Beschleunigtes Bezugssystem: Unterschied zwischen den Versionen

Beschleunigtes Bezugssystem: Unterschied zwischen den Versionen

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K (Ich habe Subskripte wie "trans", "Euler", "Zentrifugal", und "Coriolis" in Formeln aufrecht gesetzt (mit \mathrm{}), um den ueblichen Konventionen Folge zu leisten, wo sie bisher kursiv gesetzt waren.)
 
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'''Beschleunigte Bezugssysteme''' sind alle [[Bezugssystem]]e, die kein [[Inertialsystem]] sind.
'''Beschleunigte Bezugssysteme''' sind alle [[Bezugssystem]]e, die sich gegenüber einem [[Inertialsystem]] in [[Beschleunigung|beschleunigter]] Bewegung befinden. Dabei kann es sich um eine beschleunigte Translationsbewegung und/oder um eine beschleunigte oder unbeschleunigte Rotationsbewegung handeln. Ein beschleunigtes Bezugssystem ist kein Inertialsystem.


Obwohl in beschleunigten Bezugssystemen die physikalischen Gesetze im Allgemeinen komplizierter aussehen (in der Mechanik müssen z. B. bei der Aufstellung von [[Bewegungsgleichung]]en [[Trägheitskraft|Trägheitskräfte]] berücksichtigt werden), können diese [[Bezugssystem]]e in manchen Fällen die Lösung eines Problems vereinfachen.
Obwohl in beschleunigten Bezugssystemen die physikalischen Gesetze im Allgemeinen komplizierter aussehen (in der Mechanik müssen z. B. bei der Aufstellung von [[Bewegungsgleichung]]en [[Trägheitskraft|Trägheitskräfte]] berücksichtigt werden), können diese [[Bezugssystem]]e in manchen Fällen die Lösung eines Problems vereinfachen.
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* Rotierende Kreis- oder Spiralbewegungen um ein gemeinsames Zentrum lassen sich z. B. oft gut beschreiben, wenn das Bezugssystem um das Zentrum gleichförmig rotiert: Der kreiselnde bzw. spiralende Körper ruht dann darin oder bewegt sich entlang einer Geraden.
* Rotierende Kreis- oder Spiralbewegungen um ein gemeinsames Zentrum lassen sich z. B. oft gut beschreiben, wenn das Bezugssystem um das Zentrum gleichförmig rotiert: Der kreiselnde bzw. spiralende Körper ruht dann darin oder bewegt sich entlang einer Geraden.
 
* Das [[Foucaultsches Pendel|Foucaultsche Pendel]] wird meist in einem Bezugssystem berechnet, das die Erddrehung mitvollführt. Ebenso die Berechnungen für die Vorgänge in Atmosphäre und Ozeanen, auf denen die Vorhersage des Wetters und der Klimaentwicklung aufbauen.
* Das [[Foucaultsches Pendel|Foucaultsche Pendel]] wird meist in einem Bezugssystem berechnet, das die Erddrehung mitvollführt.
* Relativbewegungen in einem Fahrzeug, z. B. die der Räder, werden in einem fahrzeugfesten System beschrieben.
 
* In einem Bezugssystem, das in einem homogenen Schwerkraftfeld im [[Freier Fall|freien Fall]] ist, wird die Schwerkraft durch die Trägheitskraft exakt ausgeglichen.
* In einem Bezugssystem, das im [[Freier Fall|freien fall]] ist, ist die Schwerkraft ausgeschaltet.


In der [[Klassische Mechanik|Klassischen Mechanik]] sind [[Zeit]]intervalle und räumliche Abstände in allen Bezugssystemen gleich. Die Umrechnung der wahrgenommenen physikalischen Größen beim Übergang zu einem anderen Bezugssystem wird daher durch die [[Euklidische Transformation]] bewerkstelligt.
In der [[Klassische Mechanik|Klassischen Mechanik]] sind [[Zeit]]intervalle und räumliche Abstände in allen Bezugssystemen gleich. Die Umrechnung der wahrgenommenen physikalischen Größen beim Übergang zu einem anderen Bezugssystem wird daher durch die [[Euklidische Transformation]] bewerkstelligt.
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{{Hauptartikel|Kinematik}}
{{Hauptartikel|Kinematik}}
[[Datei:Koordinatensysteme Ortsvektoren.png|mini|Inertialsystem K und beschleunigtes Koordinatensystem K'.]]
[[Datei:Koordinatensysteme Ortsvektoren.png|mini|Inertialsystem K und beschleunigtes Koordinatensystem K'.]]
=== Bezeichnungen ===
Sei ''K'' ein Bezugssystem und  <math>\vec r(t)</math> [[Ortsvektor]] eines Punktes P. Mit den [[Basis (Vektorraum)|Basisvektoren]] <math>\hat{e}_{i}</math> lässt sich der Ortsvektor so darstellen:
:<math>\vec{r} \,=\, \sum_{i}x_{i}(t)\,\hat{e}_{i}</math>
[[Geschwindigkeit]] <math>\vec v</math> und [[Beschleunigung]] <math>\vec a</math> des Punktes sind:
:<math>\vec{v} \,=\, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec{r} \,=\, \sum_{i}\frac{\mathrm{d}x_{i}}{\mathrm{d}t}\hat{e}_{i}</math>
:<math>\vec{a} \,=\, \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}t^{2}}\vec{r} \,=\, \sum_{i} \frac{\mathrm{d}^{2}x_{i}}{\mathrm{d}t^{2}}\,\hat{e}_{i} </math>


Sei ''K' '' ein bewegtes Bezugssystem, dessen [[Koordinatenursprung]] bei <math>\vec R(t)</math> liegt und das die Basisvektoren <math>\hat{e}'_{i}</math> hat. Der Ortsvektor des Punktes P in K' sei <math>\vec r\,'</math>. Seine Komponentendarstellung in Bezug auf ''K' '' ist:
=== Zeitliche Ableitungen in einem ruhenden und einem bewegten Koordinatensystem ===
:<math>\vec{r}' \,=\, \sum_{i}x_{i}'(t)\,\hat{e}_{i}'</math>.
Sei P ein Punkt im physikalischen Raum. In einem Bezugssystem <math>\boldsymbol{K}</math> ist er durch einen [[Ortsvektor]] <math>\vec r</math> definiert, der mit drei [[Basis (Vektorraum)|Basisvektoren]] <math>\vec{e}_{i}</math> ( <math>i = 1,2,3</math> für die x-, y- und z-Richtung) und drei Koordinaten  <math>x_{i}</math> so darzustellen ist:
: <math>\vec{r} \,=\, \sum_{i}x_{i}\,\vec{e}_{i}</math>
Ist der Punkt beweglich, hängen die Koordinaten <math>x_{i}(t)</math> von der Zeit ab.


Relativ zu ''K' '' sind die Geschwindigkeit <math>\vec v'</math> und die Beschleunigung <math>\vec a'</math> des Punktes:
Die zeitliche Ableitung des Vektors ist
:<math>\vec{v}' \,=\, \frac{\mathrm{d}'}{\mathrm{d}t}\vec{r}' \,=\, \sum_{i}\frac{\mathrm{d}x_{i}'}{\mathrm{d}t}\hat{e}_{i}'</math>
: <math>\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} \,=\, \sum_{i}\frac{\mathrm{d}x_{i}}{\mathrm{d}t}\vec{e}_{i}</math>
:<math>\vec{a}' \,=\, \frac{\mathrm{d}'}{\mathrm{d}t}\vec{v}' \,=\, \frac{\mathrm{d}'^{2}}{\mathrm{d}t^{2}}\vec{r}' \,=\, \sum_{i} \frac{\mathrm{d}^{2}x_{i}'}{\mathrm{d}t^{2}}\,\hat{e}_{i}' </math>
Sie gibt die Geschwindigkeit an, mit der sich der Punkt P relativ zum Bezugssystem <math>\boldsymbol{K}</math> bewegt.
Dabei bedeutet der Strich im Symbol <math>\mathrm{d}'</math>, dass die Differentiation relativ zu ''K' ''ausgeführt werden soll, damit <math>\vec v'</math> und <math>\vec a'</math> die Größen bezeichnen, wie sie im Bezugssystem ''K' ''beobachtet werden.  


Außerdem gilt:
Sei <math>\boldsymbol{K}'</math>  ein anderes Bezugssystem, das sich relativ zu <math>\boldsymbol{K}</math> bewegt. Sein [[Koordinatenursprung]] liegt bei <math>\vec R(t)</math>, seine Basisvektoren sind <math>\vec{e}'_{i}(t)</math>. Der Ortsvektor desselben Punktes P in K' sei <math>\vec r\,'</math>. Damit die Vektoren <math>\vec r</math> und <math>\vec r\,'</math> denselben physikalischen Ort im Raum definieren, muss gelten:
:<math>\vec{r} \,=\, \vec{R}+\vec{r}\,'</math>.


Zur Vereinfachung der Darstellung werden, wie in der Technischen Mechanik üblich, die im Bezugssystem ''K'' beobachteten Größen als Absolutgeschwindigkeit bzw. Absolutbeschleunigung bezeichnet, und die auf ''K' '' bezogenen Größen als '''Relativgeschwindigkeit''' bzw. '''Relativbeschleunigung'''.<ref>Diese Wortwahl bedeutet nicht, dass es in der klassischen Mechanik so etwas wie "absolute Ruhe" oder "absolute Geschwindigkeit" gäbe. Siehe [[Relativitätsprinzip#Klassische Mechanik]].</ref>
: <math>\vec{r} \,=\, \vec{R}+\vec{r}\,'</math>.


=== Transformation der Geschwindigkeit ===
Im Fall <math>\vec R=\vec 0</math> sind also die Vektoren gleich (<math>\vec r=\vec r\,'</math>), aber ihre Komponenten bezüglich <math>\boldsymbol{K}</math> bzw. <math>\boldsymbol{K}'</math> im Allgemeinen nicht.


Im Folgenden soll die Absolutgeschwindigkeit von P in ''K'' durch die Relativgeschwindigkeit von P in ''K' '' und die Bewegung von ''K' '' in Bezug auf ''K'' ausgedrückt werden. Die momentane Bewegung von ''K' '' ist, wie bei jedem [[Starrer Körper#Reine Drehbewegung eines starren Körpers|starren System]], in jedem Moment eine Kombination einer Translationsbewegung und einer Rotationsbewegung. Die Translationsbewegung wird mittels der Änderungsgeschwindigkeit von <math>\vec R(t)</math> beschrieben:
Die Komponentendarstellung von <math>\vec r\,'</math> in Bezug auf <math>\boldsymbol{K}'</math> ist:
:<math> \vec v_{trans}(t)  \,=\,   \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec{R} </math>.
: <math>\vec{r}' \,=\, \sum_{i}x_{i}'\,\vec{e}_{i}'</math>.


Aufgrund der Translationsbewegung bewegen sich alle Punkte von ''K' ''parallel, also bleiben auch die Basisvektoren <math>\hat{e}'_{i}</math> zeitlich konstant. Aufgrund der Rotationsbewegung ändern sie sich aber. Die Rotationsbewegung von ''K' ''hat eine Drehachse durch den Ursprung am Ort  <math>\vec R(t)</math> und eine Winkelgeschwindigkeit <math>\omega(t)</math> und einen Drehsinn, die in der vektoriellen [[Winkelgeschwindigkeit]] <math>\vec \omega(t)</math> zusammengefasst sind. Dann ist die Änderungsgeschwindigkeit der Basisvektoren
Die zeitliche Ableitung des Vektors <math>\vec r\,'</math> relativ zum bewegten System <math>\boldsymbol{K}'</math> ist
: <math>\frac{\mathrm{d}'\vec{r}'}{\mathrm{d}t} \,=\, \sum_{i}\frac{\mathrm{d}x_{i}'}{\mathrm{d}t}\vec{e}_{i}'</math>


:<math>\frac{\mathrm{d}\hat{e}'_{i}}{\mathrm{d}t} \,=\, \vec{\omega}\times\hat{e}'_{i}</math>
Dabei bedeutet der Strich im Symbol <math>\mathrm{d}'</math> für die Differentiation eines Vektors <math>\vec r'(t)</math>, dass die Koordinaten <math>x_{i}'(t)</math> abgeleitet werden sollen, die er im Bezugssystem <math>\boldsymbol{K}'</math> hat, damit die Ableitung eine Größe bezeichnet, wie sie dort beobachtet werden kann.
(Herleitung siehe [[Starrer Körper#Reine Drehbewegung eines starren Körpers|hier]]).


Damit kann die Zeitableitung des Vektors <math>\vec r'(t)</math>, wie sie im Bezugssystem ''K'' erscheint, berechnet werden. Nach der [[Produktregel]] ist
Um die Geschwindigkeiten des Punktes P, wie sie in <math>\boldsymbol{K}</math> bzw. in  <math>\boldsymbol{K}'</math> beobachtet werden, zueinander in Beziehung zu setzen, muss die Bewegung von <math>\boldsymbol{K}'</math> in Bezug auf <math>\boldsymbol{K}</math> beschrieben werden. Diese Bewegung ist wie bei einem [[Starrer Körper#Reine Drehbewegung eines starren Körpers|starren Körper]] in jedem Moment die Kombination einer Translationsbewegung und einer Rotationsbewegung. Die Translationsbewegung ist durch die Geschwindigkeit gegeben, mit der der Ursprung <math>\vec R(t)</math> sich in <math>\boldsymbol{K}</math> bewegt:
:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec{r}\,' \,=\, \sum_{i}\frac{\mathrm{d}x'_{i}}{\mathrm{d}t}\hat{e}'_{i}+\sum_{i}x'_{i}\frac{\mathrm{d}\hat{e}'_{i}}{\mathrm{d}t}</math>.
: <math> \vec v_{\mathrm{trans}}(t\,=\,   \frac{\mathrm{d}\vec{R}}{\mathrm{d}t} </math>.


Nach den obigen Formeln ist das dasselbe wie
Aufgrund der Translationsbewegung bewegen sich alle Punkte mit konstantem Ortsvektor <math>\vec r\,'</math> in <math>\boldsymbol{K}</math>  parallel, also bleiben auch die Basisvektoren <math>\vec{e}'_{i}</math> zeitlich konstant. Aufgrund der Rotationsbewegung ändern diese sich aber. Die momentane Rotationsbewegung von <math>\boldsymbol{K}'</math> hat eine Drehachse durch den Ursprung am Ort <math>\vec R(t)</math> und eine Winkelgeschwindigkeit <math>\omega(t)</math>, die mit dem Drehsinn zur vektoriellen [[Winkelgeschwindigkeit]] <math>\vec \omega(t)</math> zusammengefasst sind. Damit ändern sich die Basisvektoren von <math>\boldsymbol{K}'</math> in <math>\boldsymbol{K}</math> mit der Geschwindigkeit (siehe [[Winkelgeschwindigkeit#Bahngeschwindigkeit|Bahngeschwindigkeit]]):
:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec{r}\,' \,=\, \frac{\mathrm{d}'}{\mathrm{d}t}\vec{r}\,' \,+\, \sum_{i}x'_{i}\,(\vec{\omega}\times\hat{e}'_{i}) \,=\, \frac{\mathrm{d}'}{\mathrm{d}t}\vec{r}\,'+\vec{\omega}\times\vec{r}\,'</math>.


Die gleiche Regel gilt auch für jeden anderen Vektor, wenn man seine Änderungsgeschwindigkeit in ''K'' durch die Änderungsgeschwindigkeit in ''K' '' und die Bewegung von ''K' ''in ''K'' ausdrücken will. Zum Beispiel für die Geschwindigkeit:
: <math>\frac{\mathrm{d}\vec{e}'_{i}}{\mathrm{d}t} \,=\, \vec{\omega}\times\vec{e}'_{i}</math>
:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec{v}\,' \,=\, \frac{\mathrm{d}'}{\mathrm{d}t}\vec{v}\,'+\vec{\omega}\times\vec{v}\,'</math>.


Für die Absolutgeschwindigkeit  <math>\vec v</math> folgt dann:
Damit kann die Zeitableitung des Vektors <math>\vec r'(t)</math>, wie sie im Bezugssystem <math>\boldsymbol{K}</math> erscheint, berechnet werden. Nach der [[Produktregel]] ist
:<math>\vec v\, \,=\, \, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\vec{R}+\vec r') \,=\, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec{R} \,+\, \frac{\mathrm{d}'}{\mathrm{d}t} \vec{r}' \,+ \, \vec{\omega} \times \vec r'  
: <math>\frac{\mathrm{d}\vec{r}\,'}{\mathrm{d}t} \,=\, \sum_{i}\frac{\mathrm{d}x'_{i}}{\mathrm{d}t}\vec{e}'_{i}+\sum_{i}x'_{i}\frac{\mathrm{d}\vec{e}'_{i}}{\mathrm{d}t}</math>.
\,=\,( \vec v_{trans} \,+\, \vec{\omega} \times \vec{r}') \,+\, \vec{v}\,'</math>.
Der eingeklammerte Ausdruck auf der rechten Seite drückt den Anteil der Absolutgeschwindigkeit des Punktes P aus, der von seiner Relativgeschwindigkeit unabhängig ist und nur durch die Bewegung des Bezugssystems ''K' ''zustande kommt. Er wird als '''Führungsgeschwindigkeit''' bezeichnet.  


=== Transformation der Beschleunigung ===
Nach den obigen Formeln ist das dasselbe wie
Die zeitliche Ableitung der letzten Formel ergibt die Absolutbeschleunigung des Punktes P in ''K'', ausgedrückt durch die in ''K' ''beobachtbaren Größen  <math>\vec r'</math> und <math>\vec v'</math> sowie die Bewegung von ''K' ''in ''K'':
: <math>\frac{\mathrm{d}\vec{r}\,'}{\mathrm{d}t} \,=\, \frac{\mathrm{d}'\vec{r}\,'}{\mathrm{d}t} \,+\, \sum_{i}x'_{i}\,(\vec{\omega}\times\vec{e}'_{i})  \,=\, \frac{\mathrm{d}'\vec{r}\,'}{\mathrm{d}t}+\vec{\omega}\times\vec{r}\,'</math>.
:<math>
\frac{\mathrm d }{\mathrm d t}\vec{v}
\,=\, \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \left( \vec v_{trans} \,+\, \vec{\omega} \times \vec{r}' \,+\, \vec{v}' \right)
\,=\, \underbrace{\frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \vec v_{trans}}_{\vec{a}_{trans}}  \,+\, \underbrace{ \left( \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\vec{\omega}\right)}_{\dot{\vec{\omega}}} \times \vec{r}'  
\,+\, \vec{\omega} \times \underbrace{\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \vec{r}\,'\right)}_{\vec{v}\,'+\,\vec{\omega}\times\vec{r}\,'}  
\,+\, \underbrace{\frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \vec{v}'}_{\vec{a}\,'+\,\vec{\omega}\times\vec{v}\,'}
</math>


Die Größen nach den vorstehenden Formeln eingesetzt und etwas umgeordnet:
Diese Formel wird oft zu einer Operatorgleichung abgekürzt wiedergegeben als
:<math>
: <math>\frac{\mathrm{d}\bullet}{\mathrm{d}t= \frac{\mathrm{d}'\bullet}{\mathrm{d}t}+\vec{\omega}\times \bullet</math>.
\vec{a}
Angewendet auf einen beliebigen Vektor (einzusetzen bei <math>\bullet</math>), liefert sie den Zusammenhang zwischen seinen Änderungsgeschwindigkeiten, wie sie in <math>\boldsymbol{K}</math> (linke Seite der Gleichung) bzw. in <math>\boldsymbol{K}'</math> (erster Term der rechten Seite) erscheint.<ref>{{Literatur |Autor=K. Marguerre |Titel=Technische Mechanik  |Band=3. Teil: ''Kinetik'' |Verlag=Springer-Verlag |Datum=1968 |ISBN=978-3-540-04173-3 |Seiten=67}}: ({{Google Buch |BuchID=b_qfBgAAQBAJ |Seite=67}})</ref>
\,=\, \vec a_{trans} \,+\,\vec a' \,+\, \vec{\omega}\times (\vec{\omega}\times\vec{r}\,') \,+\, 2\,\vec{\omega} \times \vec{v}\,'
\,+\, \dot{\vec{\omega}} \times \vec{r}'
</math>
oder
:<math>
\vec{a}
\,=\, \vec a_{trans} \,+\,\vec a'   \,-\, \vec a_{Zentrifugal} \,-\, \vec a_{Coriolis } \,-\, \vec a_{Euler}  
</math>


Darin ist:
=== Transformation der Geschwindigkeit ===
:<math>\begin{align}
Im Folgenden werden, in Anlehnung an die [[Technische Mechanik]], die im Bezugssystem <math>\boldsymbol{K}</math> beobachteten Größen als ''Absolutgeschwindigkeit'' bzw. ''Absolutbeschleunigung'' bezeichnet, und die auf <math>\boldsymbol{K}'</math> bezogenen Größen als '''Relativgeschwindigkeit''' bzw. '''Relativbeschleunigung'''.<ref>Diese Wortwahl bedeutet nicht, dass es in der klassischen Mechanik so etwas wie „absolute Ruhe“ oder „absolute Geschwindigkeit“ gäbe. Siehe [[Relativitätsprinzip #Klassische Mechanik]].</ref>
\vec a_{trans}        \,&=&\, \frac{\mathrm d^2 }{\mathrm d t^2}\vec{R}          &\ : \text{Translationsbeschleunigung von K' in K } \\
\vec a'               \,&=&\, \frac{\mathrm d'^2 }{\mathrm d t^2}\vec{r}'       &\ : \text{Relativbeschleunigung in Bezug zu K'} \\
\vec a_{Zentrifugal} \,&=&\, -\vec{\omega}\times (\vec{\omega}\times\vec{r}\,') &\ : \text{Zentrifugalbeschleunigung} \\
\vec a_{Coriolis }    \,&=&\, -2\,\vec{\omega} \times \vec{v}\,'                 &\ : \text{Coriolisbeschleunigung} \\
\vec a_{Euler}      \,&=&\,  -\dot{\vec{\omega}} \times \vec{r}'              &\ : \text{manchmal als Eulerbeschleunigung bezeichnet}
\end{align}
</math>


== Dynamik ==
Die Absolutgeschwindigkeit <math>\vec v</math> des Punktes ist:
: <math>\vec{v} \,=\, \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} \,=\, \sum_{i}\frac{\mathrm{d}x_{i}}{\mathrm{d}t}\vec{e}_{i} \left( \,=\, \sum_{i}\dot x_{i}\vec{e}_{i}\right)</math>


Die [[newtonsche Gesetze|newtonsche Bewegungsgleichung]] gilt nur für Inertialsysteme. Die Absolutbeschleunigung <math>\vec a</math> ist proportional zur äußeren Kraft <math>\vec{F}</math>:
Die Relativgeschwindigkeit <math>\vec v'</math> des Punktes ist analog:
:<math>m\vec{a} = \vec{F}</math>
: <math>\vec{v}' \,=\, \frac{\mathrm{d}'\vec{r}'}{\mathrm{d}t} \,=\, \sum_{i}\frac{\mathrm{d}x_{i}'}{\mathrm{d}t}\vec{e}_{i}'</math>


Einsetzen der Beschleunigung in obige Gleichung und Umstellen nach <math>\vec{a}\,'</math> liefert:
Wegen <math>\vec{r} \,=\, \vec{R}+\vec{r}\,'</math> folgt für die Absolutgeschwindigkeit  <math>\vec v</math>:
:<math>m\vec{a}\,'=\vec{F}-m\ddot{\vec{R}}\underbrace{-2m\vec{\omega}\times\vec{v}\,'}_{\text{Corioliskraft}}\,\underbrace {- m\dot {\vec \omega} \times \vec {r}{\,'}}_{\text{Eulerkraft}}\,\underbrace{-m\vec{\omega}\times\left(\vec{\omega}\times\vec{r}\,'\right)}_{\text{Zentrifugalkraft}}</math>
: <math>\vec v\, \,=\, \, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\vec{R}+\vec r') \,=\, \frac{\mathrm{d}\vec{R}}{\mathrm{d}t} \,+\, \frac{\mathrm{d}'\vec{r}'}{\mathrm{d}t} \,+ \, \vec{\omega} \times \vec r'
\,=\, \vec v_{\mathrm{trans}} \,+\, \vec{\omega} \times \vec{r}' \,+\, \vec{v}\,'</math>.


Somit erhält man diese vier [[Trägheitskraft|Trägheitskräfte]] als zusätzliche Terme in der Bewegungsgleichung bzgl. K'. Im Folgenden werden verschiedene Spezialfälle diskutiert.
Der Anteil (<math> \vec v_{\mathrm{trans}} + \vec{\omega} \times \vec{r}'</math>) der Absolutgeschwindigkeit wird als ''Führungsgeschwindigkeit'' bezeichnet. Alle Punkte, die im Bezugssystem <math>\boldsymbol{K}'</math> ruhen, bewegen sich im Bezugssystem <math>\boldsymbol{K}</math> mit der Führungsgeschwindigkeit. Falls sie in  <math>\boldsymbol{K}'</math> nicht ruhen, ist ihre Relativgeschwindigkeit <math>\vec{v}\,'</math> zur Führungsgeschwindigkeit zu addieren.


=== Beschleunigte Translationsbewegung ===
=== Transformation der Beschleunigung ===
Die zeitliche Ableitung der Formel für die Geschwindigkeit des Punktes P in <math>\boldsymbol{K}</math> ergibt die Absolutbeschleunigung, ausgedrückt durch die in <math>\boldsymbol{K}'</math> beobachtbaren Größen  <math>\vec r'</math> und <math>\vec v'</math> und <math>\vec a'</math>:
: <math>
\frac{\mathrm d \vec{v}}{\mathrm d t}
\,=\, \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \left( \vec v_{\mathrm{trans}} \,+\, \vec{\omega} \times \vec{r}' \,+\, \vec{v}' \right)
\,=\, \underbrace{\frac{\mathrm d \vec v_{\mathrm{trans}}}{\mathrm d t} }_{\vec{a}_{\mathrm{trans}}}  \,+\, \underbrace{ \left( \frac{\mathrm d \vec{\omega}}{\mathrm d t}\right)}_{\dot{\vec{\omega}}} \times \vec{r}'
\,+\, \vec{\omega} \times \underbrace{\left(\frac{\mathrm d \vec{r}\,'}{\mathrm d t}\right)}_{\vec{v}\,'+\,\vec{\omega}\times\vec{r}\,'}
\,+\, \underbrace{\frac{\mathrm d \vec{v}'}{\mathrm d t} }_{\vec{a}\,'+\,\vec{\omega}\times\vec{v}\,'}
</math>


Hier gilt <math>\vec{\omega}=0</math>, so dass sich die Bewegungsgleichung vereinfacht zu:
Dabei muss die obige Operatorgleichung je einmal auf  <math>\vec r'</math> und <math>\vec v'</math> angewendet werden. Die Größen nach den vorstehenden Formeln eingesetzt und etwas umgeordnet:
:<math>m\vec{a}\,'=\vec{F}-m\ddot{\vec{R}}</math>
: <math>
 
\vec{a}
Dies ist z.&nbsp;B. der Fall eines mit einem geradlinig bewegten Fahrzeug verbundenen Bezugssystems. Sei <math>\vec{F}=\vec 0</math>, also es soll keine äußere Kraft wirken. Bremst das Fahrzeug, so ist die Beschleunigung negativ (= Verzögerung) <math>\ddot{\vec{R}} \dot {\vec{R}}<0</math> und somit <math>\vec{a}\,' \dot {\vec{R}}>0</math>. Ein im Fahrzeug sich befindlicher Körper wird also in Fahrtrichtung beschleunigt (z.&nbsp;B. Autofahren: „Kopfnicker“ beim kurzen starken Bremsen).
\,= \, \vec a_{\mathrm{trans}} \,+\, \dot{\vec{\omega}} \times \vec{r}'\,+ \vec{\omega}\times (\vec{\omega}\times\vec{r}\,') \,+\,\vec a'\,+ 2\,\vec{\omega} \times \vec{v}\,'
</math>


=== Rotierendes Bezugssystem ===
Die Beschleunigungen <math>\vec {a} </math> und <math>\vec {a}'  </math>, in <math>\boldsymbol{K}</math> bzw. <math>\boldsymbol{K}'</math> unterscheiden sich also nicht nur um die translatorische Beschleunigung <math>\vec a_{\mathrm{trans}} </math> des Systems  <math>\boldsymbol{K}'</math> im System <math>\boldsymbol{K}'</math>. Verglichen mit <math>\vec {a} </math>, enthält <math>\vec {a}'  </math> insgesamt vier zusätzliche Summanden:
{| class="wikitable"
|<math> \qquad \qquad\qquad -\vec a_{\mathrm{trans}}        </math>                                                ||translatorische Beschleunigung in <math>\boldsymbol{K}'</math>
|-
|<math> \vec a_{\mathrm{Euler}}    \qquad    \,=\,  - \dot{\vec{\omega}} \times \vec{r}'      </math>||[[Eulerbeschleunigung]] in <math>\boldsymbol{K}'</math>
|-
|<math> \vec a_{\mathrm{Zentrifugal}} \,=\, - \vec{\omega}\times (\vec{\omega}\times\vec{r}\,')</math>||[[Zentrifugalbeschleunigung]] in <math>\boldsymbol{K}'</math>
|-
|<math>\vec a_{\mathrm{Coriolis }} \ \  \ \  \,=\, -2 \,\vec{\omega} \times \vec{v}\,'          </math>||[[Coriolisbeschleunigung]] in <math>\boldsymbol{K}'</math>
|}
<small>(Anmerkung: <math>\vec a_{\mathrm{Coriolis }} </math> wird in der Technischen Mechanik meist mit dem umgekehrten Vorzeichen definiert.)</small>


Es soll <math>\ddot{\vec{R}}=0</math> gelten, d.&nbsp;h. der Ursprung von K' bewegt sich gleichförmig gegenüber dem Ursprung von K:
Die Beschleunigung im Inertialsystem ist in dieser Definition die Summe aus ''Führungsbeschleunigung'' <math>\vec a_F</math>, Relativbeschleunigung <math>\vec a'</math> und Coriolisbeschleunigung <math> \vec a_{\mathrm{Coriolis}}</math>, wobei die Führungsbeschleunigung diejenige Beschleunigung ist, die ein Körper hat, wenn er fest mit dem Koordinatensystem verbunden ist:
:<math>m\vec{a}\,'=\vec{F}-2m\vec{\omega}\times\vec{v}\,'-m\dot{\vec{\omega}}\times\vec{r}\,'-m\vec{\omega}\times\left(\vec{\omega}\times\vec{r}\,'\right)</math>


=== Bezugssystem an der Erdoberfläche ===
: <math>\vec a = \vec a_F + \vec a' + \vec a_{\mathrm{Coriolis}}</math>


Die Winkelgeschwindigkeit der Erde ist konstant, d.&nbsp;h. <math>\dot{\vec{\omega}}=\vec 0</math>. Hier rotiert <math>\vec R </math> (= Vektor vom Erdmittelpunkt zum Ursprung von K' an der Erdoberfläche) mit derselben Winkelgeschwindigkeit wie K':
Am Ergebnis ist zu sehen: Wenn ein Punkt in einem Bezugssystem beispielsweise ruht oder sich geradlinig gleichförmig bewegt, hat er im Allgemeinen in einem bewegten anderen Bezugssystem nicht nur eine andere Geschwindigkeit, sondern auch eine andere Beschleunigung. Die Unterschiede der beobachteten Beschleunigungen werden als Wirkung von [[Trägheitskraft|Trägheitskräften]] aufgefasst. Weiteres siehe dort.
:<math>m\vec{a}\,'=\vec{F}-m\ddot{\vec{R}}-2m\vec{\omega}\times\vec{v}\,'-m\vec{\omega}\times\left(\vec{\omega}\times\vec{r}\,'\right)</math>
 
Stellt man <math>\vec{R}</math> bzgl. K' dar, so ergibt die zweite Zeitableitung (<math>\vec{R}</math> ist bzgl. K' konstant):
:<math>\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}t^{2}}\vec{R}=\underbrace{\frac{\mathrm{d}'^{2}\vec{R}}{\mathrm{d}t^{2}}}_{=0}+2\vec{\omega}\times\underbrace{\frac{\mathrm{d}'\vec{R}}{\mathrm{d}t}}_{=0}+\underbrace{\frac{\mathrm{d}'\vec{\omega}}{\mathrm{d}t}}_{=0}\times\vec{R}+\vec{\omega}\times\left(\vec{\omega}\times\vec{R}\right)=\vec{\omega}\times\left(\vec{\omega}\times\vec{R}\right)</math>
 
Somit ergibt sich die Bewegungsgleichung:
:<math>m\vec{a}\,'=\vec{F}-m\vec{\omega}\times\left(\vec{\omega}\times\vec{R}\right)-2m\vec{\omega}\times\vec{v}\,'-m\vec{\omega}\times\left(\vec{\omega}\times\vec{r}\,'\right)</math>
 
Für Bewegungen, die in der Nähe der Erdoberfläche verlaufen, kann man den letzten Term vernachlässigen, da hier <math>|\vec{r}\,'| \ll |\vec{R}|</math> gilt.  
 
Setze als Kraft die [[Gewichtskraft]] <math>\vec{F}=m\vec{g}</math> ein:
:<math>\vec{a}\,'=\underbrace{\vec{g}-\vec{\omega}\times\left(\vec{\omega}\times\vec{R}\right)}_{\vec{g}_{\text{eff}}}-2\vec{\omega}\times\vec{v}\,'-\vec{\omega}\times\left(\vec{\omega}\times\vec{r}\,'\right)</math>
 
Man fasst normalerweise die [[Gravitationsbeschleunigung]] (<math>\vec{g}</math> wirkt in radiale Richtung) und die [[Zentrifugalbeschleunigung]] (<math>-\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{R})</math> wirkt senkrecht zur Erdachse) zusammen zu einer effektiven [[Schwerebeschleunigung]] (die Richtung folgt aus der Vektorsummenbildung). Da die Zentrifugalbeschleunigung von der geographischen Breite abhängt (an den Polen Null und am Äquator maximal), ist die effektive Schwerebeschleunigung von der geographischen Breite abhängig; die Erdoberfläche ist näherungsweise eine [[Äquipotentialfläche]] der effektiven Schwerebeschleunigung, nämliche ein [[Referenzellipsoid|Ellipsoid]], das im Vergleich zur Kugel an den Polen abgeplattet ist. <math>\vec{g}_{\text{eff}}</math> bestimmt die Vertikale von der Erdoberfläche, die von der radialen Richtung etwas abweicht.  
 
Man betrachte ein mitbewegtes Koordinatensystem K' auf der Erdoberfläche, das so ausgerichtet ist, dass <math>\hat{e}'_{x}</math> in Richtung Osten, <math>\hat{e}'_{y}</math> in Richtung Norden und <math>\hat{e}'_{z}</math> zum Zenit zeigt. Die Winkelgeschwindigkeit der Erde lautet in K', wobei <math>\phi</math> die geographische Breite ist,
 
:<math>\vec{\omega}=\Omega\sin\phi\,\hat{e}'_{z}+\Omega\cos\phi\,\hat{e}'_{y}=:\Omega_\mathrm{v}\,\hat{e}'_{z}+\Omega_\mathrm{h}\,\hat{e}'_{y}</math>
 
Somit lautet die Coriolisbeschleunigung
 
:<math>\vec{a}^{\,\prime}_{c}=-2\vec{\omega}\times\vec{v}\,'=-2\begin{pmatrix}0\\ \Omega_\mathrm{h}\\ \Omega_{v}\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}\dot{x}'\\ \dot{y}'\\ \dot{z}'\end{pmatrix} =2\begin{pmatrix}\Omega_\mathrm{v}\dot{y}'-\Omega_\mathrm{h}\dot{z}'\\ -\Omega_{v}\dot{x}'\\ \Omega_\mathrm{h}\dot{x}'\end{pmatrix}</math>


== Siehe auch ==
== Siehe auch ==
* [[Orthogonaler Tensor#Bewegung und Geschwindigkeit]]
* [[Orthogonaler Tensor #Starrkörperbewegungen]]


== Literatur ==
== Literatur ==
 
* F. Scheck: ''Theoretische Physik''. 1. ''Mechanik''. Springer Verlag, ISBN 978-3-540-71377-7
* F. Scheck: ''Theoretische Physik 1. Mechanik''. Springer Verlag, ISBN 978-3-540-71377-7
* Jürgen Dankert, Helga Dankert: ''Technische Mechanik''. 6. Auflage. Springer, 2011, Kap. 27.2 ff.
* {{Literatur
  |Autor=Martin Mayr
  |Titel=Technische Mechanik: Statik, Kinematik – Kinetik – Schwingungen, Festigkeitslehre
  |Auflage=6. überarbeitete
  |Verlag=Hanser
  |Datum=2008
  |ISBN=978-3-446-41690-1
  |Online={{Google Buch |BuchID=36eYLUWU-MgC |Seite=131}}}}


== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
== Einzelnachweise und Anmerkungen ==

Aktuelle Version vom 1. Januar 2022, 20:22 Uhr

Beschleunigte Bezugssysteme sind alle Bezugssysteme, die sich gegenüber einem Inertialsystem in beschleunigter Bewegung befinden. Dabei kann es sich um eine beschleunigte Translationsbewegung und/oder um eine beschleunigte oder unbeschleunigte Rotationsbewegung handeln. Ein beschleunigtes Bezugssystem ist kein Inertialsystem.

Obwohl in beschleunigten Bezugssystemen die physikalischen Gesetze im Allgemeinen komplizierter aussehen (in der Mechanik müssen z. B. bei der Aufstellung von Bewegungsgleichungen Trägheitskräfte berücksichtigt werden), können diese Bezugssysteme in manchen Fällen die Lösung eines Problems vereinfachen.

Das ist meist dann der Fall, wenn das Bezugssystem so gewählt wird, dass die Bewegungen relativ dazu einfach werden:

  • Rotierende Kreis- oder Spiralbewegungen um ein gemeinsames Zentrum lassen sich z. B. oft gut beschreiben, wenn das Bezugssystem um das Zentrum gleichförmig rotiert: Der kreiselnde bzw. spiralende Körper ruht dann darin oder bewegt sich entlang einer Geraden.
  • Das Foucaultsche Pendel wird meist in einem Bezugssystem berechnet, das die Erddrehung mitvollführt. Ebenso die Berechnungen für die Vorgänge in Atmosphäre und Ozeanen, auf denen die Vorhersage des Wetters und der Klimaentwicklung aufbauen.
  • Relativbewegungen in einem Fahrzeug, z. B. die der Räder, werden in einem fahrzeugfesten System beschrieben.
  • In einem Bezugssystem, das in einem homogenen Schwerkraftfeld im freien Fall ist, wird die Schwerkraft durch die Trägheitskraft exakt ausgeglichen.

In der Klassischen Mechanik sind Zeitintervalle und räumliche Abstände in allen Bezugssystemen gleich. Die Umrechnung der wahrgenommenen physikalischen Größen beim Übergang zu einem anderen Bezugssystem wird daher durch die Euklidische Transformation bewerkstelligt.

Kinematik

Datei:Koordinatensysteme Ortsvektoren.png
Inertialsystem K und beschleunigtes Koordinatensystem K'.

Zeitliche Ableitungen in einem ruhenden und einem bewegten Koordinatensystem

Sei P ein Punkt im physikalischen Raum. In einem Bezugssystem $ {\boldsymbol {K}} $ ist er durch einen Ortsvektor $ {\vec {r}} $ definiert, der mit drei Basisvektoren $ {\vec {e}}_{i} $ ( $ i=1,2,3 $ für die x-, y- und z-Richtung) und drei Koordinaten $ x_{i} $ so darzustellen ist:

$ {\vec {r}}\,=\,\sum _{i}x_{i}\,{\vec {e}}_{i} $

Ist der Punkt beweglich, hängen die Koordinaten $ x_{i}(t) $ von der Zeit ab.

Die zeitliche Ableitung des Vektors ist

$ {\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}\,=\,\sum _{i}{\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} t}}{\vec {e}}_{i} $

Sie gibt die Geschwindigkeit an, mit der sich der Punkt P relativ zum Bezugssystem $ {\boldsymbol {K}} $ bewegt.

Sei $ {\boldsymbol {K}}' $ ein anderes Bezugssystem, das sich relativ zu $ {\boldsymbol {K}} $ bewegt. Sein Koordinatenursprung liegt bei $ {\vec {R}}(t) $, seine Basisvektoren sind $ {\vec {e}}'_{i}(t) $. Der Ortsvektor desselben Punktes P in K' sei $ {\vec {r}}\,' $. Damit die Vektoren $ {\vec {r}} $ und $ {\vec {r}}\,' $ denselben physikalischen Ort im Raum definieren, muss gelten:

$ {\vec {r}}\,=\,{\vec {R}}+{\vec {r}}\,' $.

Im Fall $ {\vec {R}}={\vec {0}} $ sind also die Vektoren gleich ($ {\vec {r}}={\vec {r}}\,' $), aber ihre Komponenten bezüglich $ {\boldsymbol {K}} $ bzw. $ {\boldsymbol {K}}' $ im Allgemeinen nicht.

Die Komponentendarstellung von $ {\vec {r}}\,' $ in Bezug auf $ {\boldsymbol {K}}' $ ist:

$ {\vec {r}}'\,=\,\sum _{i}x_{i}'\,{\vec {e}}_{i}' $.

Die zeitliche Ableitung des Vektors $ {\vec {r}}\,' $ relativ zum bewegten System $ {\boldsymbol {K}}' $ ist

$ {\frac {\mathrm {d} '{\vec {r}}'}{\mathrm {d} t}}\,=\,\sum _{i}{\frac {\mathrm {d} x_{i}'}{\mathrm {d} t}}{\vec {e}}_{i}' $

Dabei bedeutet der Strich im Symbol $ \mathrm {d} ' $ für die Differentiation eines Vektors $ {\vec {r}}'(t) $, dass die Koordinaten $ x_{i}'(t) $ abgeleitet werden sollen, die er im Bezugssystem $ {\boldsymbol {K}}' $ hat, damit die Ableitung eine Größe bezeichnet, wie sie dort beobachtet werden kann.

Um die Geschwindigkeiten des Punktes P, wie sie in $ {\boldsymbol {K}} $ bzw. in $ {\boldsymbol {K}}' $ beobachtet werden, zueinander in Beziehung zu setzen, muss die Bewegung von $ {\boldsymbol {K}}' $ in Bezug auf $ {\boldsymbol {K}} $ beschrieben werden. Diese Bewegung ist wie bei einem starren Körper in jedem Moment die Kombination einer Translationsbewegung und einer Rotationsbewegung. Die Translationsbewegung ist durch die Geschwindigkeit gegeben, mit der der Ursprung $ {\vec {R}}(t) $ sich in $ {\boldsymbol {K}} $ bewegt:

$ {\vec {v}}_{\mathrm {trans} }(t)\,=\,{\frac {\mathrm {d} {\vec {R}}}{\mathrm {d} t}} $.

Aufgrund der Translationsbewegung bewegen sich alle Punkte mit konstantem Ortsvektor $ {\vec {r}}\,' $ in $ {\boldsymbol {K}} $ parallel, also bleiben auch die Basisvektoren $ {\vec {e}}'_{i} $ zeitlich konstant. Aufgrund der Rotationsbewegung ändern diese sich aber. Die momentane Rotationsbewegung von $ {\boldsymbol {K}}' $ hat eine Drehachse durch den Ursprung am Ort $ {\vec {R}}(t) $ und eine Winkelgeschwindigkeit $ \omega (t) $, die mit dem Drehsinn zur vektoriellen Winkelgeschwindigkeit $ {\vec {\omega }}(t) $ zusammengefasst sind. Damit ändern sich die Basisvektoren von $ {\boldsymbol {K}}' $ in $ {\boldsymbol {K}} $ mit der Geschwindigkeit (siehe Bahngeschwindigkeit):

$ {\frac {\mathrm {d} {\vec {e}}'_{i}}{\mathrm {d} t}}\,=\,{\vec {\omega }}\times {\vec {e}}'_{i} $

Damit kann die Zeitableitung des Vektors $ {\vec {r}}'(t) $, wie sie im Bezugssystem $ {\boldsymbol {K}} $ erscheint, berechnet werden. Nach der Produktregel ist

$ {\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}\,'}{\mathrm {d} t}}\,=\,\sum _{i}{\frac {\mathrm {d} x'_{i}}{\mathrm {d} t}}{\vec {e}}'_{i}+\sum _{i}x'_{i}{\frac {\mathrm {d} {\vec {e}}'_{i}}{\mathrm {d} t}} $.

Nach den obigen Formeln ist das dasselbe wie

$ {\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}\,'}{\mathrm {d} t}}\,=\,{\frac {\mathrm {d} '{\vec {r}}\,'}{\mathrm {d} t}}\,+\,\sum _{i}x'_{i}\,({\vec {\omega }}\times {\vec {e}}'_{i})\,=\,{\frac {\mathrm {d} '{\vec {r}}\,'}{\mathrm {d} t}}+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}\,' $.

Diese Formel wird oft zu einer Operatorgleichung abgekürzt wiedergegeben als

$ {\frac {\mathrm {d} \bullet }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} '\bullet }{\mathrm {d} t}}+{\vec {\omega }}\times \bullet $.

Angewendet auf einen beliebigen Vektor (einzusetzen bei $ \bullet $), liefert sie den Zusammenhang zwischen seinen Änderungsgeschwindigkeiten, wie sie in $ {\boldsymbol {K}} $ (linke Seite der Gleichung) bzw. in $ {\boldsymbol {K}}' $ (erster Term der rechten Seite) erscheint.[1]

Transformation der Geschwindigkeit

Im Folgenden werden, in Anlehnung an die Technische Mechanik, die im Bezugssystem $ {\boldsymbol {K}} $ beobachteten Größen als Absolutgeschwindigkeit bzw. Absolutbeschleunigung bezeichnet, und die auf $ {\boldsymbol {K}}' $ bezogenen Größen als Relativgeschwindigkeit bzw. Relativbeschleunigung.[2]

Die Absolutgeschwindigkeit $ {\vec {v}} $ des Punktes ist:

$ {\vec {v}}\,=\,{\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}\,=\,\sum _{i}{\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} t}}{\vec {e}}_{i}\left(\,=\,\sum _{i}{\dot {x}}_{i}{\vec {e}}_{i}\right) $

Die Relativgeschwindigkeit $ {\vec {v}}' $ des Punktes ist analog:

$ {\vec {v}}'\,=\,{\frac {\mathrm {d} '{\vec {r}}'}{\mathrm {d} t}}\,=\,\sum _{i}{\frac {\mathrm {d} x_{i}'}{\mathrm {d} t}}{\vec {e}}_{i}' $

Wegen $ {\vec {r}}\,=\,{\vec {R}}+{\vec {r}}\,' $ folgt für die Absolutgeschwindigkeit $ {\vec {v}} $:

$ {\vec {v}}\,\,=\,\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}({\vec {R}}+{\vec {r}}')\,=\,{\frac {\mathrm {d} {\vec {R}}}{\mathrm {d} t}}\,+\,{\frac {\mathrm {d} '{\vec {r}}'}{\mathrm {d} t}}\,+\,{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'\,=\,{\vec {v}}_{\mathrm {trans} }\,+\,{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'\,+\,{\vec {v}}\,' $.

Der Anteil ($ {\vec {v}}_{\mathrm {trans} }+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}' $) der Absolutgeschwindigkeit wird als Führungsgeschwindigkeit bezeichnet. Alle Punkte, die im Bezugssystem $ {\boldsymbol {K}}' $ ruhen, bewegen sich im Bezugssystem $ {\boldsymbol {K}} $ mit der Führungsgeschwindigkeit. Falls sie in $ {\boldsymbol {K}}' $ nicht ruhen, ist ihre Relativgeschwindigkeit $ {\vec {v}}\,' $ zur Führungsgeschwindigkeit zu addieren.

Transformation der Beschleunigung

Die zeitliche Ableitung der Formel für die Geschwindigkeit des Punktes P in $ {\boldsymbol {K}} $ ergibt die Absolutbeschleunigung, ausgedrückt durch die in $ {\boldsymbol {K}}' $ beobachtbaren Größen $ {\vec {r}}' $ und $ {\vec {v}}' $ und $ {\vec {a}}' $:

$ {\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}\,=\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\vec {v}}_{\mathrm {trans} }\,+\,{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'\,+\,{\vec {v}}'\right)\,=\,\underbrace {\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{\mathrm {trans} }}{\mathrm {d} t}} _{{\vec {a}}_{\mathrm {trans} }}\,+\,\underbrace {\left({\frac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}}{\mathrm {d} t}}\right)} _{\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}'\,+\,{\vec {\omega }}\times \underbrace {\left({\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}\,'}{\mathrm {d} t}}\right)} _{{\vec {v}}\,'+\,{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}\,'}\,+\,\underbrace {\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}'}{\mathrm {d} t}} _{{\vec {a}}\,'+\,{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}\,'} $

Dabei muss die obige Operatorgleichung je einmal auf $ {\vec {r}}' $ und $ {\vec {v}}' $ angewendet werden. Die Größen nach den vorstehenden Formeln eingesetzt und etwas umgeordnet:

$ {\vec {a}}\,=\,{\vec {a}}_{\mathrm {trans} }\,+\,{\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}'\,+{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}\,')\,+\,{\vec {a}}'\,+2\,{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}\,' $

Die Beschleunigungen $ {\vec {a}} $ und $ {\vec {a}}' $, in $ {\boldsymbol {K}} $ bzw. $ {\boldsymbol {K}}' $ unterscheiden sich also nicht nur um die translatorische Beschleunigung $ {\vec {a}}_{\mathrm {trans} } $ des Systems $ {\boldsymbol {K}}' $ im System $ {\boldsymbol {K}}' $. Verglichen mit $ {\vec {a}} $, enthält $ {\vec {a}}' $ insgesamt vier zusätzliche Summanden:

$ \qquad \qquad \qquad -{\vec {a}}_{\mathrm {trans} } $ translatorische Beschleunigung in $ {\boldsymbol {K}}' $
$ {\vec {a}}_{\mathrm {Euler} }\qquad \,=\,-{\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}' $ Eulerbeschleunigung in $ {\boldsymbol {K}}' $
$ {\vec {a}}_{\mathrm {Zentrifugal} }\,=\,-{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}\,') $ Zentrifugalbeschleunigung in $ {\boldsymbol {K}}' $
$ {\vec {a}}_{\mathrm {Coriolis} }\ \ \ \ \,=\,-2\,{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}\,' $ Coriolisbeschleunigung in $ {\boldsymbol {K}}' $

(Anmerkung: $ {\vec {a}}_{\mathrm {Coriolis} } $ wird in der Technischen Mechanik meist mit dem umgekehrten Vorzeichen definiert.)

Die Beschleunigung im Inertialsystem ist in dieser Definition die Summe aus Führungsbeschleunigung $ {\vec {a}}_{F} $, Relativbeschleunigung $ {\vec {a}}' $ und Coriolisbeschleunigung $ {\vec {a}}_{\mathrm {Coriolis} } $, wobei die Führungsbeschleunigung diejenige Beschleunigung ist, die ein Körper hat, wenn er fest mit dem Koordinatensystem verbunden ist:

$ {\vec {a}}={\vec {a}}_{F}+{\vec {a}}'+{\vec {a}}_{\mathrm {Coriolis} } $

Am Ergebnis ist zu sehen: Wenn ein Punkt in einem Bezugssystem beispielsweise ruht oder sich geradlinig gleichförmig bewegt, hat er im Allgemeinen in einem bewegten anderen Bezugssystem nicht nur eine andere Geschwindigkeit, sondern auch eine andere Beschleunigung. Die Unterschiede der beobachteten Beschleunigungen werden als Wirkung von Trägheitskräften aufgefasst. Weiteres siehe dort.

Siehe auch

Literatur

  • F. Scheck: Theoretische Physik. 1. Mechanik. Springer Verlag, ISBN 978-3-540-71377-7
  • Jürgen Dankert, Helga Dankert: Technische Mechanik. 6. Auflage. Springer, 2011, Kap. 27.2 ff.
  • Martin Mayr: Technische Mechanik: Statik, Kinematik – Kinetik – Schwingungen, Festigkeitslehre. 6. überarbeitete Auflage. Hanser, 2008, ISBN 978-3-446-41690-1 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

Einzelnachweise und Anmerkungen

  1. K. Marguerre: Technische Mechanik. 3. Teil: Kinetik. Springer-Verlag, 1968, ISBN 978-3-540-04173-3, S. 67.: (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)
  2. Diese Wortwahl bedeutet nicht, dass es in der klassischen Mechanik so etwas wie „absolute Ruhe“ oder „absolute Geschwindigkeit“ gäbe. Siehe Relativitätsprinzip #Klassische Mechanik.