkeiten hinreichend weit stromauf und stromabwärts ausdrücken lässt. Diese Aussage geht auf [[Robert Edmund Froude]] und [[William John Macquorn | In der [[Strömungsmechanik]] besagt das '''Theorem von Froude und Rankine''', dass die [[Strömungsgeschwindigkeit]] in der Rotationsebene eines [[Rotor|Rotors]], [[Propeller|Propellers]] oder einer [[Turbine]] sich als der Mittelwert der Strömungsgeschwindigkeiten hinreichend weit stromauf und stromabwärts ausdrücken lässt. Diese Aussage geht auf [[Robert Edmund Froude]] und [[William John Macquorn Rankine]] zurück. | ||
== Annahmen == | == Annahmen == | ||
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*eindimensionale Strömung | *eindimensionale Strömung | ||
*Turbine wird zur Vereinfachung auf eine Fläche projiziert (keine Ausdehnung stromabwärts) | *Turbine wird zur Vereinfachung auf eine Fläche projiziert (keine Ausdehnung stromabwärts) | ||
*unendlicher [[Gradient|Druckgradient]] in der Projektionsfläche (Sprung im Druckverlauf) | *unendlicher [[Gradient (Mathematik)|Druckgradient]] in der Projektionsfläche (Sprung im Druckverlauf) | ||
*[[Inkompressibel|inkompressibles]] Fluid | *[[Inkompressibel|inkompressibles]] Fluid | ||
*[[Dissipation]] wird vernachlässigt | *[[Dissipation]] wird vernachlässigt | ||
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:<math>S = \rho \cdot v_2 \cdot A \cdot (v_1 - v_3) </math> | :<math>S = \rho \cdot v_2 \cdot A \cdot (v_1 - v_3) </math> | ||
wird und zum anderen aus energetischen Betrachtungen in Form der [[Bernoulli-Gleichung|Bernoulli-Gleichungen]]. Im letzteren Fall werden zwei [[Stromröhre|Stromröhren]] untersucht. Eine wird vom Anfang des Kontrollbereiches bis unmittelbar vor den zu untersuchenden Querschnitt gelegt (Index 2-). Die | wird und zum anderen aus energetischen Betrachtungen in Form der [[Bernoulli-Gleichung|Bernoulli-Gleichungen]]. Im letzteren Fall werden zwei [[Stromröhre|Stromröhren]] untersucht. Eine wird vom Anfang des Kontrollbereiches bis unmittelbar vor den zu untersuchenden Querschnitt gelegt (Index 2-). Die zweite beginnt unmittelbar hinter dem Querschnitt und reicht bis zum Ende des Berechnungsgebietes (Index 2+). Jede der beiden Gleichungen wird auf den Druckterm in unmittelbarer Nähe zum Querschnitt 2 umgestellt. Auf Grund der [[Kontinuitätsgleichung]] sind die Strömungsgeschwindigkeiten <math>v_{2-}</math> und <math>v_{2+}</math> gleich, sodass sich nach einem Subtrahieren der zweiten von der ersten Gleichung eine Druckdifferenz in folgender Form bilden lässt: | ||
:<math>p_{2-}-p_{2+} = \frac{\rho}{2} \cdot (v_1^2 - v_3^2) </math>. | :<math>p_{2-}-p_{2+} = \frac{\rho}{2} \cdot (v_1^2 - v_3^2) </math>. | ||
In der Strömungsmechanik besagt das Theorem von Froude und Rankine, dass die Strömungsgeschwindigkeit in der Rotationsebene eines Rotors, Propellers oder einer Turbine sich als der Mittelwert der Strömungsgeschwindigkeiten hinreichend weit stromauf und stromabwärts ausdrücken lässt. Diese Aussage geht auf Robert Edmund Froude und William John Macquorn Rankine zurück.
Zur Herleitung werden einige Annahmen getroffen:
Datei:Stroemung um turbine.pdf
Ausgangspunkt ist die Berechnung der Schubkraft auf eine angeströmte Kreisfläche. Der Schub lässt sich auf zwei Arten ermitteln.[1] Zum einen aus der Impulsänderungsdifferenz:
welche mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung zu
wird und zum anderen aus energetischen Betrachtungen in Form der Bernoulli-Gleichungen. Im letzteren Fall werden zwei Stromröhren untersucht. Eine wird vom Anfang des Kontrollbereiches bis unmittelbar vor den zu untersuchenden Querschnitt gelegt (Index 2-). Die zweite beginnt unmittelbar hinter dem Querschnitt und reicht bis zum Ende des Berechnungsgebietes (Index 2+). Jede der beiden Gleichungen wird auf den Druckterm in unmittelbarer Nähe zum Querschnitt 2 umgestellt. Auf Grund der Kontinuitätsgleichung sind die Strömungsgeschwindigkeiten $ v_{2-} $ und $ v_{2+} $ gleich, sodass sich nach einem Subtrahieren der zweiten von der ersten Gleichung eine Druckdifferenz in folgender Form bilden lässt:
Diese Druckdifferenz mit dem Querschnitt multipliziert ergibt erneut eine von der Strömung auf den Rotor ausgeübte Kraft:
Gleichsetzen und umstellen der Gleichungen liefert:
Das Theorem wird beispielsweise bei der Herleitung des Betz'schen Beiwertes für Windkraftanlagen benötigt.