Orthogonaler Tensor

Orthogonale Tensoren sind einheitenfreie Tensoren zweiter Stufe, die eine Drehung oder Drehspiegelung im euklidischen Vektorraum ausführen. In der Kontinuumsmechanik werden nur Drehungen betrachtet, denn Drehspiegelungen kommen in den von der Schwerkraft bestimmten physikalischen Gesetzen der makroskopischen Welt nicht vor.

Tensoren zweiter Stufe werden hier als lineare Abbildungen von geometrischen Vektoren auf geometrische Vektoren benutzt, die im Allgemeinen dabei gedreht und gestreckt werden, siehe Abbildung rechts oben. Bei einem orthogonalen Tensor, der eine Drehung oder Drehspiegelung repräsentiert, entfällt die Streckung, sodass der Betrag des Vektors bei der Transformation nicht verändert wird, siehe die untere Abbildung rechts. Orthogonale Tensoren werden üblicherweise mit den Formelzeichen Q oder R bezeichnet, wobei R zumeist für den Rotationstensor in der Polarzerlegung des Deformationsgradienten steht.

Bezüglich der Standardbasis können orthogonale Tensoren wie orthogonale Matrizen geschrieben werden und haben auch analoge Eigenschaften. Anders als Matrizen referenzieren die Koeffizienten eines Tensors jedoch auf ein Basissystem des zugrunde liegenden Vektorraums, sodass sich die Koeffizienten des Tensors bei einem Wechsel des Basissystems auf charakteristische Weise ändern. Jeder Tensor besitzt Invarianten, die bei einem Wechsel des Basissystems unverändert bleiben. Bei einem orthogonalen Tensor geben diese Invarianten über den Drehwinkel, die Drehachse und darüber, ob der Tensor eine Drehung oder Drehspiegelung repräsentiert, Auskunft.

Orthogonale Tensoren treten in der euklidischen Transformation auf, mit der die Beziehung zwischen beliebig bewegten Bezugssystemen und in ihnen vorliegenden physikalischen Größen beschrieben wird. In der Materialtheorie helfen orthogonale Tensoren dabei, bezugssysteminvariante Materialgleichungen aufzustellen. Außerdem wird die Richtungsabhängigkeit eines Materials (Transversale Isotropie, Orthotropie) mit orthogonalen Tensoren beschrieben.

Definition

Orthogonale Tensoren sind Tensoren zweiter Stufe Q, für die gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{Q}^{-1}=\mathbf{Q}^\top   oder  Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{Q^\top\cdot Q}=\mathbf{Q\cdot Q}^\top =\mathbf{1}

Die hochgestellte −1 kennzeichnet den inversen, (·)^⊤ den transponierten Tensor und 1 den Einheitstensor. Wegen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 1=\operatorname{det}(\mathbf{1}) =\operatorname{det}(\mathbf{Q^\top\cdot Q}) =\operatorname{det}(\mathbf{Q}^\top )\operatorname{det}(\mathbf{Q}) =\operatorname{det}{(\mathbf{Q})}^2

ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{det}(\mathbf{Q})=\pm 1

Ein orthogonaler Tensor, der eine reine Drehung repräsentiert, wird eigentlich orthogonal genannt und hat die Determinante +1. Bei det(Q) = -1 führt der Tensor eine Drehspiegelung aus. Weil Spiegelungen in der Mechanik nicht betrachtet werden, ist dort stets det(Q) = +1.

Starrkörperbewegungen

Jede Starrkörperbewegung lässt sich in eine Translation und eine Rotation zerlegen. Als Drehzentrum eignet sich jeder ruhende oder bewegte Punkt und auch der Schwerpunkt des Körpers, siehe Abbildung rechts. Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{r}(\vec{X})=\vec{X}-\vec{S} der zeitlich fixierte Differenzvektor zwischen einem Partikel $ {\vec {X}} $ des starren Körpers und seinem Schwerpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{S} zu einem Zeitpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {t}_{0} . Die Translation des Körpers kann dann mit seiner Schwerpunktsbewegung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{s}(t) (mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{s}(t_0)=\vec{S} ) und seine Drehung mit einem von der Zeit aber nicht vom Ort abhängigen orthogonalen Tensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{Q}(t) (mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{Q}({t}_{0})=\mathbf{1} ) dargestellt werden. Translation und Rotation zusammengenommen definieren die Bewegungsfunktion $ {\vec {\chi }}({\vec {X}},t) $ des Partikels Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{X} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \vec{\chi}(\vec{X},t)=&\vec{s}(t)+\mathbf{Q}(t)\cdot(\vec{X}-\vec{S}) \\ \rightarrow\; \vec{X}-\vec{S}=&\mathbf{Q}^\top(t)\cdot(\vec{\chi}(\vec{X},t)-\vec{s}(t))\end{align}

Die Geschwindigkeit des Partikels ist dann

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \dot{\vec{\chi}}(\vec{X},t) =& \dot{\vec{s}}(t)+\dot{\mathbf{Q}}(t)\cdot(\vec{X}-\vec{S}) \\=& \dot{\vec{s}}(t) +\dot{\mathbf{Q}}(t)\cdot\mathbf{Q}^\top (t)\cdot (\vec{\chi}(\vec{X},t)-\vec{s}(t)) \\ \rightarrow \vec{v}(\vec{x},t) =& \dot{\vec{s}}(t)+\boldsymbol{\Omega}(t)\cdot(\vec{x}-\vec{s}(t)) \end{align}

Der Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{x}=\vec{\chi}(\vec{X},t) ist hier der Ort des Partikels zur Zeit t und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v}(\vec{x},t)=\dot{\vec{\chi}}(\vec{X},t) ist seine Geschwindigkeit zur Zeit t. Beim Übergang von der oberen zur unteren Gleichung vollzieht sich der Wechsel von der lagrangeschen zur eulerschen Darstellung der Bewegung. Der Tensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \boldsymbol{\Omega}:=\dot{\mathbf{Q}}\cdot\mathbf{Q}^\top ist schiefsymmetrisch:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \boldsymbol{\Omega}+\boldsymbol{\Omega}^\top =\dot{\mathbf{Q}}\cdot\mathbf{Q}^\top +\mathbf{Q}\cdot\dot{\mathbf{Q}}^\top =(\mathbf{Q\cdot Q}^\top\dot{)\,} =\dot\mathbf1 =\mathbf0 \quad\rightarrow\quad \boldsymbol\Omega^\top=-\boldsymbol\Omega

und besitzt daher einen dualen Vektor $ {\vec {\omega }} $ mit der Eigenschaft:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \boldsymbol{\Omega}\cdot \vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{v}   für alle  Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v}

Einsetzen des dualen Vektors in das Geschwindigkeitsfeld führt auf die eulersche Geschwindigkeitsgleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v}(\vec{x},t)=\dot{\vec{s}}(t)+\vec{\omega}(t)\times (\vec{x}-\vec{s}(t))

die keinen sichtbaren Tensor enthält. Nur im Kreuzprodukt, das einer Tensortransformation entspricht, verbirgt sich noch ein Hinweis auf einen Tensor.

Transformationseigenschaften

Vektortransformation

Ein orthogonaler Tensor dreht Vektoren, denn das Skalarprodukt zweier beliebiger Vektoren bleibt unter der linearen Abbildung mit Q erhalten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\mathbf{Q}\cdot\vec{u})\cdot (\mathbf{Q}\cdot\vec{v}) =\vec{u}\cdot \mathbf{Q^\top\cdot Q}\cdot\vec{v} =\vec{u}\cdot \vec{v}

Insbesondere ist mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v}=\vec{u}  :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {|\mathbf{Q}\cdot\vec{u}|}^2 =(\mathbf{Q}\cdot\vec{u})\cdot (\mathbf{Q}\cdot\vec{u}) =\vec{u}\cdot \vec{u}={|\vec{u}|}^2

weswegen ein orthogonaler Tensor Q die Frobeniusnorm eines Vektors nicht verändert. Weil die Drehachse $ {\vec {n}} $ bei einer reinen Drehung auf sich selbst abgebildet wird, ist die Drehachse der Drehung ein Eigenvektor eines eigentlich orthogonalen Tensors Q mit Eigenwert eins:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{Q}\cdot\vec{n}=\vec{n}

Ist Q ein uneigentlich orthogonaler Tensor, dann ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{Q}\cdot\vec{n}=-\vec{n}

Spatprodukt und Kreuzprodukt

Spat, der von drei Vektoren aufgespannt wird

Das Spatprodukt dreier Vektoren ist das Volumen des von den Vektoren aufgespannten Spats, siehe Bild. Werden die drei Vektoren wie im Bild mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{a},\,\vec{b},\,\vec{c} bezeichnet und mit einem orthogonalen Tensor transformiert, berechnet sich das Spatprodukt zu:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} (\mathbf{Q}\cdot\vec{a})\cdot[(\mathbf{Q}\cdot\vec{b})\times(\mathbf{Q}\cdot\vec{c})] =& \operatorname{det}\begin{pmatrix} \mathbf{Q}\cdot\vec{a} & \mathbf{Q}\cdot\vec{b} & \mathbf{Q}\cdot\vec{c}\end{pmatrix} \\=& \operatorname{det}\left[\mathbf{Q}\cdot \begin{pmatrix}\vec{a} & \vec{b} & \vec{c}\end{pmatrix}\right] \\=& \operatorname{det}(\mathbf{Q})\operatorname{det}\begin{pmatrix}\vec{a} & \vec{b} & \vec{c}\end{pmatrix} \\=& \operatorname{det}(\mathbf{Q})\,\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) \end{align}

Wenn der Tensor eigentlich orthogonal ist, dann wird das Spatprodukt also durch ihn nicht verändert, andernfalls kehrt das Spatprodukt sein Vorzeichen um. Weiter folgt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{l} (\mathbf{Q}\cdot\vec{a})\cdot[(\mathbf{Q}\cdot\vec{b})\times(\mathbf{Q}\cdot\vec{c})] = \vec{a}\cdot\mathbf{Q}^\top\cdot[(\mathbf{Q}\cdot\vec{b})\times(\mathbf{Q}\cdot\vec{c})] = \operatorname{det}(\mathbf{Q})\,\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) \\ \rightarrow \vec{a}\cdot\left\{ \mathbf{Q}^\top\cdot[(\mathbf{Q}\cdot\vec{b})\times(\mathbf{Q}\cdot\vec{c})] - \operatorname{det}(\mathbf{Q})(\vec{b}\times\vec{c}) \right\} = 0 \end{array}

Das gilt für jeden Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{a} , weshalb der Vektor in den geschweiften Klammern verschwindet und auf

$ (\mathbf {Q} \cdot {\vec {b}})\times (\mathbf {Q} \cdot {\vec {c}})=\operatorname {det} (\mathbf {Q} )\mathbf {Q} \cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c}}) $

geschlossen werden kann. Deshalb kann ein eigentlich orthogonaler Tensor aus dem Kreuzprodukt herausgezogen werden während bei einem uneigentlich orthogonalen Tensor noch ein Vorzeichenwechsel stattfindet.

Mit dem Spatprodukt berechnet sich das Volumenelement und mit dem Kreuzprodukt berechnet sich das Oberflächenelement. Bei einer Drehspiegelung wechseln beide Elemente ihr Vorzeichen, weshalb sie nur bei einer Transformation mit einem eigentlich orthogonalen Tensor Q invariant gegenüber einer euklidischen Transformation sind.

Tensortransformation

Sei T ein beliebiger Tensor zweiter Stufe, der einen Eigenwert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda und zugehörigen Eigenvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v} besitzt, also

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{T}\cdot\vec{v}=\lambda \vec{v}

gilt, und Q sei ein orthogonaler Tensor. Dann ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{Q\cdot T}\cdot\vec{v} =(\mathbf{Q\cdot T\cdot Q}^\top )\cdot (\mathbf{Q}\cdot\vec{v}) =\lambda (\mathbf{Q}\cdot\vec{v})

Also hat der Tensor S := Q·T·Q^⊤ dieselben Eigenwerte wie T aber die mit Q gedrehten Eigenvektoren. Daraus folgt unmittelbar, dass die Hauptinvarianten und Beträge von S und T übereinstimmen.

Berechnung von orthogonalen Tensoren

Bei der Berechnung von orthogonalen Tensoren können sich die drei Aufgaben stellen:

• Wie wird aus der Drehachse und dem Drehwinkel der entsprechende orthogonale Tensor konstruiert?
• Welcher orthogonale Tensor transformiert zwei gegebene, gegeneinander verdrehte Vektorraumbasen ineinander?
• Wie lautet die Drehachse und der Drehwinkel eines gegebenen orthogonalen Tensors?

Diese Fragen werden in den folgenden Abschnitten beantwortet.

Drehachse und Winkel gegeben

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{n} ein Einheitsvektor (der Länge eins) und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha ein Winkel. Dann ist der Tensor

$ {\begin{array}{lcl}\mathbf {Q} &=&+\mathbf {1} +\sin(\alpha ){\hat {n}}\times \mathbf {1} +(\cos(\alpha )-1)(\mathbf {1} -{\hat {n}}\otimes {\hat {n}})\\&=&+{\hat {n}}\otimes {\hat {n}}+\cos(\alpha )(\mathbf {1} -{\hat {n}}\otimes {\hat {n}})+\sin(\alpha ){\hat {n}}\times \mathbf {1} \end{array}} $

eigentlich orthogonal und dreht um die Achse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{n} mit Drehwinkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha . Das Kreuzprodukt von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{n} mit dem Einheitstensor ergibt den schiefsymmetrischen axialen Tensor von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{n}  :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{n}\times \mathbf{1} =\hat{n}\times \left( \sum_{i=1}^3\hat{e}_i\otimes \hat{e}_i \right) :=\sum_{i=1}^3(\hat{n}\times \hat{e}_i)\otimes \hat{e}_i =\begin{pmatrix} 0& - n_3& n_2\\ n_3& 0& - n_1\\ - n_2& n_1& 0\end{pmatrix}

wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n_{1,2,3} die Komponenten von $ {\hat {n}} $ bezüglich der Standardbasis ê_1,2,3 sind.

Bei einer Drehspiegelung wäre

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{lcl} \mathbf{Q} &=& {\color{red}-}\mathbf{1}+\sin (\alpha )\hat{n}\times \mathbf{1} +(\cos (\alpha){\color{red}+}1)(\mathbf{1}-\hat{n}\otimes \hat{n}) \\ &=& {\color{red}-}\hat{n}\otimes \hat{n}+\cos (\alpha )(\mathbf{1}-\hat{n}\otimes \hat{n}) +\sin (\alpha )\hat{n}\times \mathbf{1} \end{array}

Der Tensor Q hat jedenfalls die Spur und den schiefsymmetrischen Anteil

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rcl} \operatorname{Sp}(\mathbf{Q}) &=& \operatorname{Sp}[\operatorname{det}(\mathbf{Q})\hat{n}\otimes \hat{n} +\cos (\alpha )(\mathbf{1}-\hat{n}\otimes \hat{n}) +\sin (\alpha )\hat{n}\times \mathbf{1}] \\ &=& \operatorname{det}(\mathbf{Q}) + 2\cos (\alpha ) \\ \frac{1}{2}(\mathbf{Q}-\mathbf{Q}^\top ) &=& \sin (\alpha )\hat{n}\times \mathbf{1} = \sin (\alpha ) \begin{pmatrix} 0& - n_3& n_2\\ n_3& 0& - n_1\\ - n_2& n_1& 0 \end{pmatrix} \end{array}

Die eingangs angegebene Formel für Q kann auch mit einem Rotationsvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\alpha}:=\alpha \hat{n} geschrieben werden:

$ \mathbf {Q} =\mathbf {1} +{\frac {\sin(\alpha )}{\alpha }}{\vec {\alpha }}\times \mathbf {1} +{\frac {1-\cos(\alpha )}{{\alpha }^{2}}}({\vec {\alpha }}\otimes {\vec {\alpha }}-({\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\alpha }})\mathbf {1} )=\exp({\vec {\alpha }}\times \mathbf {1} ) $

Das Exponential der schiefsymmetrischen Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\alpha}\times\mathbf{1} wird bei Drehmatrizen definiert und verwendet.

Es können auch Rotationsvektoren mit anderer Länge benutzt werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{lcl} \vec{\alpha} =\tan \left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\;\hat{n} & \rightarrow & \mathbf{Q} =\mathbf{1}+\dfrac{2}{1+\vec{\alpha}\cdot \vec{\alpha}} (\vec{\alpha}\times \mathbf{1}+\vec{\alpha}\otimes \vec{\alpha} -(\vec{\alpha}\cdot\vec{\alpha})\mathbf{1}) \\[2ex] \vec{\alpha} =\sin (\alpha)\;\hat{n} & \rightarrow & \mathbf{Q} =\mathbf{1}+\vec{\alpha}\times \mathbf{1}+\dfrac{1}{1+\cos (\alpha)} (\vec{\alpha}\otimes \vec{\alpha}-(\vec{\alpha}\cdot\vec{\alpha})\mathbf{1}) \\[2ex] \vec{\alpha} = \sin \left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\;\hat{n} & \rightarrow & \mathbf{Q} =\mathbf{1}+2 \cos \left(\dfrac{\alpha}{2}\right) \vec{\alpha}\times \mathbf{1} + 2 ( \vec{\alpha}\otimes \vec{\alpha} -(\vec{\alpha}\cdot\vec{\alpha})\mathbf{1}) \end{array}

Letztere Variante ist in Anlehnung an die Quaternionen. In Büchter (1992)^[1] findet sich eine ausführliche Diskussion der verschiedenen Parametrisierungsmöglichkeiten von Rotationen.

Urbild- und Bildvektoren gegeben

Gegeben seien drei linear unabhängige Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{u}_{1,2,3} , die demnach eine Vektorraumbasis bilden. Die dazu duale Basis sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{u}^{1,2,3} , sodass also

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{u}_i\cdot \vec{u}^j=\delta_{ij} :=\begin{cases} 1 & \textsf{falls}\;i=j \\ 0 & \textsf{sonst} \end{cases} \;,\quad i,j={1,2,3}

gilt. Das Symbol $ \delta _{ij} $ ist das Kronecker-Delta. Wenn nun die Vektorgruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v}_{1,2,3} durch Drehung aus der Basis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{u}_{1,2,3} hervorgeht, dann gibt es einen orthogonalen Tensor Q, für den gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{Q}\cdot\vec{u}_i = \vec{v}_i\,,\quad i=1,2,3

Dieser Tensor erhält mit dem dyadischen Produkt „Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \otimes “ von Vektoren die Form:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{Q}=\sum_{i=1}^3\vec{v}_i\otimes \vec{u}^i

Mit der zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v}_{1,2,3} dualen Basis $ {\vec {v}}^{1,2,3} $ berechnet sich

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sum_{k=1}^3 (\vec{v}^k\otimes \vec{u}_k)\cdot\mathbf{Q}^\top =\sum_{i,k=1}^3 (\vec{v}^k\otimes \vec{u}_k)\cdot (\vec{u}^i\otimes \vec{v}_i) =\sum_{i=1}^3 \vec{v}^i\otimes \vec{v}_i = \mathbf{1}

weswegen nun die beiden Darstellungen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{Q} =\sum_{i=1}^3\vec{v}_i\otimes \vec{u}^i =\sum_{i=1}^3 \vec{v}^i\otimes \vec{u}_i

vorliegen. Derselbe Tensor Q überführt also auch die dualen Basen ineinander:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{Q}\cdot\vec{u}^i = \vec{v}^i\,,\quad i=1,2,3

Die Determinante des Tensors berechnet sich mit den obigen Darstellungen zu:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{lcl} \operatorname{det}(\mathbf{Q}) &=& \operatorname{det}\begin{pmatrix} \vec{v}_1 & \vec{v}_2 & \vec{v}_3 \end{pmatrix} \cdot \operatorname{det}\begin{pmatrix} \vec{u}^1 & \vec{u}^2 & \vec{u}^3 \end{pmatrix} = \dfrac{\operatorname{det}\begin{pmatrix} \vec{v}_1 & \vec{v}_2 & \vec{v}_3 \end{pmatrix}}{ \operatorname{det}\begin{pmatrix} \vec{u}_1 & \vec{u}_2 & \vec{u}_3 \end{pmatrix}} \\ &=& \operatorname{det}\begin{pmatrix} \vec{v}^1 & \vec{v}^2 & \vec{v}^3 \end{pmatrix} \cdot \operatorname{det}\begin{pmatrix} \vec{u}_1 & \vec{u}_2 & \vec{u}_3 \end{pmatrix} = \dfrac{\operatorname{det}\begin{pmatrix} \vec{u}_1 & \vec{u}_2 & \vec{u}_3 \end{pmatrix}}{ \operatorname{det}\begin{pmatrix} \vec{v}_1 & \vec{v}_2 & \vec{v}_3 \end{pmatrix}} = +1 \end{array}

weil oben eine Drehung und damit dieselbe Händigkeit der Basen vorausgesetzt wurde. Bei einer Drehspiegelung wäre det(Q) = -1 und die Händigkeiten der beiden Basen wäre verschieden.

Tensor gegeben

Die Drehachse eines orthogonalen Tensors Q ist seine Vektorinvariante Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{n}:=\mathbf{1}\cdot\!\!\times \mathbf{Q} . Seien die Basen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{u}_i\,,\vec{v}_i und deren duale Basen $ {\vec {u}}^{i}\,,{\vec {v}}^{i} $ für i=1,2,3 sowie der orthogonale Tensor Q wie im vorigen Abschnitt definiert. Dann ergibt sich für die Drehachse von Q:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rcl} \vec{n}=\mathbf{1}\cdot\!\!\times \mathbf{Q} &=&\displaystyle \sum_{i=1}^3 \mathbf{1}\cdot\!\!\times (\vec{v}_i\otimes \vec{u}^i) =\sum_{i=1}^3 \vec{v}_i\times \vec{u}^i \\ &=&\displaystyle \sum_{i=1}^3 \mathbf{1}\cdot\!\!\times (\vec{v}^i\otimes \vec{u}_i) =\sum_{i=1}^3 \vec{v}^i\times \vec{u}_i \end{array}

denn das Skalarkreuzprodukt „·×“ mit dem Einheitstensor vertauscht das dyadische Produkt durch das Kreuzprodukt. Wegen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{lcl} \mathbf{Q}\cdot\vec{n} &=& \displaystyle \sum_{i=1}^3\mathbf{Q}\cdot(\vec{v}_i\times \vec{u}^i) =\operatorname{det}(\mathbf{Q}) \sum_{i=1}^3(\mathbf{Q}\cdot\vec{v}_i)\times(\mathbf{Q}\cdot\vec{u}^i) \\ &=&\displaystyle \operatorname{det}(\mathbf{Q}) \sum_{i,k=1}^3 (\vec{u}^k\cdot\vec{v}_i)\vec{v}_k\times\vec{v}^i = \operatorname{det}(\mathbf{Q})\sum_{k=1}^3\vec{v}_k\times \vec{u}^k = \operatorname{det}(\mathbf{Q})\vec{n} \end{array}

ist die Vektorinvariante tatsächlich ein Eigenvektor und daher parallel zur Drehachse. In der Matrizendarstellung mit den Zeilen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{z}_{1,2,3} und Spalten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{s}_{1,2,3} von Q bezüglich der Standardbasis ê_1,2,3 ergibt sich:

$ \mathbf {Q} =\sum _{i=1}^{3}{\hat {e}}_{i}\otimes {\vec {z}}_{i}=\sum _{i=1}^{3}{\vec {s}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{i}\quad \rightarrow \quad {\vec {n}}=\mathbf {1} \cdot \!\!\times \mathbf {Q} =\sum _{i=1}^{3}{\hat {e}}_{i}\times {\vec {z}}_{i}=\sum _{i=1}^{3}{\vec {s}}_{i}\times {\hat {e}}_{i} $

Aus dem Abschnitt #Drehachse und Winkel gegeben sind die folgenden Beziehungen bekannt. Der Drehwinkel berechnet sich aus der Spur

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{Sp}(\mathbf{Q})= \operatorname{det}(\mathbf{Q})+2\cos (\alpha )

Alternativ kann Drehachse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{n}=n_1 \hat{e}_1+n_2 \hat{e}_2+n_3 \hat{e}_3 und -winkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha aus

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{1}{2}(\mathbf{Q}-\mathbf{Q}^\top ) =\sin (\alpha ) \begin{pmatrix} 0& - n_3& n_2\\ n_3& 0& - n_1\\ - n_2& n_1& 0 \end{pmatrix} \,,\quad \sqrt{n_1^2 + n_2^2 + n_3^2}=1

ermittelt werden.

Das Eigensystem offenbart, dass die beiden konjugiert komplexen Eigenwerte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {e}^{\pm \mathrm{i}\alpha} von Q Exponentialfunktionen des Winkels sind.

Eigensystem

Wenn drei Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{q}_{1,2,3} paarweise zueinander senkrecht sind und die Beträge eins haben, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{q}_1 die Drehachse und $ \alpha $ der Drehwinkel des Tensors Q ist, dann hat dieser die Eigenwerte und -Vektoren

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{lcllcl} \lambda_1 &=& \pm 1, & \vec{v}_1&=& \hat{q}_1 \\ \lambda_2 &=&e^{\mathrm{i}\alpha}, & \vec{v}_2 &=&\frac{1}{\sqrt2}(\hat{q}_2-\mathrm{i}\hat{q}_3). \\ \lambda_3 &=& e^{-\mathrm{i}\alpha}, & \vec{v}_3 &=&\frac{1}{\sqrt2}(\hat{q}_2+\mathrm{i}\hat{q}_3) \end{array}

Die Zahl i ist die imaginäre Einheit und e die Eulersche Zahl. Die Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{q}_{2,3} liegen in der Drehebene, sind in dieser, solange Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{q}_2 \cdot \hat{q}_3 = 0 gewährleistet ist, aber beliebig orientiert. Aus diesem Eigensystem ergibt sich die Darstellung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{lcl} \mathbf{Q} &=& \pm \hat{q}_1\otimes \hat{q}_1 +\cos (\alpha )(\hat{q}_2\otimes \hat{q}_2+\hat{q}_3\otimes \hat{q}_3) +\sin (\alpha )(\hat{q}_3\otimes \hat{q}_2-\hat{q}_2\otimes \hat{q}_3) \\ &=& \begin{pmatrix}\pm 1& 0& 0\\ 0& \cos (\alpha )& -\sin (\alpha )\\ 0& \sin (\alpha )& \cos (\alpha ) \end{pmatrix}_{\hat{q}_i\otimes \hat{q}_j}. \end{array}

Die Händigkeit der Vektorgruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{q}_{1,2,3} entscheidet über die Drehrichtung der Drehung um die Drehachse. Ist die Vektorgruppe rechtshändig, dann misst der Winkel gegen den Uhrzeigersinn andernfalls im Uhrzeigersinn um die Drehachse.

Invarianten

Wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha der Drehwinkel des orthogonalen Tensors Q ist, dann gilt:

$ {\begin{array}{lcl}\operatorname {Sp} (\mathbf {Q} )&=&\operatorname {det} (\mathbf {Q} )+2\cos(\alpha )\\\operatorname {I} _{2}(\mathbf {Q} )&=&\operatorname {det} (\mathbf {Q} )\cdot \operatorname {Sp} (\mathbf {Q} )\\\operatorname {det} (\mathbf {Q} )&=&\pm 1\end{array}} $

denn die zweite Hauptinvariante ist die Spur des Kofaktors

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{cof}(\mathbf{Q}) :=\operatorname{det}(\mathbf{Q})\mathbf{Q}^{\top-1} :=\operatorname{det}(\mathbf{Q})\mathbf{Q}

Mit der obigen Darstellung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{Q}=\sum_{i=1}^3\vec{v}_i\otimes \vec{u}^i

berechnen sich die Hauptinvarianten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{lcl} \operatorname{Sp}(\mathbf{Q}) &=&\displaystyle \sum_{i=1}^3\vec{v}_i\cdot \vec{u}^i \\ \operatorname{I}_2(\mathbf{Q})&=&\displaystyle \left( \sum_{i=1}^3\vec{v}_i\cdot \vec{u}^i\right) \frac{\operatorname{det}\begin{pmatrix}\vec{v}_1 & \vec{v}_2 & \vec{v}_3 \end{pmatrix}} {\operatorname{det}\begin{pmatrix}\vec{u}_1 & \vec{u}_2 & \vec{u}_3 \end{pmatrix}} \\ \operatorname{det}(\mathbf{Q}) &=&\displaystyle \frac{\operatorname{det}\begin{pmatrix} \vec{v}_1& \vec{v}_2& \vec{v}_3 \end{pmatrix}}{\operatorname{det}\begin{pmatrix} \vec{u}_1& \vec{u}_2& \vec{u}_3 \end{pmatrix}}=\pm 1 \end{array}

Die Vektorinvariante ist, wie im Abschnitt #Tensor gegeben, die Drehachse, die mit dem Einheitstensor berechnet wird:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\operatorname{i}}(\mathbf{Q})=\mathbf{1\cdot\!\!\times Q} = \sum_{i=1}^3\vec{v}_i\times\vec{u}^i=\sum_{i=1}^3\vec{v}^i\times\vec{u}_i

Die Frobeniusnorm eines orthogonalen Tensors ist immer gleich der Wurzel der Raumdimension:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \parallel \mathbf{Q}\parallel= \sqrt{\mathbf{Q}: \mathbf{Q}} =\sqrt{(\mathbf{Q}^\top \cdot\mathbf{Q}): \mathbf{1}}=\sqrt{\mathbf{1}: \mathbf{1}}=\sqrt3

Siehe auch

• Drehmatrix, Orthogonale Matrix, Orthogonale Abbildung
• Quaternion
• Spezielle orthogonale Gruppe, Spezielle lineare Gruppe
• Formelsammlung Tensoralgebra

Fußnoten

Literatur

• H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5.