Formelsammlung Tensoralgebra

$ {\sqrt[{n}]{x}} $

Dieser Artikel ist eine Formelsammlung zum Thema Tensoralgebra. Es werden mathematische Symbole verwendet, die im Artikel Liste mathematischer Symbole erläutert werden.

Diese Formelsammlung fasst Formeln und Definitionen der Tensoralgebra für Tensoren zweiter Stufe in der Kontinuumsmechanik zusammen. Es wird der dreidimensionale Raum zugrunde gelegt.

Allgemeines

Notation

• Operatoren wie $ \mathrm {I} _{1} $ werden nicht kursiv geschrieben.
• Buchstaben die als Indizes benutzt werden:
  • $ i,j,k,l,m,n\in \{1,2,3\} $.
    Ausnahme:
    Die imaginäre Einheit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{i}^2 = -1 und die #Vektorinvariante Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\mathrm{i}} werden in Abgrenzung zu den Indizes nicht kursiv geschrieben.
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p,q,r,s\in\{1,2,\ldots ,9\}
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): u,v\in\{1,2,\ldots ,6\}
• Alle anderen Buchstaben stehen für reelle Zahlen oder komplexe Zahlen.
• Vektoren:
  • Alle hier verwendeten Vektoren sind geometrische Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbb{V} .
  • Vektoren werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet.
    Ausnahme #Dualer axialer Vektor $ {\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} }}} $
  • Einheitsvektoren mit Länge eins werden wie in ê mit einem Hut versehen. Die Standardbasis von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbb{V} ist ê_1,2,3.
  • Vektoren mit unbestimmter Länge werden wie in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{a} mit einem Pfeil versehen.
  • Dreiergruppen von Vektoren wie in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{h}_1,\vec{h}_2,\vec{h}_3 oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{g}^{1},\vec{g}^{2},\vec{g}^{3} bezeichnen eine rechtshändige Basis von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbb{V} .
  • Gleichnamige Basisvektoren mit unterem und oberem Index sind dual zueinander, z. B. $ {\vec {g}}_{1},{\vec {g}}_{2},{\vec {g}}_{3} $ ist dual zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{g}^{1},\vec{g}^{2},\vec{g}^{3} .
• Tensoren zweiter Stufe werden wie in A mit fetten Großbuchstaben notiert. Die Menge aller Tensoren wird mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{L}:=\mathrm{Lin}(\mathbb{V},\mathbb{V}) bezeichnet. Tensoren höherer Stufe werden mit einer hochgestellten Zahl wie in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{4}{\mathbf{C}} geschrieben. Tensoren vierter Stufe sind Elemente der Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{4}{\mathcal{L}}:=\mathrm{Lin}(\mathcal{L},\mathcal{L}) .
• Es gilt die Einstein'sche Summenkonvention ohne Beachtung der Indexstellung.
  • Kommt in einer Formel in einem Produkt ein Index doppelt vor wie in $ c=a_{i}b^{i} $ wird über diesen Index summiert:
    Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c=a_i b^i =\sum_{i=1}^3 a_i b^i .
  • Kommen mehrere Indizes doppelt vor wie in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c=A_{pq}B^p_q wird über diese summiert:
    Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c=A_{pq}B^p_q =\sum_{p=1}^9\sum_{q=1}^9 A_{pq}B^p_q .
  • Ein Index, der nur einfach vorkommt wie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): u in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a_u = A_{uv}b_v , ist ein freier Index. Die Formel gilt dann für alle Werte der freien Indizes:
    Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a_u = A_{uv}b_v\quad\leftrightarrow\quad a_u =\sum_{v=1}^6 A_{uv}b_v\quad\forall\; u\in\{1,\ldots ,6\} .

Glossar

Reservierte und besondere Symbole

Formelzeichen	Abschnitt in der Formelsammlung	Wikipedia-Artikel
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{I,1}	#Einheitstensor	Einheitstensor
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{Q,R}	#Orthogonale Tensoren	Orthogonaler Tensor
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda	#Eigenwerte	Eigenwertproblem
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \delta_{ij}	#Kronecker-Delta	Kronecker-Delta
$ \epsilon _{ijk} $	#Permutationssymbol	Permutationssymbol
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{3}{\mathbf{E}}	#Fundamentaltensor 3. Stufe	Epsilon-Tensor
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): [\vec{a}]_\times	#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix	Kreuzprodukt
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}}},\mathbf{A}_\times	#Dualer axialer Vektor	Kreuzprodukt
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\mathrm{i}}	#Vektorinvariante	Vektorinvariante
$ \mathrm {i} $		Imaginäre Einheit

Zeichen für Operatoren

Formelzeichen	Abschnitt in der Formelsammlung	Wikipedia-Artikel
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\cdot)\cdot(\cdot)	Skalarprodukt von Vektoren, #Vektortransformation, #Tensorprodukt	Skalarprodukt
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\cdot)\times(\cdot)	#Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor, #Kreuzprodukt von Tensoren	Kreuzprodukt
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\cdot):(\cdot)	#Skalarprodukt von Tensoren	Frobenius-Skalarprodukt
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\cdot)\otimes(\cdot)	#Dyadisches Produkt	Dyadisches Produkt
$ (\cdot )\cdot \!\!\times (\cdot ) $	#Skalarkreuzprodukt von Tensoren
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\cdot)\times\!\!\times(\cdot)	#Doppeltes Kreuzprodukt von Tensoren
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\cdot)\#(\cdot)	#Äußeres Tensorprodukt	Äußeres Tensorprodukt
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \parallel(\cdot)\parallel	#Betrag	Frobeniusnorm
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |x|, |\vec v|, |\mathbf A|	Betrag der Zahl x oder des Vektors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec v , #Determinante des Tensors A	Determinante

Tensorfunktionen

Formelzeichen	Abschnitt in der Formelsammlung	Wikipedia-Artikel
$ \mathrm {Sp,tr,I} _{1} $	#Spur	Spur (Mathematik), Hauptinvariante
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{I}_2	#Zweite Hauptinvariante	Hauptinvariante
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{det, I}_3, |\mathbf A|	#Determinante	Determinante, Hauptinvariante
sym	#Symmetrischer Anteil	Symmetrische Matrix
skw, skew	#Schiefsymmetrischer Anteil	Schiefsymmetrische Matrix
adj	#Adjunkte	Adjunkte
cof	#Kofaktor	Minor (Mathematik)#Kofaktormatrix
dev	#Deviator	Deviator, Spannungsdeviator
sph	#Kugelanteil	Kugeltensor

Indizes

Formelzeichen	Abschnitt in der Formelsammlung	Wikipedia-Artikel
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\cdot)_{ij},(\cdot)^{ij},(\cdot)^i_j	#Tensorkomponenten
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\cdot)^\top	#Transposition	Transponierte Matrix
$ (\cdot )^{\stackrel {mn}{\top }} $	Transpositionen von Tensoren vierter Stufe
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\cdot)^{-1}	#Inverse	Inverse Matrix
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\cdot)^{-\top},(\cdot)^{\top -1}	#Transposition der #Inverse
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\cdot)^\mathrm{S}	#Symmetrischer Anteil	Symmetrische Matrix
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\cdot)^\mathrm{A}	#Schiefsymmetrischer Anteil	Schiefsymmetrische Matrix
$ (\cdot )^{\mathrm {D} } $	#Deviator	Deviator, Spannungsdeviator
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\cdot)^\mathrm{K}	#Kugelanteil	Kugeltensor
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{n}{(\cdot)}	Tensor n-ter Stufe
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}}},\mathbf{A}_\times	#Dualer axialer Vektor	Kreuzprodukt

Mengen

Formelzeichen	Elemente
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \R	Reelle Zahlen
$ \mathbb {C} $	Komplexe Zahlen
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbb{V}	Vektoren
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{L}=\mathrm{Lin}(\mathbb{V, V})	Tensoren zweiter Stufe
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{4}{\mathcal{L}}=\mathrm{Lin}(\mathcal{L, L})	#Tensoren vierter Stufe

Kronecker-Delta

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \delta_{ij} =\delta^{ij} =\delta_i^j =\delta_j^i =\begin{cases} 1&\mathrm{falls}\quad i =j \\ 0&\mathrm{sonst} \end{cases}

Für Summen gilt dann z. B.

$ v_{i}\delta _{ij}=v_{j} $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A_{ij}\delta_{ij}= A_{ii}

Dies gilt für die anderen Indexgruppen entsprechend.

Permutationssymbol

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \epsilon_{ijk} =\hat{e}_i\cdot(\hat{e}_j\times\hat{e}_k) =\begin{cases} 1 &\text{falls}\;(i,j,k)\in\{(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)\} \\ -1 &\text{falls}\;(i,j,k)\in\{(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)\} \\ 0 &\text{sonst, d.h. bei doppeltem Index} \end{cases}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \epsilon_{ijk}\epsilon_{lmn}=\begin{vmatrix} \delta_{il}&\delta_{jl}&\delta_{kl} \\ \delta_{im}&\delta_{jm}&\delta_{km} \\ \delta_{in}&\delta_{jn}&\delta_{kn} \end{vmatrix}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}

$ \epsilon _{ijk}\epsilon _{jkl}=2\delta _{il} $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk}=6

Kreuzprodukt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a_i\hat{e}_i\times b_j\hat{e}_j =\epsilon_{ijk}a_i b_j\hat{e}_k =\epsilon_{ijk}a_j b_k\hat{e}_i =\epsilon_{ijk}a_k b_i\hat{e}_j

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \epsilon_{ijk}\hat{e}_k=\hat{e}_i\times\hat{e}_j

Spaltenvektoren und Matrizen

Die hier verwendeten Vektoren sind Spaltenvektoren

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{a}= a_i\hat{e}_i =\begin{pmatrix}a_1\\ a_2\\ a_3\end{pmatrix}

Drei Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{a},\vec{b},\vec{c} können spaltenweise in einer 3×3-Matrix $ M $ arrangiert werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): M =\begin{pmatrix}\vec{a}&\vec{b}&\vec{c}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix}

Die Determinante der Matrix

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |M| =\begin{vmatrix}\vec{a}&\vec{b}&\vec{c}\end{vmatrix}

ist

• ungleich null, wenn die Spaltenvektoren linear unabhängig sind und
• größer null, wenn die Spaltenvektoren zusätzlich ein Rechtssystem bilden.

Also gewährleistet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{vmatrix}\vec{a}&\vec{b}&\vec{c}\end{vmatrix}> 0 , dass die Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{a},\vec{b},\vec{c} eine rechtshändige Basis bilden.

Die Spaltenvektoren bilden eine Orthonormalbasis, wenn

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): M^\top M =\begin{pmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{pmatrix}

worin $ M^{\top } $ die transponierte Matrix ist. Bei der hier vorausgesetzten Rechtshändigkeit gilt dann zusätzlich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |M|=+1 .

Vektoralgebra

Basis und Duale Basis

Basisvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{g}_1,\vec{g}_2,\vec{g}_3

Duale Basisvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{g}^{1},\vec{g}^{2},\vec{g}^{3}

Beziehungen zwischen den Basisvektoren

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{g}_i\cdot\vec{g}^j =\delta_i^j

$ {\vec {g}}^{1}={\frac {{\vec {g}}_{2}\times {\vec {g}}_{3}}{({\vec {g}}_{1},{\vec {g}}_{2},{\vec {g}}_{3})}},\quad g^{2}={\frac {{\vec {g}}_{3}\times {\vec {g}}_{1}}{({\vec {g}}_{1},{\vec {g}}_{2},{\vec {g}}_{3})}},\quad g^{3}={\frac {{\vec {g}}_{1}\times {\vec {g}}_{2}}{({\vec {g}}_{1},{\vec {g}}_{2},{\vec {g}}_{3})}} $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{g}_1 =\frac{\vec{g}^{2}\times\vec{g}^{3}}{(\vec{g}^{1},\vec{g}^{2},\vec{g}^{3})}, \quad g_2 =\frac{\vec{g}^{3}\times\vec{g}^{1}}{(\vec{g}^{1},\vec{g}^{2},\vec{g}^{3})}, \quad g_3 =\frac{\vec{g}^{1}\times\vec{g}^{2}}{(\vec{g}^{1},\vec{g}^{2},\vec{g}^{3})}

mit dem Spatprodukt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\vec{a},\vec{b},\vec{c}): =\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) =\vec{c}\cdot(\vec{a}\times\vec{b}) =\vec{b}\cdot(\vec{c}\times\vec{a}) =\begin{vmatrix}\vec{a}&\vec{b}&\vec{c}\end{vmatrix}

Trägt man die Basisvektoren spaltenweise in eine Matrix ein, dann finden sich die dualen Basisvektoren in den Zeilen der Inversen oder den Spalten der #transponiert #Inversen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): ()^{\top -1} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{pmatrix} \vec{g}^{1}&\vec{g}^{2}&\vec{g}^{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \vec{g}_1 &\vec{g}_2 &\vec{g}_3\end{pmatrix}^{\top -1}

In der Standardbasis wie in jeder Orthonormalbasis sind die Basisvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{e}_1,\hat{e}_2,\hat{e}_3 zu sich selbst dual:

$ {\hat {e}}_{i}={\hat {e}}^{i} $

Berechnung von Vektorkomponenten

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v}= v_i\hat{e}_i \quad\rightarrow\; v_i =\vec{v}\cdot\hat{e}_i

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v}= v^i\vec{g}_i \quad\rightarrow\; v^i =\vec{v}\cdot\vec{g}^i

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v}= v_i\vec{g}^i \quad\rightarrow\; v_i =\vec{v}\cdot\vec{g}_i

Beziehung zwischen den Skalarprodukten der Basisvektoren

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\vec{g}_i\cdot\vec{g}_k)(\vec{g}^k\cdot\vec{g}^j) =\vec{g}_i\cdot(\vec{g}^j\cdot\vec{g}^k)\vec{g}_k =\vec{g}_i\cdot\vec{g}^j =\delta_i^j

Wechsel der Basis bei Vektoren

Wechsel von

Basis $ {\vec {g}}^{1},{\vec {g}}^{2},{\vec {g}}^{3} $ mit dualer Basis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{g}_1,\vec{g}_2,\vec{g}_3

nach

Basis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{h}^{1},\vec{h}^{2},\vec{h}^{3} mit dualer Basis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{h}_1,\vec{h}_2,\vec{h}_3 :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v} = v_i\,\vec{g}^i = v_i^\ast\,\vec{h}^i\quad\rightarrow\; v_i^\ast =(\vec{h}_i\cdot\vec{g}^j)v_j

Matrizengleichung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \begin{pmatrix}v_1^\ast\\ v_2^\ast\\ v_3^\ast\end{pmatrix} =& \begin{pmatrix} \vec{h}_1\cdot\vec{g}^{1}&\vec{h}_1\cdot\vec{g}^{2}&\vec{h}_1\cdot\vec{g}^{3} \\ \vec{h}_2\cdot\vec{g}^{1}&\vec{h}_2\cdot\vec{g}^{2}&\vec{h}_2\cdot\vec{g}^{3} \\ \vec{h}_3\cdot\vec{g}^{1}&\vec{h}_3\cdot\vec{g}^{2}&\vec{h}_3\cdot\vec{g}^{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix} \\=& \begin{pmatrix}\vec{h}_1&\vec{h}_2&\vec{h}_3\end{pmatrix}^\top \begin{pmatrix}\vec{g}^1&\vec{g}^2&\vec{g}^3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix} \end{align}

Dyadisches Produkt

Die grundlegenden Eigenschaften des dyadischen Produkts „⊗“ sind:

Abbildung $ \mathbb {V} \times \mathbb {V} \to {\mathcal {L}} $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec a\otimes\vec g=\mathbf{T}\in\mathcal{L}

Multiplikation mit einem Skalar:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x(\vec a\otimes\vec g)=(x\vec a)\otimes\vec g =\vec a\otimes(x\vec g)=x\vec a\otimes\vec g

Distributivität:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (x+y)\vec a\otimes\vec g =x\vec a\otimes\vec g+y\vec a\otimes\vec g

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\vec a+\vec b)\otimes\vec g =\vec a\otimes\vec g+\vec b\otimes\vec g

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec a\otimes(\vec g+\vec h) =\vec a\otimes\vec g+\vec a\otimes\vec h

Skalarprodukt:

$ ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}}):({\vec {b}}\otimes {\vec {h}})=({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})({\vec {g}}\cdot {\vec {h}}) $

Weitere Eigenschaften von Dyaden siehe #Dyade und den folgenden Abschnitt.

Tensoren als Elemente eines Vektorraumes

Durch die Eigenschaften des dyadischen Produktes wird Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{L} zu einem euklidischen Vektorraum und entsprechend kann jeder Tensor komponentenweise bezüglich einer Basis von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{L} dargestellt werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}\in\mathcal{L}\rightarrow \mathbf{A}=A_{ij}\hat e_i\otimes\hat e_j =A^{ij}\vec a_i\otimes\vec g_j mit Komponenten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A_{ij},A^{ij}\in\R .

Die Dyaden Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \{\hat e_i\otimes\hat e_j| i,j=1,2,3\} und $ \{{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j}|i,j=1,2,3\} $ bilden Basissysteme von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{L} .

Operatoren

Transposition

Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{L}\to\mathcal{L}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\vec{a}\otimes\vec{g})^\top:=\vec{g}\otimes\vec{a}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j)^\top = A_{ij}(\hat{e}_j\otimes\hat{e}_i) = A_{ji}(\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j)

$ (A^{ij}{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j})^{\top }=A^{ij}({\vec {g}}_{j}\otimes {\vec {a}}_{i})=A^{ji}({\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {a}}_{j}) $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left(\mathbf{A}^\top\right)^\top = \mathbf A

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\mathbf{A+B})^\top = \mathbf{A}^\top +\mathbf{B}^\top

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\mathbf{A\cdot B})^\top =\mathbf{B}^\top\cdot\mathbf{A}^\top

Vektortransformation

Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{L}\times\mathbb{V}\to\mathbb{V} oder $ \mathbb {V} \times {\mathcal {L}}\to \mathbb {V} $

Dyaden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\vec{a}\otimes\vec{g})\cdot\vec{h} := (\vec{g}\cdot\vec{h})\vec{a}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{b}\cdot(\vec{a}\otimes\vec{g}) := (\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{g}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\vec{a}\otimes\vec{g})\cdot\vec{h} = \vec{h}\cdot(\vec{a}\otimes\vec{g})^\top

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{b}\cdot(\vec{a}\otimes\vec{g}) = (\vec{a}\otimes\vec{g})^\top\cdot\vec{b}

Allgemeine Tensoren:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A_{ij}(\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j)\cdot\vec{v} = A_{ij}(\vec{v}\cdot\hat{e}_j)\hat{e}_i

$ A^{ij}({\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j})\cdot {\vec {v}}=A^{ij}({\vec {v}}\cdot {\vec {g}}_{j}){\vec {a}}_{i} $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v}\cdot A_{ij}(\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j) = A_{ij}(\vec{v}\cdot\hat{e}_i)\hat{e}_j

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v}\cdot A^{ij}(\vec{a}_i\otimes\vec{g}_j) = A^{ij}(\vec{v}\cdot\hat{a}_i)\vec{g}_j

Symbolisch:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\mathbf{A}^\top

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v}\cdot\mathbf{A}=\mathbf{A}^\top\cdot\vec{v}

Tensorprodukt

Abbildung $ {\mathcal {L}}\times {\mathcal {L}}\to {\mathcal {L}} $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\vec{a}\otimes\vec{g})\cdot(\vec{h}\otimes\vec{u}) :=(\vec{g}\cdot\vec{h})\vec{a}\otimes\vec{u}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\vec{a}\otimes\vec{g})\cdot\mathbf{A} =\vec{a}\otimes(\vec{g}\cdot\mathbf{A}) =\vec{a}\otimes\vec{g}\cdot\mathbf{A} =\vec{a}\otimes(\mathbf{A}^\top\cdot\vec{g})

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}\cdot(\vec{a}\otimes\vec{g}) =(\mathbf{A}\cdot\vec{a})\otimes\vec{g} =\mathbf{A}\cdot\vec{a}\otimes\vec{g}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (A_{ik}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_k)\cdot (B_{lj}\hat{e}_l\otimes\hat{e}_j) = A_{ik}B_{kj}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j

$ \left(A^{ij}{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j}\right)\cdot \left(B^{kl}{\vec {h}}_{k}\otimes {\vec {u}}_{l}\right)=A^{ij}({\vec {g}}_{j}\cdot {\vec {h}}_{k})B^{kl}{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{l} $

Skalarprodukt von Tensoren

Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{L}\times\mathcal{L}\to\R

Definition über die #Spur:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\vec{a}\otimes\vec{g}):(\vec{b}\otimes\vec{h}) :=\mathrm{Sp}((\vec{a}\otimes\vec{g})^\top\cdot (\vec{b}\otimes\vec{h})) =(\vec{a}\cdot\vec{b})(\vec{g}\cdot\vec{h})

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}:\mathbf{B} :=\mathrm{Sp}(\mathbf{A}^\top\cdot\mathbf{B})

Eigenschaften:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}:\mathbf{B} =\mathbf{B}:\mathbf{A} =\mathbf{A}^\top :\mathbf{B}^\top =\mathbf{B}^\top :\mathbf{A}^\top

$ \mathbf {A} ^{\top }:\mathbf {B} =\mathbf {A} :\mathbf {B} ^{\top } $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}:(\mathbf{B\cdot C}) =(\mathbf{B}^\top\cdot\mathbf{A}):\mathbf{C} =(\mathbf{A\cdot C}^\top):\mathbf{B}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\mathbf{A\cdot B}):\mathbf{C} =\mathbf{B}:(\mathbf{A}^\top\cdot\mathbf{C}) =\mathbf{A}:(\mathbf{C\cdot B}^\top)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\vec u\otimes\vec v):\mathbf A=\vec{u}\cdot\mathbf{A}\cdot\vec{v}

Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor

Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbb{V}\times\mathcal{L}\to\mathcal{L} oder $ {\mathcal {L}}\times \mathbb {V} \to {\mathcal {L}} $

Dyaden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{a}\times(\vec{b}\otimes\vec{g}) =(\vec{a}\times\vec{b})\otimes\vec{g} =\vec{a}\times\vec{b}\otimes\vec{g}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\vec{a}\otimes\vec{g})\times\vec{h} =\vec{a}\otimes(\vec{g}\times\vec{h}) =\vec{a}\otimes\vec{g}\times\vec{h}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{a}\times\vec{b}\otimes\vec{g} =-[(\vec{b}\otimes\vec{g})^\top\times\vec{a}]^\top

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{a}\otimes\vec{g}\times\vec{h} =-[\vec{h}\times(\vec{a}\otimes\vec{g})^\top]^\top

$ a_{j}{\hat {e}}_{j}\times (A_{kl}{\hat {e}}_{k}\otimes {\hat {e}}_{l})=a_{j}A_{kl}({\hat {e}}_{j}\times {\hat {e}}_{k})\otimes {\hat {e}}_{l}=\epsilon _{ijk}a_{j}A_{kl}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{l} $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j)\times a_k\hat{e}_k = A_{ij}a_k\hat{e}_i\otimes(\hat{e}_j\times\hat{e}_k) =\epsilon_{jkl}A_{ij}a_k\hat{e}_i\otimes\hat{e}_l

Allgemeine Tensoren:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\vec{a}\times\mathbf{A})\cdot\vec{g} :=\vec{a}\times(\mathbf{A}\cdot\vec{g}) =\vec{a}\times(\vec{g}\cdot\mathbf{A}^\top)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{b}\cdot(\vec{a}\times\mathbf{A}) :=(\vec{b}\times\vec{a})\cdot\mathbf{A}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{g}\cdot(\mathbf{A}\times\vec{a}) :=(\vec{g}\cdot\mathbf{A})\times\vec{a} =(\mathbf{A}^\top\cdot\vec{g})\times\vec{a}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\mathbf{A}\times\vec{a})\cdot\vec{b} =\mathbf{A}\cdot(\vec{a}\times\vec b)

$ {\vec {a}}\times \mathbf {A} =-\left(\mathbf {A} ^{\top }\times {\vec {a}}\right)^{\top } $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}\times\vec{a} =-\left(\vec{a}\times\mathbf{A}^\top\right)^\top

Symmetrische Tensoren: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{a}\times\mathbf{A}^\mathrm{S} =-\left(\mathbf{A}^\mathrm{S}\times\vec{a}\right)^\top

Insbesondere Kugeltensoren: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{a}\times\mathbf{A}^\mathrm{K} =\mathbf{A}^\mathrm{K}\times\vec{a} =-(\vec{a}\times\mathbf{A}^\mathrm{K})^\top

Schiefsymmetrische Tensoren: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{a}\times\mathbf{A}^\mathrm{A} =\left(\mathbf{A}^\mathrm{A}\times\vec{a}\right)^\top

#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix mit dem #Einheitstensor:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\vec{a}\times\mathbf{1})\cdot\vec{g} =\vec{a}\cdot(\vec{g}\times\mathbf{1}) =\vec{a}\cdot(\mathbf{1}\times\vec{g}) =\vec{a}\times\vec{g}

Mehrfach:

$ ({\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times \mathbf {A} ))\cdot {\vec {g}}={\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times (\mathbf {A} \cdot {\vec {g}}))=({\vec {a}}\cdot \mathbf {A} \cdot {\vec {g}}){\vec {b}}-({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})\mathbf {A} \cdot {\vec {g}} $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec a\times(\vec b\times\mathbf{A})= \vec b\otimes\vec a\cdot\mathbf{A}-(\vec a\cdot\vec b)\mathbf{A}

Meistens ist aber:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\mathbf{A}\cdot\vec{a})\times\vec{g} \ne\mathbf{A}\cdot(\vec{a}\times\vec{g}) =(\mathbf{A}\times\vec{a})\cdot\vec{g}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{a}\times(\vec{g}\cdot\mathbf{A}) \ne(\vec{a}\times\vec{g})\cdot\mathbf{A} =\vec{a}\cdot(\vec{g}\times\mathbf{A})

Kreuzprodukt von Tensoren

Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{L}\times\mathcal{L}\to\mathbb{V}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A\times B} =\stackrel{3}{\mathbf{E}}:(\mathbf{A\cdot B}^\top) =-\stackrel{3}{\mathbf{E}}:(\mathbf{B\cdot A}^\top) =-\mathbf{B\times A}\in\mathbb{V}

mit #Fundamentaltensor 3. Stufe $ {\stackrel {3}{\mathbf {E} }} $.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\vec a\otimes\vec g)\times(\vec b\otimes\vec h) =(\vec g\cdot\vec h)\vec a\times\vec b

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} &A_{ik}(\hat{e}_i\otimes\hat{e}_k)\times [B_{jl}(\hat{e}_j\otimes\hat{e}_l)] = A_{ik}B_{jk}(\hat{e}_i\times\hat{e}_j)=\ldots \\&\ldots= \begin{pmatrix} A_{21}B_{31}-A_{31}B_{21}+A_{22}B_{32}-A_{32}B_{22}+A_{23}B_{33}-A_{33}B_{23} \\ A_{31}B_{11}-A_{11}B_{31}+A_{32}B_{12}-A_{12}B_{32}+A_{33}B_{13}-A_{13}B_{33} \\ A_{11}B_{21}-A_{21}B_{11}+A_{12}B_{22}-A_{22}B_{12}+A_{13}B_{23}-A_{23}B_{13} \end{pmatrix} \end{align}

Zusammenhang mit #Dualer axialer Vektor und #Vektorinvariante:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A\times B} =-2\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A\cdot B}^\top}} =\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A\cdot B}^\top)

Mit #Einheitstensor:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{1\times A} =2\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}}} =-\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A})

Mehrfachprodukte:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\mathbf{A\cdot B})\times\mathbf C =\mathbf{A}\times(\mathbf{C\cdot B}^\top)

$ \mathbf {A} \times (\mathbf {B\cdot C} )=(\mathbf {A\cdot C} ^{\top })\times \mathbf {B} $

Zusammenhang mit dem #Skalarkreuzprodukt von Tensoren:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A\times B}=\mathbf{A}\cdot\!\!\times(\mathbf{B}^\top)

Skalarkreuzprodukt von Tensoren

Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{L}\times\mathcal{L}\to\mathbb{V}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\vec{a}\otimes\vec{g})\cdot\!\!\times(\vec{h}\otimes\vec{u}) = -(\vec{u}\otimes\vec{h})\cdot\!\!\times(\vec{g}\otimes\vec{a}) :=(\vec{g}\cdot\vec{h})\vec{a}\times\vec{u}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} &A_{ik}(\hat{e}_i\otimes\hat{e}_k)\cdot\!\!\times [B_{lj}(\hat{e}_l\otimes\hat{e}_j)] = A_{ik}B_{kj}(\hat{e}_i\times\hat{e}_j)=\ldots \\&\ldots= \begin{pmatrix} A_{21}B_{13}-A_{31}B_{12}+A_{22}B_{23}-A_{32}B_{22}+A_{23}B_{33}-A_{33}B_{32} \\ A_{31}B_{11}-A_{11}B_{13}+A_{32}B_{21}-A_{12}B_{23}+A_{33}B_{31}-A_{13}B_{33} \\ A_{11}B_{12}-A_{21}B_{11}+A_{12}B_{22}-A_{22}B_{21}+A_{13}B_{32}-A_{23}B_{31} \end{pmatrix} \end{align}

Das Skalarkreuzprodukt mit dem #Einheitstensor vertauscht das dyadische Produkt durch das Kreuzprodukt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{1}\cdot\!\!\times(\vec{a}\otimes\vec{b}) =\vec{a}\times\vec{b}

Allgemein:

$ \mathbf {A} \cdot \!\!\times \mathbf {B} =-(\mathbf {B} ^{\top })\cdot \!\!\times (\mathbf {A} ^{\top }) $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}\cdot\!\!\times(\mathbf{B\cdot C}) =(\mathbf{A\cdot B})\cdot\!\!\times\mathbf{C}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\mathbf{A\cdot B})\cdot\!\!\times\mathbf{C} =\mathbf{A}\cdot\!\!\times(\mathbf{B\cdot C})

Zusammenhang mit dem #Kreuzprodukt von Tensoren:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{S}\cdot\!\!\times\mathbf{T}=\mathbf{S\times(T^\top)}

Zusammenhang mit #Vektorinvariante und #Dualer axialer Vektor:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}\cdot\!\!\times\mathbf{B} =\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}) =-2\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}}}

Doppeltes Kreuzprodukt von Tensoren

Siehe auch #Äußeres Tensorprodukt #

Abbildung $ {\mathcal {L}}\times {\mathcal {L}}\to {\mathcal {L}} $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\vec{a}\otimes\vec{g})\times\!\!\times(\vec{h}\otimes\vec{b}) :=(\vec{g}\times\vec{h})\otimes(\vec{a}\times\vec{b}) =(\vec{g}\otimes\vec{a})\#(\vec{h}\otimes\vec{b})

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A_{ij}(\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j)\times\!\!\times [B_{kl}(\hat{e}_k\otimes\hat{e}_l)] := A_{ij}B_{kl}(\hat{e}_j\times\hat{e}_k)\otimes(\hat{e}_i\times\hat{e}_l)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}\times\!\!\times\mathbf{B}=\mathbf{A}^\top\#\mathbf{B}

Äußeres Tensorprodukt

Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{L}\times\mathcal{L}\to\mathcal{L}

$ ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})\#({\vec {b}}\otimes {\vec {h}}):=({\vec {a}}\times {\vec {b}})\otimes ({\vec {g}}\times {\vec {h}})=({\vec {g}}\otimes {\vec {a}})\times \!\!\times ({\vec {b}}\otimes {\vec {h}}) $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} &(A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j)\# (B_{kl}\hat{e}_k\otimes\hat{e}_l) = A_{ij}B_{kl}(\hat{e}_i\times\hat{e}_k)\otimes(\hat{e}_j\times\hat{e}_l) \\& \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\;\;\;= \epsilon_{ikm}\epsilon_{jln}A_{ij}B_{kl}\hat{e}_m\otimes\hat{e}_n \end{align}

Mit der Formel für das Produkt zweier #Permutationssymbole:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathbf{A}\#\mathbf{B} =& [\mathrm{Sp}(\mathbf{A})\mathrm{Sp}(\mathbf{B})-\mathrm{Sp}(\mathbf{A\cdot B})]\mathbf{1} \\& + [\mathbf{A\cdot B}+\mathbf{B\cdot A} -\mathrm{Sp}(\mathbf{A})\mathbf{B}-\mathrm{Sp}(\mathbf{B})\mathbf{A}]^\top \end{align}

Grundlegende Eigenschaften:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}\#\mathbf{B}=\mathbf{B}\#\mathbf{A} =(\mathbf{A}^\top\#\mathbf{B}^\top)^\top

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\mathbf{A+B})\#\mathbf{C}=\mathbf{A}\#\mathbf{C}+\mathbf{B}\#\mathbf{C}

$ \mathbf {A} \#(\mathbf {B+C} )=\mathbf {A} \#\mathbf {B} +\mathbf {A} \#\mathbf {C} $

Kreuzprodukt und #Kofaktor:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\mathbf{A}\#\mathbf{B})\cdot(\vec{u}\times\vec{v}) = (\mathbf{A}\cdot\vec{u})\times(\mathbf{B}\cdot\vec{v}) -(\mathbf{A}\cdot\vec{v})\times(\mathbf{B}\cdot\vec{u})

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{1}{2}(\mathbf{A}\#\mathbf{A})\cdot(\vec{u}\times\vec{v}) =\mathrm{cof}(\mathbf A)\cdot(\vec{u}\times\vec{v}) =(\mathbf{A}\cdot\vec{u})\times(\mathbf{A}\cdot\vec{v})

#Hauptinvarianten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{1}{2}(\mathbf{A\#1}):\mathbf{1}=\mathrm{Sp}(\mathbf{A})

$ {\frac {1}{2}}(\mathbf {A\#A} ):\mathbf {1} =\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} ) $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{1}{6}(\mathbf{A\# A}):\mathbf{A}=\det(\mathbf{A})

Weitere Eigenschaften:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{1}\#\mathbf{1}= 2\,\mathbf{1}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}\#\mathbf{1}= \mathrm{Sp}(\mathbf{A})\mathbf{1}-\mathbf{A}^\top

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\mathbf{A}\#\mathbf{B}):\mathbf{C} = (\mathbf{B}\#\mathbf{C}):\mathbf{A} = (\mathbf{C}\#\mathbf{A}):\mathbf{B}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{Sp}(\mathbf{A}\#\mathbf{B})= \mathrm{Sp}(\mathbf{A})\mathrm{Sp}(\mathbf{B}) -\mathrm{Sp}(\mathbf{A\cdot B})

$ (\mathbf {A} \#\mathbf {B} )\cdot (\mathbf {C} \#\mathbf {D} )=(\mathbf {A\cdot C} )\#(\mathbf {B\cdot D} )+(\mathbf {A\cdot D} )\#(\mathbf {B\cdot C} ) $

Aber meistens:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\mathbf{A}\#\mathbf{B})\#\mathbf{C}\ne\mathbf{A}\#(\mathbf{B}\#\mathbf{C})

.

Produkte von Tensoren, Dyaden und Vektoren

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}\cdot(\vec{a}\otimes\vec{g}) =(\mathbf{A}\cdot\vec{a})\otimes\vec{g}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{a}\otimes(\mathbf{A}\cdot\vec{g}) =(\vec{a}\otimes\vec{g})\cdot\mathbf{A}^\top

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{a}\cdot\mathbf{A}\cdot\vec{g} =\mathbf{A}:(\vec{a}\otimes\vec{g})

Spatprodukt und #Determinante eines Tensors:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\mathbf{A}\cdot\vec{a})\cdot [(\mathbf{A}\cdot\vec{b})\times(\mathbf{A}\cdot\vec{c})] =\mathrm{det}(\mathbf{A})\;\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})

Kreuzprodukt und #Kofaktor:

$ (\mathbf {A} \cdot {\vec {a}})\times (\mathbf {A} \cdot {\vec {b}})=\mathrm {cof} (\mathbf {A} )\cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}}) $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}^\top\cdot [(\mathbf{A}\cdot\vec{a})\times(\mathbf{A}\cdot\vec{b})] =\mathrm{det}(\mathbf{A})\;\vec{a}\times\vec{b}

#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix, #Kreuzprodukt von Tensoren, #Skalarkreuzprodukt von Tensoren, #Dualer axialer Vektor und #Vektorinvariante:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\vec{u}\times\mathbf{1})\cdot\vec{v} =(\vec u\otimes\vec v)\times\mathbf1 =(\vec u\otimes\vec v)\cdot\!\!\times\mathbf1 =\stackrel{A}{\overrightarrow{(\vec{u}\times\vec{v})\times\mathbf1}} =\vec{\mathrm i}(\vec{u}\otimes\vec{v}) =\vec{u}\times\vec{v}

Tensorkomponenten

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A} = A_{ij}\,\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j =\begin{pmatrix} A_{11}& A_{12}& A_{13}\\ A_{21}& A_{22}& A_{23}\\ A_{31}& A_{32}& A_{33} \end{pmatrix} \quad\rightarrow\; A_{ij}=\hat{e}_i\cdot\mathbf{A}\cdot\hat{e}_j

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A} = A^{ij}\,\vec{a}_i\otimes\vec{g}_j \quad\rightarrow\; A^{ij}=\vec{a}^i\cdot\mathbf{A}\cdot\vec{g}^j =(\vec{a}^i\otimes\vec{g}^j):\mathbf{A}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A} = A_{ij}\,\vec{a}^i\otimes\vec{g}^j \quad\rightarrow\; A_{ij}=\vec{a}_i\cdot\mathbf{A}\cdot\vec{g}_j

$ \mathbf {A} =A_{j}^{i}\,{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {g}}^{j}\quad \rightarrow \;A_{j}^{i}={\vec {a}}^{i}\cdot \mathbf {A} \cdot {\vec {g}}_{j} $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A} = A_i^j\,\vec{a}^i\otimes\vec{g}_j \quad\rightarrow\; A_i^j =\vec{a}_i\cdot\mathbf{A}\cdot\vec{g}^j

Wechsel der Basis

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A} = A_{ij}\vec{a}^i\otimes\vec{a}^j = A_{ij}^\ast\vec{b}^i\otimes\vec{b}^j

Die Komponenten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A_{ij}^\ast ergeben sich durch Vor- und Nachmultiplikation mit dem #Einheitstensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{1}=\vec{b}^i\otimes\vec{b}_i :

$ {\begin{aligned}\mathbf {A} =\mathbf {1\cdot A\cdot 1} ^{\top }=&({\vec {b}}^{i}\otimes {\vec {b}}_{i})\cdot (A_{kl}{\vec {a}}^{k}\otimes {\vec {a}}^{l})\cdot ({\vec {b}}_{j}\otimes {\vec {b}}^{j})\\=&({\vec {b}}_{i}\cdot {\vec {a}}^{k})A_{kl}({\vec {a}}^{l}\cdot {\vec {b}}_{j}){\vec {b}}^{i}\otimes {\vec {b}}^{j}=:A_{ij}^{\ast }{\vec {b}}^{i}\otimes {\vec {b}}^{j}\\\rightarrow A_{ij}^{\ast }=&({\vec {b}}_{i}\cdot {\vec {a}}^{k})A_{kl}({\vec {a}}^{l}\cdot {\vec {b}}_{j})\end{aligned}} $

Allgemein:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A} = A_{ij}\vec{a}^i\otimes\vec{g}^j = A_{ij}^\ast\vec{b}^i\otimes\vec{h}^j

Basiswechsel mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf1 =(\vec{b}_i\cdot\vec{a}^k)\vec{b}^i\otimes\vec{a}_k =(\vec{h}_j\cdot\vec{g}^l)\vec{h}^j\otimes\vec{g}_l :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathbf{A}=\mathbf{1\cdot A\cdot 1}^\top =& (\vec{b}_i\cdot\vec{a}^k)(\vec{b}^i\otimes\vec{a}_k)\cdot A_{mn}(\vec{a}^m\otimes\vec{g}^n)\cdot (\vec{h}_j\cdot\vec{g}^l)(\vec{g}_l\otimes\vec{h}^j) \\=& (\vec{b}_i\cdot\vec{a}^k)A_{kl}(\vec{h}_j\cdot\vec{g}^l) (\vec{b}^i\otimes\vec{h}^j) = A_{ij}^\ast\vec{b}^i\otimes\vec{h}^j \\ \rightarrow A_{ij}^\ast =& (\vec{b}_i\cdot\vec{a}^k)A_{kl}(\vec{g}^l\cdot\vec{h}_j) \end{align}

Bilinearform und Identität von Tensoren

Definition für einen Tensor A:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \langle\vec{u},\vec{v}\rangle :=\vec{u}\cdot\mathbf{A}\cdot\vec{v} =\mathbf A:(\vec u\otimes\vec v)

Zwei Tensoren A und B sind identisch, wenn

$ {\vec {u}}\cdot \mathbf {A} \cdot {\vec {v}}={\vec {u}}\cdot \mathbf {B} \cdot {\vec {v}}\quad \forall \;{\vec {u}},{\vec {v}}\in \mathbb {V} $

Kofaktor

Definition

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{cof}(\mathbf{A}) :=\mathbf{A^\top\cdot A^\top}-\mathrm{I}_1(\mathbf{A})\mathbf{A}^\top +\mathrm{I}_2(\mathbf{A})\mathbf{1}

#Invarianten:

Wenn λ_1,2,3 die #Eigenwerte des Tensors A sind, dann hat cof(A) die Eigenwerte λ₁λ₂, λ₂λ₃, λ₃λ₁.

#Hauptinvarianten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{I}_1(\mathrm{cof}(\mathbf{A})) =\mathrm{I}_2(\mathbf{A})

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{I}_2(\mathrm{cof}(\mathbf{A})) =\mathrm{I}_1(\mathbf{A})\mathrm{det}(\mathbf{A})

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{det}(\mathrm{cof}(\mathbf{A})) =\mathrm{det}^2(\mathbf{A})

#Betrag:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \|\mathrm{cof}(\mathbf{A})\| =\sqrt{\mathrm{I}_2(\mathbf{A^\top\cdot A})} =\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{\|\mathbf{A}\|^4-\|\mathbf{A^\top\cdot A}\|^2}

Weitere Eigenschaften:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{cof}(x\mathbf{A})=x^2\mathrm{cof}(\mathbf{A})

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{det}(\mathbf{A})\ne 0 \quad\rightarrow\quad \mathrm{cof}(\mathbf{A})=\det(\mathbf{A})\mathbf{A}^{\top-1}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}^\top\cdot\mathrm{cof}(\mathbf{A}) =\mathrm{cof}(\mathbf{A})\cdot\mathbf{A}^\top =\mathrm{det}(\mathbf{A})\mathbf{1}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{cof}(\mathbf{A\cdot B}) =\mathrm{cof}(\mathbf{A})\cdot\mathrm{cof}(\mathbf{B})

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{cof}(\mathbf{A}^\top)=\mathrm{cof}(\mathbf{A})^\top

$ \mathrm {cof} \left(\mathrm {cof} (\mathbf {A} )\right)=\mathrm {det} (\mathbf {A} )\mathbf {A} $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} &\mathrm{cof}(A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j) =\frac12(A_{kl}A_{mn}\epsilon_{kmi}\epsilon_{lnj})(\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j) =\ldots \\ &\ldots=\begin{pmatrix} A_{22}A_{33}-A_{23}A_{32}& A_{23}A_{31}-A_{21}A_{33}& A_{21}A_{32}-A_{22}A_{31} \\ A_{32}A_{13}-A_{33}A_{12}& A_{33}A_{11}-A_{31}A_{13}& A_{31}A_{12}-A_{32}A_{11} \\ A_{12}A_{23}-A_{13}A_{22}& A_{13}A_{21}-A_{11}A_{23}& A_{11}A_{22}-A_{12}A_{21} \end{pmatrix} \end{align}

Kofaktor und #Äußeres Tensorprodukt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{cof}(\mathbf{A})=\frac{1}{2}\mathbf{A}\#\mathbf{A}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathrm{cof}(\mathbf{A+B}) =&\frac12(\mathbf{A}\#\mathbf{A}+2\mathbf{A}\#\mathbf{B}+\mathbf{B}\#\mathbf{B}) \\ =&\mathrm{cof}(\mathbf{A})+\mathrm{cof}(\mathbf{B}) +\mathbf{A}\#\mathbf{B} \end{align}

Kreuzprodukt und Kofaktor:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\mathbf{A}\cdot\vec{a})\times(\mathbf{A}\cdot\vec{b}) =\mathrm{cof}(\mathbf{A})\cdot(\vec{a}\times\vec{b})

Adjunkte

Definition:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{adj}(\mathbf{A}) :=\mathbf{A}^{2}-\mathrm{I}_1(\mathbf{A})\mathbf{A}+\mathrm{I}_2(\mathbf{A})\mathbf{1} =\mathrm{cof}(\mathbf{A})^\top

#Hauptinvarianten:

$ \mathrm {I} _{1}(\mathrm {adj} (\mathbf {A} ))=\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} ) $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{I}_2(\mathrm{adj}(\mathbf{A})) =\mathrm{I}_1(\mathbf{A})\mathrm{det}(\mathbf{A})

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{det}(\mathrm{adj}(\mathbf{A})) =\mathrm{det}^2(\mathbf{A})

#Betrag:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \|\mathrm{adj}(\mathbf{A})\| =\sqrt{\mathrm{I}_2(\mathbf{A^\top\cdot A})} =\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{\|\mathbf{A}\|^4-\|\mathbf{A^\top\cdot A}\|^2}

Weitere Eigenschaften:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{adj}(x\mathbf{A})=x^2\mathrm{adj}(\mathbf{A})

$ \mathrm {det} (\mathbf {A} )\neq 0\quad \rightarrow \quad \mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\det(\mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1} $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}\cdot\mathrm{adj}(\mathbf{A}) =\mathrm{adj}(\mathbf{A})\cdot\mathbf{A} =\mathrm{det}(\mathbf{A})\mathbf{1}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{adj}(\mathbf{A\cdot B}) =\mathrm{adj}(\mathbf{B})\cdot\mathrm{adj}(\mathbf{A})

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{adj}(\mathbf{A}^\top) =\mathrm{adj}(\mathbf{A})^\top

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathrm{adj}(\mathbf{A+B}) =&\frac12(\mathbf{A}\#\mathbf{A}+2\mathbf{A}\#\mathbf{B} +\mathbf{B}\#\mathbf{B})^\top \\ =&\mathrm{adj}(\mathbf{A})+\mathrm{adj}(\mathbf B) +\mathbf{A}^\top\#\mathbf{B}^\top \end{align}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{adj}\left(\mathrm{adj}(\mathbf{A})\right) =\mathrm{det}(\mathbf{A})\mathbf{A}

$ {\begin{aligned}&\mathrm {adj} (A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})={\frac {1}{2}}(A_{kl}A_{mn}\epsilon _{kmj}\epsilon _{lni})({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})=\ldots \\&\ldots ={\begin{pmatrix}A_{22}A_{33}-A_{23}A_{32}&A_{32}A_{13}-A_{33}A_{12}&A_{12}A_{23}-A_{13}A_{22}\\A_{23}A_{31}-A_{21}A_{33}&A_{33}A_{11}-A_{31}A_{13}&A_{13}A_{21}-A_{11}A_{23}\\A_{21}A_{32}-A_{22}A_{31}&A_{31}A_{12}-A_{32}A_{11}&A_{11}A_{22}-A_{12}A_{21}\end{pmatrix}}\end{aligned}} $

Inverse

Definition

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}^{-1}:\quad \mathbf{A}^{-1}\cdot\mathbf{A}= \mathbf{A\cdot A}^{-1}= \mathbf{1}

Die Inverse ist nur definiert, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\mathbf A|=\mathrm{det}(\mathbf{A})=\mathrm{I}_3(\mathbf{A})\ne 0

Zusammenhang mit dem adjungierten Tensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{adj}(\mathbf{A}) :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}^{-1} =\frac{1}{\det(\mathbf{A})}\mathrm{adj}(\mathbf{A})

$ {\begin{aligned}\mathbf {A} =&A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})\\\rightarrow \mathbf {A} ^{-1}=&{\frac {1}{|\mathbf {A} |}}{\begin{pmatrix}A_{22}A_{33}-A_{23}A_{32}&A_{32}A_{13}-A_{33}A_{12}&A_{12}A_{23}-A_{13}A_{22}\\A_{23}A_{31}-A_{21}A_{33}&A_{33}A_{11}-A_{31}A_{13}&A_{13}A_{21}-A_{11}A_{23}\\A_{21}A_{32}-A_{22}A_{31}&A_{31}A_{12}-A_{32}A_{11}&A_{11}A_{22}-A_{12}A_{21}\end{pmatrix}}\end{aligned}} $

Werden die Spalten von A mit Vektoren bezeichnet, also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}=\begin{pmatrix}\vec{a}_1 &\vec{a}_2 &\vec{a}_3\end{pmatrix} , dann gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}^{-1}=\begin{pmatrix}\vec{a}^1 &\vec{a}^2 &\vec{a}^3\end{pmatrix}^\top =\frac{1}{\mathrm{det}(\mathbf{A})} \begin{pmatrix} \vec{a}_2\times\vec{a}_3 & \vec{a}_3\times\vec{a}_1 & \vec{a}_1\times\vec{a}_2 \end{pmatrix}^\top

Satz von Cayley-Hamilton:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\mathrm{I}_3(\mathbf{A})} (\mathbf{A}^{2} -\mathrm{I}_1(\mathbf{A})\mathbf{A} +\mathrm{I}_2(\mathbf{A})\mathbf{1})

worin Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{I}_{1,2,3} die drei #Hauptinvarianten sind.

Inverse des transponierten Tensors:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\mathbf{A}^\top)^{-1}=(\mathbf{A}^{-1})^\top =\mathbf{A}^{\top -1}=\mathbf{A}^{-\top}

Inverse eines Tensorprodukts:

$ (\mathbf {A\cdot B} )^{-1}=\mathbf {B} ^{-1}\cdot \mathbf {A} ^{-1} $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (x\mathbf{A})^{-1}=\frac1x\mathbf{A}^{-1}

#Äußeres Tensorprodukt und Inverse einer Summe:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\mathbf{A+B})^{-1} =\frac{1}{\det(\mathbf{A+B})}\left( \mathrm{adj}(\mathbf{A})+\mathrm{adj}(\mathbf{B}) +(\mathbf{A}\#\mathbf{B})^\top\right)

Invertierungsformeln:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (a\mathbf{1}+\vec{b}\otimes\vec{c})^{-1} =\frac{1}{a}\left(\mathbf{1}-\frac{1}{a+\vec{b}\cdot\vec{c}} \vec{b}\otimes\vec{c}\right)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} &(a\mathbf{1}+\vec{b}\otimes\vec{c}+\vec{d}\otimes\vec{e})^{-1} = \frac{1}{a D}\left(D\mathbf{1} +\vec{b}\otimes(q\vec{c}+ r\vec{e}) +\vec{d}\otimes(s\vec{c}+ t\vec{e}) \right) \\& \qquad q=a+\vec{d}\cdot\vec{e},\quad r=-\vec{c}\cdot\vec{d},\quad s=-\vec{b}\cdot\vec{e},\quad t=a+\vec{b}\cdot\vec{c} \\& \qquad D=rs-qt \end{align}

$ ({\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{i})^{-1}={\vec {g}}^{i}\otimes {\vec {a}}^{i} $

Eigensystem

Eigenwertproblem

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}\cdot\hat{v} =\lambda\hat{v}

mit Eigenwert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda und Eigenvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{v} . Die Eigenvektoren werden auf die Länge eins normiert.

Jeder Tensor hat drei Eigenwerte und drei dazugehörige Eigenvektoren. Mindestens ein Eigenwert und Eigenvektor sind reell. Die beiden anderen Eigenwerte und -vektoren können reell oder komplex sein.

Eigenwerte

Charakteristische Gleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{det}(\mathbf{A}-\lambda_i\mathbf{1}) =-\lambda_i^{3}+\mathrm{I}_1(\mathbf{A})\lambda_i^{2} -\mathrm{I}_2(\mathbf{A})\lambda_i +\mathrm{I}_3(\mathbf{A}) =0

Lösung siehe Cardanische Formeln. Die Koeffizienten sind die #Hauptinvarianten :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{I}_1(\mathbf{A}): =\mathrm{Sp}(\mathbf{A}) =\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3

$ \mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} ):={\frac {1}{2}}[\mathrm {I} _{1}(\mathbf {A} )^{2}-\mathrm {I} _{1}(\mathbf {A} ^{2})]=\lambda _{1}\lambda _{2}+\lambda _{2}\lambda _{3}+\lambda _{3}\lambda _{1} $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{I}_3(\mathbf{A}): =\mathrm{det}(\mathbf{A}) =\lambda_1\lambda_2\lambda_3

Eigenvektoren

Eigenvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec v sind nur bis auf einen Faktor ≠ 0 bestimmt. Der Nullvektor ist kein Eigenvektor.

Bestimmungsgleichung: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\mathbf{A}-\lambda\mathbf{1})\cdot\vec v=\vec0

Tensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}=A_{ij}\hat e_i\otimes\hat e_j :

$ {\begin{pmatrix}A_{11}-\lambda &A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}-\lambda &A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}-\lambda \end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}} $

Bestimmung mit gegebenem/angenommenem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v_1 :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{pmatrix} A_{12}&A_{13}\\ A_{22}-\lambda&A_{23}\\ A_{32}&A_{33}-\lambda \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}v_2\\v_3\end{pmatrix} =v_1\begin{pmatrix}\lambda-A_{11}\\-A_{21}\\-A_{31}\end{pmatrix}

Geometrische Vielfachheit 1:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v_2=v_1\frac{(\lambda-A_{33})A_{21}+A_{23}A_{31}} {(A_{22}-\lambda)(A_{33}-\lambda)-A_{23}A_{32}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v_3=v_1\frac{(\lambda-A_{22})A_{31}+A_{32}A_{21}} {(A_{22}-\lambda)(A_{33}-\lambda)-A_{23}A_{32}}

Geometrische Vielfachheit 2:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{pmatrix}A_{13}\\A_{23}\\A_{33}-\lambda\end{pmatrix}v_3 = -v_1\begin{pmatrix}A_{11}-\lambda\\A_{21}\\A_{31}\end{pmatrix} -v_2\begin{pmatrix}A_{12}\\A_{22}-\lambda\\A_{32}\end{pmatrix}

Die Formeln bleiben richtig, wenn die Indizes {1,2,3} zyklisch vertauscht werden.

Symmetrischen Tensoren: Für das Betragsquadrat der Komponenten $ v_{ij} $ der auf Betrag 1 normierten Eigenvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec v_i des (komplexen) Tensors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A\in\mathbb{C}^{n \times n} gilt mit dessen Eigenwerten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda_i und den Eigenwerten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mu_{jk} der Hauptuntermatrizen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A :^[1]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |v_{ij}|^2\prod_{k=1;k\ne i}^n\big(\lambda_i-\lambda_k\big) =\prod_{k=1}^{n-1}\big(\lambda_i-\mu_{jk}\big)

Eigensystem symmetrischer Tensoren

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}=\mathbf{A}^\top symmetrisch.

Symmetrische Tensoren haben reelle Eigenwerte und paarweise zueinander senkrechte oder orthogonalisierbare Eigenvektoren, die also eine Orthonormalbasis aufbauen. Die Eigenvektoren werden so nummeriert, dass sie ein Rechtssystem bilden.

Hauptachsentransformation mit Eigenwerten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda_i und Eigenvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{a}_i des symmetrischen Tensors A:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathbf{A} =& \sum_{i=1}^3\lambda_i\hat{a}_i\otimes\hat{a}_i =\left(\hat{a}_i\otimes\hat{e}_i\right)\cdot \left(\sum_{j=1}^3\lambda_j \hat{e}_j\otimes\hat{e}_j\right)\cdot \left(\hat{e}_k\otimes\hat{a}_k\right) \\ =& \begin{pmatrix}\hat{a}_1&\hat{a}_2&\hat{a}_3\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} \lambda_1& 0& 0\\ 0&\lambda_2& 0\\ 0& 0&\lambda_3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\hat{a}_1&\hat{a}_2&\hat{a}_3\end{pmatrix}^\top \end{align}

bzw.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{pmatrix} \hat{a}_1&\hat{a}_2&\hat{a}_3 \end{pmatrix}^\top \cdot\mathbf{A} \cdot\begin{pmatrix}\hat{a}_1&\hat{a}_2&\hat{a}_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\lambda_1& 0& 0\\0&\lambda_2& 0\\0& 0&\lambda_3\end{pmatrix}

Eigensystem schiefsymmetrischer Tensoren

Sei $ \mathbf {A} =-\mathbf {A} ^{\top } $ schiefsymmetrisch.

Schiefsymmetrische Tensoren haben einen reellen und zwei konjugiert komplexe, rein imaginäre Eigenwerte. Der reelle Eigenwert von A ist null zu dem ein Eigenvektor gehört, der proportional zur reellen #Vektorinvariante Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A}) ist. Siehe auch #Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix.

Eigensystem allgemeiner auch unsymmetrischer Tensoren

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a,b,c\in\R und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\in\R^3 eine Basis und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{a}^1,\vec{a}^2,\vec{a}^3 die dazu duale Basis.

Drei reelle Eigenwerte

Der Tensor

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{T} =a\,\vec{a}_1\otimes\vec{a}^1 +b\,\vec{a}_2\otimes\vec{a}^2 +c\,\vec{a}_3\otimes\vec{a}^3

hat die Eigenwerte

$ \lambda _{1}=a,\;\lambda _{2}=b,\;\lambda _{3}=c $

und Eigenvektoren

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v}_1=\vec{a}_1,\; \vec{v}_2=\vec{a}_2,\; \vec{v}_3=\vec{a}_3

Der #transponierte Tensor hat dieselben Eigenwerte zu den dualen Eigenvektoren

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v}_1=\vec{a}^1,\; \vec{v}_2=\vec{a}^2,\; \vec{v}_3=\vec{a}^3

Ein reeller und zwei konjugiert komplexe Eigenwerte

Der Tensor

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{T} =c\,\vec{a}_1\otimes\vec{a}^1 +a(\vec{a}_2\otimes\vec{a}^2+\vec{a}_3\otimes\vec{a}^3) +b(\vec{a}_2\otimes\vec{a}^3-\vec{a}_3\otimes\vec{a}^2)

hat die Eigenwerte

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda_1=c,\; \lambda_2=a+\mathrm{i}\,b,\; \lambda_3=a-\mathrm{i}\,b

und Eigenvektoren

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v}_1=\vec{a}_1,\; \vec{v}_2=\vec{a}_2+\mathrm{i}\,\vec{a}_3,\; \vec{v}_3=\vec{a}_2-\mathrm{i}\,\vec{a}_3

Der #transponierte Tensor hat dieselben Eigenwerte zu den Eigenvektoren

$ {\vec {v}}_{1}={\vec {a}}^{1},\;{\vec {v}}_{2}={\vec {a}}^{2}-\mathrm {i} \,{\vec {a}}^{3},\;{\vec {v}}_{3}={\vec {a}}^{2}+\mathrm {i} \,{\vec {a}}^{3} $

Invarianten

Eigenwerte des Tensors

Die #Eigenwerte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 sind Invarianten.

Hauptinvarianten

#Spur:	I1(A), Sp(A)
#Zweite Hauptinvariante:	I2(A)
#Determinante:	I3(A), det(A), │A│

Charakteristisches Polynom

Die Hauptinvarianten des Tensors A sind die Koeffizienten seines charakteristischen Polynoms:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{det}(\mathbf{A}-x\mathbf{1}) =-x^{3}+\mathrm{Sp}(\mathbf{A})x^{2}-\mathrm{I}_2(\mathbf{A})x +\mathrm{det}(\mathbf{A})

Spezialfall:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{det}(\vec{b}\otimes\vec{c}+a\mathbf{1}) = a^2(a+\vec{b}\cdot\vec{c})

Satz von Cayley-Hamilton:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): -\mathbf{A}^{3} +\mathrm{Sp}(\mathbf{A})\mathbf{A}^{2} -\mathrm{I}_2(\mathbf{A})\mathbf{A} +\mathrm{det}(\mathbf{A})\mathbf{1} =\mathbf{0}

Spur

Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{L}\to\R

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{Sp}(\mathbf{A}) = \mathrm{I}_1(\mathbf{A}) = \frac{1}{2}(\mathbf{A}\#\mathbf{1}):\mathbf{1} = \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3

mit #Eigenwerten λ_1,2,3 von A.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{Sp}(\vec{a}\otimes\vec{g}) =\mathrm{Sp}(\vec{g}\otimes\vec{a}) :=\vec{a}\cdot\vec{g}

Linearität: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x,y\in\R\rightarrow\quad \mathrm{Sp}(x\mathbf{A}+y\mathbf{B}) =x\mathrm{Sp}(\mathbf{A})+y\mathrm{Sp}(\mathbf{B})

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{Sp}(\mathbf{A})=\mathrm{Sp}(\mathbf{A}^\top)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{Sp}(\mathbf{A\cdot B})=\mathrm{Sp}(\mathbf{B\cdot A})

$ \mathrm {Sp} (\mathbf {A^{\top }\cdot B} )=\mathrm {Sp} (\mathbf {A\cdot B^{\top }} ) $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{Sp}(\mathbf{A\cdot B\cdot C}) =\mathrm{Sp}(\mathbf{B\cdot C\cdot A}) =\mathrm{Sp}(\mathbf{C\cdot A\cdot B})

In Komponenten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{Sp}\left( A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j\right) =A_{ii}=A_{11}+A_{22}+A_{33}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{Sp}\left(A^{ij}\vec{a}_i\otimes\vec{b}_j\right) =A^{ij}\vec{a}_i\cdot\vec{b}_j

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{Sp}\left(A_j^i\vec{a}_i\otimes\vec{a}^j\right) =\mathrm{Sp}\left(A_i^j\vec{a}^i\otimes\vec{a}_j\right)=A_i^i

Zweite Hauptinvariante

Abbildung $ {\mathcal {L}}\to \mathbb {R} $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{I}_2(\mathbf{A}) := \frac{1}{2} [\mathrm{Sp}(\mathbf{A})^{2}- \mathrm{Sp}(\mathbf{A}^{2})] =\frac{1}{2}(\mathbf{A}\#\mathbf{A}):\mathbf{1} =\lambda_1\lambda_2+\lambda_2\lambda_3+\lambda_3\lambda_1

mit #Eigenwerten λ_1,2,3 von A.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{I}_2(\mathbf{A})=\mathrm{Sp(cof}(\mathbf{A})) =\mathrm{Sp(adj}(\mathbf{A}))

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{I}_2(x\mathbf A)=x^2\mathrm{I}_2(\mathbf A)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{I}_2(\mathbf A^\top)=\mathrm{I}_2(\mathbf A)

$ \mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=\mathrm {I} _{2}(\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} ) $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{I}_2(\mathbf A\cdot\mathbf B\cdot\mathbf C) =\mathrm{I}_2(\mathbf B\cdot\mathbf C\cdot\mathbf A) =\mathrm{I}_2(\mathbf C\cdot\mathbf A\cdot\mathbf B)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{I}_2(\mathbf A+\mathbf B) =\mathrm{I}_2(\mathbf A)+\mathrm{I}_2(\mathbf B) +\mathrm{Sp}(\mathbf A)\mathrm{Sp}(\mathbf B) -\mathrm{Sp}(\mathbf A\cdot\mathbf B)

In Komponenten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{I}_2(A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j) =A_{11}A_{22}+A_{11}A_{33}+A_{22}A_{33}-A_{12}A_{21}-A_{13}A_{31}-A_{23}A_{32}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{I}_2(A^{ij}\vec{a}_i\otimes\vec{b}_j) =\frac{1}{2}A^{ij}A^{kl} [(\vec{a}_i\cdot\vec{b}_j)(\vec{a}_k\cdot\vec{b}_l) -(\vec{a}_i\cdot\vec{b}_l)(\vec{a}_k\cdot\vec{b}_j)]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{I}_2\left(A_j^i\vec{a}_i\otimes\vec{a}^j\right) =\frac{1}{2}(A_i^iA_j^j-A_j^iA_i^j)

Determinante

Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{L}\to\R

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{I}_3(\mathbf{A}) :=\mathrm{det}(\mathbf{A}) =\frac{1}{6}(\mathbf{A}\#\mathbf{A}):\mathbf{A} =\lambda_1\lambda_2\lambda_3

mit #Eigenwerten λ_1,2,3 von A.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{det}(\mathbf{A}^\top)=\mathrm{det}(\mathbf{A})

Determinantenproduktsatz:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{det}(\mathbf{A\cdot B}) =\mathrm{det}(\mathbf{B\cdot A}) =\mathrm{det}(\mathbf{A})\mathrm{det}(\mathbf{B})

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{det}(\mathbf{A\cdot B\cdot C}) =\mathrm{det}(\mathbf{B\cdot C\cdot A}) =\mathrm{det}(\mathbf{C\cdot A\cdot B}) =\mathrm{det}(\mathbf{A})\mathrm{det}(\mathbf{B})\mathrm{det}(\mathbf{C})

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{det}(\mathbf{A}^{-1})=\frac{1}{\mathrm{det}(\mathbf{A})}

Multiplikation mit Skalaren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x\in\R :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{vmatrix}x\vec{a}&\vec{b}&\vec{c}\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}\vec{a}& x\vec{b}&\vec{c}\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}\vec{a}&\vec{b}& x\vec{c}\end{vmatrix} = x\begin{vmatrix}\vec{a}&\vec{b}&\vec{c}\end{vmatrix}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{det}(x\mathbf{A})= x^3\mathrm{det}(\mathbf{A})

In Komponenten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathrm{det}\left(A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j\right) =&\begin{vmatrix} A_{11}& A_{12}& A_{13}\\ A_{21}& A_{22}& A_{23}\\ A_{31}& A_{32}& A_{33} \end{vmatrix} \\ =& A_{11}(A_{22}A_{33}-A_{23}A_{32})+A_{12}(A_{23}A_{31}-A_{21}A_{33}) \\& +A_{13}(A_{21}A_{32}-A_{22}A_{31}) \end{align}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathrm{det}( A^{ij}\vec{a}_i\otimes\vec{g}_j) =& \begin{vmatrix} A^{11}& A^{12}& A^{13}\\ A^{21}& A^{22}& A^{23}\\ A^{31}& A^{32}& A^{33} \end{vmatrix} \begin{vmatrix}\vec{a}_1&\vec{a}_2&\vec{a}_3\end{vmatrix} \begin{vmatrix}\vec{g}_1&\vec{g}_2&\vec{g}_3\end{vmatrix} \end{align}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{det}\left(A_j^i\vec{a}_i\otimes\vec{a}^j\right) =\begin{vmatrix} A^1_1& A^1_2& A^1_3\\ A^2_1& A^2_2& A^2_3\\ A^3_1& A^3_2& A^3_3 \end{vmatrix}

Zusammenhang mit den anderen Hauptinvarianten:

$ {\begin{aligned}\mathrm {det} (\mathbf {A} )=&{\frac {1}{6}}[\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )^{3}-3\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )\mathrm {Sp} (\mathbf {A} ^{2})+2\mathrm {Sp} (\mathbf {A} ^{3})]\\[1ex]=&{\frac {1}{3}}[\mathrm {Sp} (\mathbf {A} ^{3})+3\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} )-\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )^{3}]\end{aligned}} $

Zusammenhang mit dem Spatprodukt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\mathbf{A}\cdot\vec{a})\cdot [(\mathbf{A}\cdot\vec{b})\times(\mathbf{A}\cdot\vec{c})] =\mathrm{det}(\mathbf{A})\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})

Zusammenhang mit #Äußeres Tensorprodukt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \det(\mathbf{A})=\frac{1}{6}(\mathbf{A}\#\mathbf{A}):\mathbf{A}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \rightarrow\det(\mathbf{A+B}) =&\det(\mathbf{A})+\det(\mathbf{B}) +\mathrm{Sp}(\mathbf{A})\mathrm{I}_2(\mathbf{B}) +\mathrm{I}_2(\mathbf{A})\mathrm{Sp}(\mathbf{B}) \\ &+\mathrm{Sp}(\mathbf{A\cdot B\cdot(A+B)}) -\mathrm{Sp}(\mathbf{A\cdot B})\mathrm{Sp}(\mathbf{A+B}) \end{align}

Zusammenhang mit dem #Kofaktor:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \det(\mathbf{A}+\mathbf{B}) = \det(\mathbf{A})+\mathrm{cof}(\mathbf{A}):\mathbf{B} +\mathbf{A}:\mathrm{cof}(\mathbf{B}) +\det(\mathbf{B})

Betrag

Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{L}\to\R

$ \parallel \mathbf {A} \parallel :={\sqrt {\mathbf {A} :\mathbf {A} }}={\sqrt {\mathrm {Sp} (\mathbf {A} ^{\top }\cdot \mathbf {A} )}} $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \parallel\vec{a}\otimes\vec{g}\parallel=|\vec{a}|\,|\vec{g}|

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \parallel A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j\parallel =\sqrt{A_{ij}A_{ij}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \parallel A^{ij}\vec{a}_i\otimes\vec{g}_j\parallel =\sqrt{A^{ij}A^{kl}(\vec{a}_i\cdot\vec{a}_k)(\vec{g}_j\cdot\vec{g}_l)}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \parallel A^i_j\vec{a}_i\otimes\vec{a}^j\parallel =\sqrt{A^i_jA^k_l(\vec{a}_i\cdot\vec{a}_k)(\vec{a}^j\cdot\vec{a}^l)}

Falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}=\mathbf{A}^\top :

$ \quad \parallel \mathbf {A} \parallel ={\sqrt {\mathrm {Sp} ^{2}(\mathbf {A} )-2\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} )}}={\sqrt {\mathrm {Sp} (\mathbf {A} ^{2})}}={\sqrt {\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}}} $

Falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}=-\mathbf{A}^\top :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \quad\parallel\mathbf{A}\parallel =\sqrt{2\mathrm{I}_2(\mathbf{A})} =\sqrt{-\mathrm{Sp}(\mathbf{A}^2)}

Dualer axialer Vektor

Für #Schiefsymmetrische Tensoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}=-\mathbf{A}^\top=\mathbf{A}^\mathrm{A} gibt es einen dualen axialen Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}}} für den gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}\cdot\vec v =\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}}}\times\vec v für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec v\in\mathbb{V}

Der duale axiale Vektor ist proportional zur #Vektorinvariante:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}}} :=-\frac12\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A})

Berechnung mit #Fundamentaltensor 3. Stufe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{3}{\mathbf{E}} , #Kreuzprodukt von Tensoren oder #Skalarkreuzprodukt von Tensoren:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}}} =-\frac12\stackrel{3}{\mathbf{E}}:\mathbf{A} =-\frac12\mathbf{A}\times\mathbf{1} =-\frac12\mathbf{A}\cdot\!\!\times\mathbf{1}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{A}{\overrightarrow{A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j}} =-\frac12 A_{ij}\hat{e}_i\times\hat{e}_j =\frac12\begin{pmatrix} A_{32}-A_{23}\\ A_{13}-A_{31}\\ A_{21}-A_{12}\end{pmatrix}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{A}{\overrightarrow{A^{ij}(\vec{a}_i\otimes\vec{b}_j)}} =-\frac12 A^{ij}\vec{a}_i\times\vec{b}_j

#Symmetrische Tensoren und #Kugeltensoren haben keinen dualen axialen Vektor: $ {\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} ^{\mathrm {S} }}}}={\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} ^{\mathrm {K} }}}}={\vec {0}} $

Ein #Symmetrischer Anteil oder #Kugelanteil trägt nichts zum dualen axialen Vektor bei: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}}} =\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}^\mathrm{D}}} =\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}^\mathrm{A}}}

Seien x eine beliebige Zahl, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec u,\,\vec v beliebige Vektoren und A, B beliebige Tensoren zweiter Stufe. Dann gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{A}{\overrightarrow{\vec u\otimes\vec v}}\; =\frac12\vec v\times\vec u

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}}}\times\vec{v} = \mathbf{A}^\mathrm{A}\cdot\vec{v}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}^\top}}\quad\; =-\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}}}

$ {\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A+B} }}}={\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} }}}+{\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {B} }}} $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{A}{\overrightarrow{x\mathbf{A}}}\quad\; =x\,\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}\#\mathbf{B}}}\; =\mathbf{A}\cdot\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{B}}} +\mathbf{B}\cdot\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}\cdot\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}}}\; =\mathbf{A}^\top\cdot\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}}} =\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}}}\cdot\mathbf{A}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{A}{\overrightarrow{\mathrm{cof}(\mathbf{A})}} =\mathbf{A}\cdot\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}^{-1}}}\quad =-\frac{1}{\mathrm{det}(\mathbf{A})}\mathbf{A} \cdot\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}}} \quad\text{falls}\quad \mathrm{det}(\mathbf{A})\ne 0

$ {\stackrel {A}{\overrightarrow {{\vec {v}}\times \mathbf {A} }}}={\frac {1}{2}}(\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )\mathbf {1} -\mathbf {A} )\cdot {\vec {v}}={\frac {1}{2}}(\mathbf {A} ^{\top }\#\mathbf {1} )\cdot {\vec {v}} $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{A}{\overrightarrow{\vec{v}\times\mathbf{1}}}\;\;=\vec v

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{A}{\overrightarrow{(\vec{u}\times\vec{v})\times\mathbf{A}}} =\frac12(\vec u\cdot\mathbf A\times\vec v-\vec v\cdot\mathbf A\times\vec u)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{B\cdot A\cdot B}^\top}}\;\; = \mathrm{cof}(\mathbf{B})\cdot\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}}}

Darin ist „#“ ein #Äußeres Tensorprodukt, cof(·) ist der #Kofaktor.

Vektorinvariante

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A}) :=\mathbf{A}\cdot\!\!\times\mathbf{1} =\mathbf{A}\times\mathbf1 =\stackrel{3}{\mathbf E}:\mathbf A =-2\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\mathrm{i}}(A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j) = A_{ij}\hat{e}_i\times\hat{e}_j =\begin{pmatrix} A_{23}-A_{32}\\ A_{31}-A_{13}\\ A_{12}-A_{21}\end{pmatrix}

$ {\vec {\mathrm {i} }}(A^{ij}({\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}))=A^{ij}{\vec {a}}_{i}\times {\vec {b}}_{j} $

Zusammenhang mit dem #Skalarkreuzprodukt von Tensoren:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}\cdot\!\!\times\mathbf{B} =\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})

#Symmetrische Tensoren haben keine Vektorinvariante: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A}^\mathrm{S})=\vec{0}

Die Eigenschaften des dualen axialen Vektors sind hierher übertragbar. Seien x eine beliebige Zahl, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec u,\,\vec v beliebige Vektoren und A, B beliebige Tensoren zweiter Stufe. Dann gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\mathrm{i}}(\vec u\otimes\vec v)\;\; =\vec u\times\vec v

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A})\times\vec{v}\; =-2\mathbf{A}^\mathrm{A}\cdot\vec{v} =(\mathbf{A^\top-A})\cdot\vec{v}

$ {\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {A} ^{\top })\quad \;=-{\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {A} ) $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A+B}) =\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A})+\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{B})

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\mathrm{i}}(x\mathbf{A})\quad\; =x\,\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A})

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A}\#\mathbf{B})\; =\mathbf{A}\cdot\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{B}) +\mathbf{B}\cdot\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A})

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}\cdot\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A})\; =\mathbf{A}^\top\cdot\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A}) =\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A})\cdot\mathbf{A}

$ {\vec {\mathrm {i} }}(\mathrm {cof} (\mathbf {A} ))=\mathbf {A} \cdot {\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {A} ) $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A}^{-1})\quad =-\frac{1}{\mathrm{det}(\mathbf{A})} \mathbf{A}\cdot\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A}) \quad\text{falls}\quad \mathrm{det}(\mathbf{A})\ne 0

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\mathrm{i}}(\vec v\times\mathbf{A})\; =(\mathbf{A}-\mathrm{Sp}(\mathbf A)\mathbf1)\cdot\vec v =-(\mathbf{A}^\top\#\mathbf1)\cdot\vec v

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\mathrm{i}}(\vec{v}\times\mathbf{1})\;\;=-2\vec v

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\mathrm{i}}((\vec{u}\times\vec{v})\times\mathbf{A}) =\vec v\cdot\mathbf A\times\vec u-\vec u\cdot\mathbf A\times\vec v

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\mathrm{i}}(\mathbf{B\cdot A\cdot B}^\top) = \mathrm{cof}(\mathbf{B})\cdot\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A})

Darin ist „#“ ein #Äußeres Tensorprodukt, cof(·) ist der #Kofaktor.

Spezielle Tensoren

Dyade

Definition

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}:=\vec{a}\otimes\vec{b}

Kofaktor: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{cof}(\mathbf{A})=\mathbf0

#Invarianten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{Sp}(\mathbf{A})=\vec{a}\cdot\vec{b}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{I}_2(\mathbf{A})= 0

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{det}(\mathbf{A})= 0

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \parallel\mathbf{A}\parallel = |\vec{a}|\,|\vec{b}|

#Eigensystem:

$ {\begin{aligned}\lambda _{1}=&{\vec {a}}\cdot {\vec {b}},&{\vec {v}}_{1}=&{\frac {\vec {a}}{|{\vec {a}}|}}\\\lambda _{2}=&0,&{\vec {v}}_{2}=&{\frac {{\vec {a}}\times {\vec {b}}}{|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|}}\\\lambda _{3}=&0,&{\vec {v}}_{3}=&{\frac {({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times {\vec {b}}}{|({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times {\vec {b}}|}}\end{aligned}} $

Dyadentripel

Gegeben ein beliebiger Tensor 2. Stufe A. Dieser kann immer als Summe dreier Dyaden dargestellt werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathbf{A}=A_{ij}\hat e_i\otimes\hat e_j =&\vec s_j\otimes\hat e_j =\begin{pmatrix}\vec s_1&\vec s_2&\vec s_3\end{pmatrix} \\=& \hat e_i\otimes\vec z_i =\begin{pmatrix}\vec z_1&\vec z_2&\vec z_3\end{pmatrix}^\top \\=& \vec a_k\otimes\vec g_k\end{align}

mit Spaltenvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec s_j=A_{ij}\hat e_i=\mathbf{A}\cdot\hat e_j , Zeilenvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec z_i=A_{ij}\hat e_j=\hat e_i\cdot\mathbf{A} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec g_k=(\vec a^k\cdot\hat e_i)A_{ij}\hat e_j=\vec a^k\cdot\mathbf{A} .

#Hauptinvarianten ($ x_{m,n}:={\vec {x}}_{m}\cdot {\hat {e}}_{n} $):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{I}_1(\mathbf{A})=s_{i,i}=z_{i,i}=\vec a_i\cdot\vec g_i

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathrm{I}_2(\mathbf{A}) =&\frac12(s_{i,i}s_{j,j}-s_{i,j}s_{j,i}) =\frac12(z_{i,i}z_{j,j}-z_{i,j}z_{j,i}) \\=& \frac12[(\vec a_i\cdot\vec g_i)(\vec a_j\cdot\vec g_j) -(\vec a_i\cdot\vec g_j)(\vec a_j\cdot\vec g_i)] \end{align}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{I}_3(\mathbf{A}) =\begin{vmatrix}\vec s_1&\vec s_2&\vec s_3\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}\vec z_1&\vec z_2&\vec z_3\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}\vec a_1&\vec a_2&\vec a_3\end{vmatrix} \begin{vmatrix}\vec g_1&\vec g_2&\vec g_3\end{vmatrix}

#Betrag:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \parallel\mathbf{A}\parallel =\sqrt{\vec s_i\cdot\vec s_i} =\sqrt{\vec z_i\cdot\vec z_i} =\sqrt{(\vec a_i\cdot\vec a_j)(\vec g_i\cdot\vec g_j)}

#Dualer axialer Vektor:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf A}} =\frac12\hat e_i\times\vec s_i =\frac12\vec z_i\times\hat e_i =\frac12\vec g_i\times\vec a_i

#Vektorinvariante:

$ {\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {A} )={\vec {s}}_{i}\times {\hat {e}}_{i}={\hat {e}}_{i}\times {\vec {z}}_{i}={\vec {a}}_{i}\times {\vec {g}}_{i} $

#Kofaktor:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathrm{cof}(\mathbf{A}) =&\vec z_i\otimes\vec s_i -\mathrm{I}_1(\mathbf A)\mathbf{A}^\top +\mathrm{I}_2(\mathbf A)\mathbf1 \\=& (\vec a_i\cdot\vec g_j)\vec g_i\otimes\vec a_j -(\vec a_i\cdot\vec g_i)\vec g_j\otimes\vec a_j+\mathrm{I}_2(\mathbf A)\mathbf1 \end{align}

#Inverse:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}^{-1}=\hat e_i\otimes\vec s^i=\vec z^i\otimes\hat e_i =\vec g^i\otimes\vec a^i

Einheitstensor

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{1} =\hat{e}_i\otimes\hat{e}_i =\delta_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j =\begin{pmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{pmatrix}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{1} =\vec{g}_i\otimes\vec{g}^i =\vec{g}^i\otimes\vec{g}_i = g^{ij}\vec{g}_i\otimes\vec{g}_j = g_{ij}\vec{g}^i\otimes\vec{g}^j

mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g_{ij}=\vec{g}_i\cdot\vec{g}_j\,,\; g^{ij}=\vec{g}^i\cdot\vec{g}^j

Allgemein:

$ \mathbf {1} =({\vec {a}}^{i}\cdot {\vec {g}}^{j}){\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j} $

#Transposition und #Inverse:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{1} =\mathbf{1}^\top =\mathbf{1}^{-1} =\mathbf{1}^{\top -1}

Kofaktor: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{cof}(\mathbf1)=\mathbf1

Vektortransformation

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{1}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\mathbf{1}=\vec{v}

Tensorprodukt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A\cdot 1} =\mathbf{1\cdot A} =\mathbf{A}

Skalarprodukt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}:\mathbf{1}=\mathrm{Sp}(\mathbf{A})

#Invarianten:

$ \mathrm {Sp} (\mathbf {1} )=\mathbf {1} :\mathbf {1} =3 $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{I}_2(\mathbf{1})=3

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{det}(\mathbf{1})=1

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \parallel\mathbf{1}\parallel=\sqrt{3}

#Eigenwerte:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda_{1,2,3}= 1

Alle Vektoren sind #Eigenvektoren.

Unimodulare Tensoren

Definition

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{H}:\quad\mathrm{det}(\mathbf{H})= 1

Kofaktor: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{cof}(\mathbf H)=\mathbf{H}^{\top-1}

Determinantenproduktsatz:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{det}(\mathbf{A\cdot H}) =\mathrm{det}(\mathbf{H\cdot A}) =\mathrm{det}(\mathbf{A})

Orthogonale Tensoren

Definition

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{Q}:\quad\mathbf{Q}^{-1}=\mathbf{Q}^\top \quad\textsf{oder}\quad \mathbf{Q\cdot Q}^\top =\mathbf{Q}^\top\cdot\mathbf{Q} =\mathbf{1}

Kofaktor: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{cof}(\mathbf Q)=\mathrm{det}(\mathbf Q)\mathbf{Q} =\pm\mathbf Q

#Invarianten (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha ist der Drehwinkel):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{Sp}(\mathbf{Q})=\mathrm{det}(\mathbf{Q})+2\cos(\alpha)

$ \mathrm {I} _{2}(\mathbf {Q} )=\mathrm {det} (\mathbf {Q} )\cdot \mathrm {Sp} (\mathbf {Q} )=1+2\,\mathrm {det} (\mathbf {Q} )\cos(\alpha ) $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{det}(\mathbf{Q})=\pm 1

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \parallel\mathbf Q\parallel=\sqrt3

Eigentlich orthogonaler Tensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{det}(\mathbf{Q})=+1 , entspricht einer Drehung.

Uneigentlich orthogonaler Tensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{det}(\mathbf{Q})=-1 , entspricht einer Drehspiegelung.

Spatprodukt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\mathbf{Q}\cdot\vec{a})\cdot [(\mathbf{Q}\cdot\vec{b})\times(\mathbf{Q}\cdot\vec{c})] =\mathrm{det}(\mathbf{Q})\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})

Kreuzprodukt und #Kofaktor:

$ (\mathbf {Q} \cdot {\vec {a}})\times (\mathbf {Q} \cdot {\vec {b}})=\mathrm {det} (\mathbf {Q} )\mathbf {Q} \cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}}) $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{cof}(\mathbf{Q}) =\mathrm{det}(\mathbf{Q})\mathbf{Q}

Gegeben ein Einheitsvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{n}=\begin{pmatrix}n_1&n_2&n_3\end{pmatrix}^\top und Drehwinkel α. Dann sind die folgenden Tensoren R zueinander gleich, orthogonal und drehen um die Achse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{n} mit Winkel α:

Rodrigues-Formel:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathbf R =&\mathbf1+s_\alpha\hat{n}\times\mathbf1+d_\alpha(\hat{n}\times\mathbf1)^2 \\ =&\mathbf1+s_\alpha\hat{n}\times\mathbf1+d_\alpha(\hat n\otimes\hat n-\mathbf1) \end{align}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{R}=\begin{pmatrix} c_\alpha+d_\alpha n_1^2&-s_\alpha n_3+d_\alpha n_1n_2&s_\alpha n_2 +d_\alpha n_1n_3 \\ s_\alpha n_3+d_\alpha n_1n_2&c_\alpha+d_\alpha n_2^2&-s_\alpha n_1 +d_\alpha n_2n_3 \\ -s_\alpha n_2+d_\alpha n_1n_3&s_\alpha n_1+d_\alpha n_2n_3&c_\alpha +d_\alpha n_3^2 \end{pmatrix}

mit $ c_{\alpha }=\cos(\alpha ),\;d_{\alpha }=1-\cos(\alpha ),\;s_{\alpha }=\sin(\alpha ) $.

Euler-Rodrigues-Formel: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a=\cos\left(\tfrac{\alpha}{2}\right), b=\sin\left(\tfrac{\alpha}{2}\right)n_1, c=\sin\left(\tfrac{\alpha}{2}\right)n_2, d=\sin\left(\tfrac{\alpha}{2}\right)n_3 also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a^2+b^2+c^2+d^2=1 :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{R}:=\begin{pmatrix} a^2+b^2-c^2-d^2 & 2(bc-ad) & 2(bd + ac) \\ 2(bc+ad) & a^2+c^2-b^2-d^2 & 2(cd - ab) \\ 2(bd-ac) & 2(cd+ab) & a^2+d^2-b^2-c^2 \end{pmatrix}

Formulierung mit Drehvektor:

Drehvektor		Orthogonaler Tensor
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec\alpha=\alpha\vec{n}	→	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf R =\mathbf1+\frac{\sin(\alpha)}{\alpha}\vec{\alpha}\times\mathbf1 +\frac{1-\cos(\alpha)}{\alpha^2}(\vec\alpha\times\mathbf1)^2
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec\alpha=\tan(\alpha)\vec{n}	→	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf R=\mathbf1 +\cos(\alpha)\vec\alpha\times\mathbf1 +\frac{\cos^2(\alpha)}{1+\cos(\alpha)}(\vec\alpha\times\mathbf1)^2
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\alpha}=\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\;\vec{n}	→	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{R} =\mathbf1+\frac{2}{1+\vec{\alpha}\cdot\vec{\alpha}} (\vec{\alpha}\times\mathbf1+(\vec\alpha\times\mathbf1)^2)
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec\alpha=\sin(\alpha)\;\vec{n}	→	$ \mathbf {R} =\mathbf {1} +{\vec {\alpha }}\times \mathbf {1} +{\dfrac {1}{1+\cos(\alpha )}}({\vec {\alpha }}\times \mathbf {1} )^{2} $
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec\alpha=\sin\left(\frac\alpha2\right)\;\vec{n}	→	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf R=\mathbf1 +2\cos\left(\frac\alpha2\right)\vec\alpha\times\mathbf1 +2(\vec\alpha\times\mathbf1)^2
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec\alpha=\cos(\alpha)\;\vec{n}	→	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf R=\mathbf1+\tan(\alpha)\vec{\alpha}\times\mathbf1 +\frac{1-\cos(\alpha)}{\vec{\alpha}\cdot\vec{\alpha}} (\vec\alpha\times\mathbf1)^2
$ {\vec {\alpha }}=\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\;{\vec {n}} $	→	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf R=\mathbf1 +2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\vec\alpha\times\mathbf1 +2\frac{1-\vec{\alpha}\cdot\vec{\alpha}}{\vec{\alpha}\cdot\vec{\alpha}} (\vec\alpha\times\mathbf1)^2

Darin ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\vec\alpha\times\mathbf1)^2=(\vec\alpha\times\mathbf1)\cdot(\vec\alpha\times\mathbf1)=\vec{\alpha}\otimes\vec{\alpha}-(\vec{\alpha}\cdot\vec{\alpha})\mathbf1

Beispiel für Drehspiegelung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{Q}=-\mathbf1+\sin(\alpha)\hat n\times\mathbf1 -(1+\cos(\alpha))(\hat n\times\mathbf1)^2

Drehung von Vektorraumbasis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{u}_{1,2,3}\;\textsf{nach}\;\vec{v}_{1,2,3} mit Drehachse $ {\hat {n}} $:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{Q}\cdot\vec{u}_i=\vec{v}_i \,,\quad \mathbf{Q}\cdot\vec{u}^i=\vec{v}^i \,,\quad \mathbf{Q}=\vec{v}_i\otimes\vec{u}^i=\vec{v}^i\otimes\vec{u}_i

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{n}\simeq\vec{v}_i\times\vec{u}^i=\vec{v}^i\times\vec{u}_i =-2\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf Q}}=\vec{\mathrm{i}}(\mathbf Q)

mit #Dualer axialer Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf Q}} und #Vektorinvariante Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\mathrm{i}}(\mathbf Q) .

Gegeben Orthonormalbasis $ {\hat {v}}_{1,2,3} $, Drehwinkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{v}_1 ist Drehachse:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathbf{Q}=&{\color{red}\pm}\hat{v}_1\otimes\hat{v}_1 +\cos(\alpha)(\hat{v}_2\otimes\hat{v}_2 +\hat{v}_3\otimes\hat{v}_3) +\sin(\alpha)(\hat{v}_3\otimes\hat{v}_2-\hat{v}_2\otimes\hat{v}_3) \\ =&\begin{pmatrix} {\color{red}\pm 1}& 0 & 0\\ 0 &\cos(\alpha)& -\sin(\alpha)\\ 0 &\sin(\alpha)&\cos(\alpha) \end{pmatrix}_{\hat{v}_i\otimes\hat{v}_j} \end{align}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\color{red}+1} : Drehung, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\color{red}-1} : Drehspiegelung um $ {\hat {v}}_{1} $

Wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{v}_{1,2,3} ein Rechtssystem (Mathematik) bilden, dann dreht Q gegen den Uhrzeigersinn, sonst im Uhrzeigersinn um die Drehachse.

#Eigensystem:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \lambda_1=&\mathrm{det}(\mathbf{Q})\,, & \vec{q}_1=&\hat{v}_1 \\ \lambda_2=&e^{\mathrm{i}\alpha}, & \vec{q}_2=&\frac{1}{\sqrt2}(\hat{v}_2-\mathrm{i}\hat{v}_3). \\ \lambda_3=& e^{-\mathrm{i}\alpha}, & \vec{q}_3=&\frac{1}{\sqrt2}(\hat{v}_2+\mathrm{i}\hat{v}_3) \end{align}

Drehwinkel:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \cos(\alpha)=\frac{1}{2}(\mathrm{Sp}(\mathbf{Q})-\mathrm{det}(\mathbf{Q}))

Drehachse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{n} ist #Vektorinvariante:

$ {\hat {n}}\simeq {\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {Q} )=\mathbf {1} \cdot \!\!\times \mathbf {Q} $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{Q}=\vec{s}_i\otimes\vec{e}_i=\vec{e}_i\otimes\vec{z}_i \quad\rightarrow\quad \hat{n}\simeq\vec{s}_i\times\vec{e}_i=\vec{e}_i\times\vec{z}_i

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{1}{2}(\mathbf{Q}-\mathbf{Q}^\top) = \sin(\alpha)\hat{n}\times\mathbf{1} = \sin(\alpha)\begin{pmatrix} 0 & -n_3 & n_2\\ n_3 & 0 & -n_1\\ -n_2 & n_1 & 0\end{pmatrix} ,\quad |\hat n|=1

Positiv definite Tensoren

Definition

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}:\quad\vec{v}\cdot\mathbf{A}\cdot\vec{v}> 0 \quad\forall\;\vec{v}\in\mathbb{V}\setminus\{\vec{0}\}

Kofaktor: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{cof}(\mathbf{A}) =\mathbf{A^\top\cdot A^\top}-\mathrm{I}_1(\mathbf{A})\mathbf{A}^\top +\mathrm{I}_2(\mathbf{A})\mathbf{1} =\det(\mathbf{A})\mathbf{A}^{\top-1}

Notwendige Bedingungen für positive Definitheit:

$ \mathrm {det} (\mathbf {A} )>0 $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}= A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j \quad\rightarrow\quad A_{11},\,A_{22},\,A_{33}> 0

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}= A^i_j\vec{a}_i\otimes\vec{a}^j \quad\rightarrow\quad A^1_1,\,A^2_2,\,A^3_3 > 0

Notwendige und hinreichende Bedingung für positive Definitheit: Alle #Eigenwerte von A sind größer als null.

Immer positiv definit falls det(A) ≠ 0:

A·A^⊤ und A^⊤·A

Symmetrische Tensoren

Definition

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}:\quad\mathbf{A}=\mathbf{A}^\top

Kofaktor: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{cof}(\mathbf{A})=\mathrm{adj}(\mathbf{A}) =\mathbf{A}^2-\mathrm{Sp}(\mathbf{A})\mathbf{A} +\mathrm{I}_2(\mathbf{A})\mathbf{1}

#Betrag:

$ \quad \parallel \mathbf {A} \parallel ={\sqrt {\mathrm {Sp} ^{2}(\mathbf {A} )-2\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} )}}={\sqrt {\mathrm {Sp} (\mathbf {A} ^{2})}}={\sqrt {\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}}} $

Bei Symmetrischen Tensoren verschwinden ihr #Dualer axialer Vektor und ihre #Vektorinvariante:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}^\mathrm{S}}} =\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A}^\mathrm{S})=\vec{0}

Bilinearform:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{u}\cdot\mathbf{A}\cdot\vec{v} =\vec{v}\cdot\mathbf{A}\cdot\vec{u} \quad\forall\vec{u},\vec{v}\in\mathbb{V}

Alle #Eigenwerte λ_1,2,3 sind reell. Alle #Eigenvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec a_{1,2,3} sind reell und paarweise orthogonal zueinander oder orthogonalisierbar. Hauptachsentransformation:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathbf{A} =& \sum_{i=1}^3\lambda_i\hat{a}_i\otimes\hat{a}_i = (\hat{a}_i\otimes\hat{e}_i) \left(\sum_{i=1}^3\lambda_j\hat{e}_j\otimes\hat{e}_j\right) (\hat{e}_k\otimes\hat{a}_k) \\=& \begin{pmatrix}\hat{a}_1&\hat{a}_2&\hat{a}_3\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} \lambda_1& 0& 0\\ 0&\lambda_2& 0\\ 0& 0&\lambda_3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\hat{a}_1&\hat{a}_2&\hat{a}_3\end{pmatrix}^\top \end{align}

Bezüglich der Standardbasis:

$ \mathbf {A} =A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{12}&A_{22}&A_{23}\\A_{13}&A_{23}&A_{33}\end{pmatrix}} $

#Invarianten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{Sp}(A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j) =A_{11}+A_{22}+A_{33}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{I}_2(A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j) =A_{11}A_{22}+A_{11}A_{33}+A_{22}A_{33}-A_{12}^2-A_{13}^2-A_{23}^2

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathrm{det}(A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j) =&A_{11}(A_{22}A_{33}- A_{23}^2)+A_{12}(A_{23}A_{13}- A_{12}A_{33}) \\& +A_{13}(A_{12}A_{23}- A_{13}A_{22}) \end{align}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \parallel A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j\parallel =\sqrt{A_{11}^{2}+A_{22}^{2}+A_{33}^{2} +2 A_{12}^{2}+ 2 A_{13}^{2}+2 A_{23}^{2}}

Symmetrische und positiv definite Tensoren

Definition

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}:\quad \mathbf{A}=\mathbf{A}^\top \quad\text{und}\quad \vec{v}\cdot\mathbf{A}\cdot\vec{v}> 0 \quad\forall\;\vec{v}\in\mathbb{V}\setminus\{\vec{0}\}

Kofaktor: $ \mathrm {cof} (\mathbf {A} )=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\mathrm {det} (\mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {A} ^{2}-\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )\mathbf {A} +\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} )\mathbf {1} $

Mit den #Eigenwerten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda_1,\,\lambda_2,\,\lambda_3 , den #Eigenvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{a}_1,\,\hat{a}_2,\,\hat{a}_3 und einer reellwertigen Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f(x)\in\R eines reellen Argumentes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x\in\R definiert man über das #Eigensystem symmetrischer Tensoren

$ {\begin{aligned}\mathbf {A} =&\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}{\hat {a}}_{i}\otimes {\hat {a}}_{i}\\=&{\begin{pmatrix}{\hat {a}}_{1}&{\hat {a}}_{2}&{\hat {a}}_{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&0\\0&\lambda _{2}&0\\0&0&\lambda _{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{\hat {a}}_{1}&{\hat {a}}_{2}&{\hat {a}}_{3}\end{pmatrix}}^{\top }\end{aligned}} $

den Funktionswert des Tensors:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} f(\mathbf{A}) :=& \sum_{i=1}^3 f(\lambda_i)\hat{a}_i\otimes\hat{a}_i \\=& \begin{pmatrix}\hat{a}_1&\hat{a}_2&\hat{a}_3\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} f(\lambda_1)& 0& 0\\ 0& f(\lambda_2)& 0\\ 0& 0& f(\lambda_3) \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\hat{a}_1&\hat{a}_2&\hat{a}_3\end{pmatrix}^\top \end{align}

Ist f eine mehrdeutige Funktion, wie die Wurzel (Mathematik), mit n alternativen Werten, dann steht f(A) mehrdeutig für n³ alternative Tensoren.

Insbesondere mit dem Deformationsgradient F:

Rechter Strecktensor

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{U} =+\sqrt{\mathbf{F}^\top\cdot\mathbf{F}}

Linker Strecktensor

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{v} =+\sqrt{\mathbf{F\cdot F}^\top}

Henky-Dehnung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{E}_H :=\ln(\mathbf{U}) =\frac{1}{2}\ln(\mathbf{F}^\top\cdot\mathbf{F})

Voigt-Notation symmetrischer Tensoren zweiter Stufe

Die Tensoren

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathbf{S}_1=&\vec{e}_1\otimes\vec{e}_1\\ \mathbf{S}_2=&\vec{e}_2\otimes\vec{e}_2\\ \mathbf{S}_3=&\vec{e}_3\otimes\vec{e}_3\\ \mathbf{S}_{4}=&\vec{e}_2\otimes\vec{e}_3+\vec{e}_3\otimes\vec{e}_2\\ \mathbf{S}_{5}=&\vec{e}_1\otimes\vec{e}_3+\vec{e}_3\otimes\vec{e}_1\\ \mathbf{S}_{6}=&\vec{e}_1\otimes\vec{e}_2+\vec{e}_2\otimes\vec{e}_1 \end{align}

bilden eine Basis im Vektorraum $ \mathrm {sym} (\mathbb {V} ,\mathbb {V} )\subset {\mathcal {L}} $ der symmetrischen Tensoren zweiter Stufe. Bezüglich dieser Basis können alle symmetrischen Tensoren zweiter Stufe in Voigt'scher Notation dargestellt werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}\in\mathrm{sym}(\mathbb{V},\mathbb{V}) \quad\rightarrow\quad \mathbf{A} = A_r\mathbf{S}_r \hat=\begin{bmatrix} A_1\\ A_2\\ A_3\\ A_{4}\\ A_{5}\\ A_{6} \end{bmatrix}

Diese Vektoren dürfen addiert, subtrahiert und mit einem Skalar multipliziert werden. Beim Skalarprodukt muss

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}:\mathbf{B} = A_1 B_1 + A_2 B_2 + A_3 B_3 + 2 A_4 B_4 + 2 A_5 B_5 + 2 A_6 B_6

berücksichtigt werden. Siehe auch #Voigt'sche Notation von Tensoren vierter Stufe.

Schiefsymmetrische Tensoren

Definition

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}:\quad\mathbf{A}=-\mathbf{A}^\top

Kofaktor: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{cof}(\mathbf{A})=\mathrm{adj}(\mathbf{A}) =\mathbf{A\cdot A}+\mathrm{I}_2(\mathbf{A})\mathbf1 =\mathbf{A\cdot A}-\frac12\mathrm{Sp}(\mathbf{A}^2)\mathbf1

#Invarianten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{Sp}(\mathbf{A})=0

$ \mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} )=-{\frac {1}{2}}\mathrm {Sp} (\mathbf {A} ^{2}) $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{det}(\mathbf{A})=0

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \quad\parallel\mathbf{A}\parallel =\sqrt{2\mathrm{I}_2(\mathbf{A})} =\sqrt{-\mathrm{Sp}(\mathbf{A}^2)}

In kartesischen Koordinaten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A} = A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j =\begin{pmatrix} 0& A_{12}& A_{13}\\ -A_{12}& 0& A_{23}\\ -A_{13}& -A_{23}& 0 \end{pmatrix}

#Invarianten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{Sp}(A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j)=0

$ \mathrm {I} _{2}(A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})=A_{12}^{2}+A_{13}^{2}+A_{23}^{2} $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{det}(A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j)=0

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \parallel A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j\parallel =\sqrt{2}\sqrt{A_{12}^2+A_{13}^2+A_{23}^2}

Bilinearform:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{u}\cdot\mathbf{A}\cdot\vec{v} =-\vec{v}\cdot\mathbf{A}\cdot\vec{u} \quad\forall\vec{u},\vec{v}\in\mathbb{V}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v}\cdot\mathbf{A}\cdot\vec{v}=0 \quad\forall\vec{v}\in\mathbb{V}

Ein Eigenwert ist null, zwei imaginär konjugiert komplex, siehe #Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix.

#Dualer axialer Vektor:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} &\mathbf{A}_\times :=\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}}} :=-\frac{1}{2}\mathbf{1}\times\mathbf{A}^\top =-\frac{1}{2}\mathbf{1}\cdot\!\!\times\mathbf{A} = -\frac{1}{2}\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A}) \\& \rightarrow\quad \mathbf{A}\cdot\vec{v}=\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}}}\times\vec{v} \quad\forall\vec{v}\in\mathbb{V} \end{align}

mit #Vektorinvariante $ {\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {A} ) $. Der zum Eigenwert null gehörende #Eigenvektor ist proportional zum dualen axialen Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}_\times denn

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A\cdot A}_\times =\mathbf{A}_\times\times\mathbf{A}_\times =\vec{0}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A} = A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j \quad\rightarrow\; \mathbf{A}_\times =-\frac{1}{2}A_{ij}\hat{e}_i\times\hat{e}_j =\begin{pmatrix}-A_{23}\\A_{13}\\-A_{12}\end{pmatrix}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A} = A_{ij}(\vec{a}_i\otimes\vec{b}_j -\vec{b}_j\otimes\vec{a}_i) \quad\rightarrow\; \mathbf{A}_\times=-A_{ij}\vec{a}_i\times\vec{b}_j

Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix

Kreuzproduktmatrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): [\vec{u}]_\times eines Vektors $ {\vec {u}} $:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \vec{u} =u_i\hat{e}_i =&\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{pmatrix} \\ \rightarrow\; [\vec{u}]_\times=&\vec{u}\times\mathbf{1} =\vec{u}\times\hat{e}_i\otimes\hat{e}_i =-\stackrel{3}{\mathbf{E}}\cdot\vec{u} =\begin{pmatrix}0&-u_3&u_2\\ u_3&0&-u_1\\ -u_2&u_1&0 \end{pmatrix}\in\mathcal{L} \end{align}

Kofaktor: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{cof}(\vec{u}\times\mathbf{1}) =\mathrm{adj}(\vec{u}\times\mathbf{1}) =\vec{u}\otimes\vec{u}

#Invarianten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{Sp}=0

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{I}_2=\vec{u}\cdot\vec{u}= u_1^2 + u_2^2 + u_3^2

$ \mathrm {det} =0 $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \|\vec{u}\times\mathbf{1}\| =\sqrt{2\vec{u}\cdot\vec{u}}=\sqrt{2}\sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{A}{\overrightarrow{\vec{u}\times\mathbf{1}}}=\vec u

#Eigensystem:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \lambda_1=& 0\,, &\vec{v}_1=&\vec{u} \\ \lambda_{2,3}=&\mp\mathrm{i}|\vec{u}|\,, & \vec{v}_{2,3}&\simeq& \frac{u_1}{|\vec{u}|}\begin{pmatrix}u_1\\ u_2\\ u_3\end{pmatrix} \pm\mathrm{i}\begin{pmatrix}\pm\mathrm{i}|\vec{u}|\\ -u_3\\ u_2\end{pmatrix} \end{align}

Eigenschaften:

$ {\vec {u}}\times {\vec {v}}=({\vec {u}}\times \mathbf {1} )\cdot {\vec {v}}={\vec {u}}\cdot ({\vec {v}}\times \mathbf {1} ) $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{u}\times\mathbf{1}=\mathbf{1}\times\vec{u}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\vec{u}\times\mathbf{1})^\top=-\vec{u}\times\mathbf{1}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{u} =-\frac{1}{2}\mathbf{1}\cdot\!\!\times(\vec{u}\times\mathbf{1}) =-\frac{1}{2}(\mathbf{1}\times\vec{u})\times\mathbf{1} =\frac{1}{2}\mathbf{1}\times(\vec{u}\times\mathbf{1})

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec u\times(\vec v\times\mathbf1) =(\vec u\times\mathbf1)\cdot(\vec v\times\mathbf1) =\vec v\otimes\vec u-(\vec u\cdot\vec v)\mathbf1

$ {\vec {u}}\times ({\vec {v}}\times \mathbf {1} )\cdot {\vec {w}}={\vec {u}}\times ({\vec {v}}\times {\vec {w}})=({\vec {u}}\cdot {\vec {w}}){\vec {v}}-({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}){\vec {w}} $

Potenzen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): [\vec{u}]_\times=\vec{u}\times\mathbf{1}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): [\vec{u}]_\times^2=[\vec{u}]_\times\cdot[\vec{u}]_\times =\vec{u}\otimes\vec{u}-(\vec{u}\cdot\vec{u})\mathbf{1}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): [\vec{u}]_\times^3=-(\vec{u}\cdot\vec{u})[\vec{u}]_\times

Deviatorische Tensoren

Definition

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}:\quad \mathrm{Sp}(\mathbf{A})=0

Kofaktor: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{cof}(\mathbf{A}) =\left(\mathbf{A}^2\right)^\top+\mathrm{I}_2(\mathbf{A})\mathbf1 =\left(\mathbf{A}^2\right)^\top-\frac12\mathrm{Sp}(\mathbf{A}^2)\mathbf1

#Hauptinvarianten:

$ \mathrm {Sp} (\mathbf {A} ):=0 $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{I}_2(\mathbf{A})=-\frac12\mathrm{Sp}(\mathbf{A}^2)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{det}(\mathbf{A})=\frac13\mathrm{Sp}(\mathbf{A}^3)

Bezüglich der Standardbasis:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A} = A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j =\begin{pmatrix} A_{11}& A_{12}& A_{13}\\ A_{21}& A_{22}& A_{23}\\ A_{31}& A_{32}& -A_{11}-A_{22} \end{pmatrix}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{Sp}(A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j) =0

$ \mathrm {I} _{2}(A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})=-A_{11}^{2}-A_{22}^{2}-A_{11}A_{22}-A_{12}A_{21}-A_{13}A_{31}-A_{23}A_{32} $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathrm{det}(A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j) =&-A_{11}(A_{11}A_{22}+A_{22}^2+A_{23}A_{32}) \\&+A_{12}(A_{23}A_{31}+A_{21}A_{11}+A_{21}A_{22}) \\&+A_{13}(A_{21}A_{32}-A_{22}A_{31}) \end{align}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \parallel A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j\parallel =\sqrt{\begin{array}{r}2 A_{11}^{2}+ 2 A_{22}^{2}+2 A_{11}A_{22} +A_{12}^{2}+A_{21}^{2}+\ldots \\ \ldots+A_{13}^{2}+A_{31}^{2}+A_{23}^{2}+A_{32}^{2}\end{array} }

Kugeltensoren

Definition

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}:\quad\mathbf{A}= a\mathbf{1} =\begin{pmatrix} a & 0 & 0\\ 0 & a & 0\\ 0 & 0 & a \end{pmatrix}

Kofaktor: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{cof}(\mathbf{A})=\mathrm{adj}(\mathbf{A})=a^2\mathbf1

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{Sp}(\mathbf{A})=3 a

$ \mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} )=3a^{2} $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{det}(\mathbf{A})= a^3

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \parallel\mathbf{A}\parallel =\sqrt{3}|a|

Dekompositionen eines Tensors

Gegeben ein beliebiger Tensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}=A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j

Symmetrischer Anteil

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}^\mathrm{S}=\mathrm{sym}(\mathbf{A}) :=\frac{1}{2}(\mathbf{A}+\mathbf{A}^\top)

$ \mathbf {A} ^{\mathrm {S} }={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}2A_{11}&A_{12}+A_{21}&A_{13}+A_{31}\\A_{12}+A_{21}&2A_{22}&A_{23}+A_{32}\\A_{13}+A_{31}&A_{23}+A_{32}&2A_{33}\end{pmatrix}} $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{Sp}(\mathbf{A}^\mathrm{S}) =\mathrm{Sp}(\mathbf{A}) =A_{11}+A_{22}+A_{33}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathrm{I}_2(\mathbf{A}^\mathrm{S}) =&\frac12\mathrm{I}_2(\mathbf{A})+\frac14\mathrm{Sp}^2(\mathbf{A}) -\frac14\mathbf{A:A} \\=& A_{11}A_{22}+ A_{11}A_{33}+ A_{22}A_{33} \\& -\frac14\left[(A_{12}+A_{21})^2+(A_{13}+ A_{31})^2+(A_{23}+ A_{32})^2\right] \end{align}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathrm{det}(\mathbf{A}^\mathrm{S}) =&\frac14\mathrm{det}(\mathbf{A})+\frac14\mathbf{A}:\mathrm{adj}(\mathbf{A}) \\=& A_{11}A_{22}A_{33} +\frac{1}{4}(A_{12}+ A_{21})(A_{23}+ A_{32})(A_{13}+ A_{31}) \\ & -\frac{1}{4}\left[A_{11}(A_{23}+ A_{32})^2 +A_{22}(A_{13}+ A_{31})^2+A_{33}(A_{12}+ A_{21})^2\right] \end{align}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \parallel(\mathbf{A}^\mathrm{S})\parallel =&\sqrt{\mathbf{A:A}^\mathrm{S}} \\=& \sqrt{A_{11}^2 + A_{22}^2 + A_{33}^2 +\frac{1}{2} [(A_{12}+ A_{21})^2 +(A_{13}+ A_{31})^2 +(A_{23}+ A_{32})^2] } \end{align}

Schiefsymmetrischer Anteil

$ \mathbf {A} ^{\mathrm {A} }=\mathrm {skw} (\mathbf {A} ):={\frac {1}{2}}(\mathbf {A} -\mathbf {A} ^{\top }) $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}^\mathrm{A} =\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & A_{12}-A_{21}& A_{13}-A_{31}\\ A_{21}-A_{12}& 0 & A_{23}-A_{32}\\ A_{31}-A_{13}& A_{32}-A_{23}& 0 \end{pmatrix}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{Sp}(\mathbf{A}^\mathrm{A})= 0

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathrm{I}_2(\mathbf{A}^\mathrm{A}) =&\frac14\left[\mathbf{A:A}-\mathrm{Sp}(\mathbf{A}^2)\right] \\=& \frac{1}{4}\left[(A_{12}-A_{21})^2 +(A_{13}-A_{31})^2+(A_{23}-A_{32})^2\right] \end{align}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{det}(\mathbf{A}^\mathrm{A})=0

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \parallel\mathbf{A}^\mathrm{A}\parallel =\sqrt{\mathbf{A:A}^\mathrm{A}} =\sqrt{\frac{1}{2}} \sqrt{(A_{12}-A_{21})^2+(A_{13}-A_{31})^2+(A_{32}-A_{23})^2}

Deviator

$ \mathbf {A} ^{\mathrm {D} }=\mathrm {dev} (\mathbf {A} ):=\mathbf {A} -{\frac {1}{3}}\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )\mathbf {1} $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}^\mathrm{D} =\begin{pmatrix} \frac{2A_{11}-A_{22}-A_{33}}{3}&A_{12}&A_{13}\\ A_{21}&\frac{2A_{22}-A_{11}-A_{33}}{3}&A_{23}\\ A_{31}&A_{32}&\frac{2A_{33}-A_{11}-A_{22}}{3} \end{pmatrix}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{Sp}(\mathbf{A}^\mathrm{D})= 0

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathrm{I}_2(\mathbf{A}^\mathrm{D}) =&\mathrm{I}_2(\mathbf A)-\frac13\mathrm{Sp}^2(\mathbf A) =\frac16\mathrm{Sp}^2(\mathbf A)-\frac12\mathrm{Sp}(\mathbf A^2) \\=& \frac{1}{3}(A_{11}A_{22}+A_{11}A_{33}+A_{22}A_{33}-A_{11}^2-A_{22}^2-A_{33}^2) \\& -A_{12}A_{21}-A_{13}A_{31}-A_{23}A_{32} \end{align}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathrm{det}(\mathbf{A}^\mathrm{D}) =&\mathrm{det}(\mathbf{A})+\frac{2}{27}\mathrm{Sp}^3(\mathbf{A}) -\frac13\mathrm{Sp}(\mathbf{A})\mathrm{I}_2(\mathbf{A}) \\=& \frac{1}{27}\Big[12A_{11}A_{22}A_{33} +2(A_{11}^3+A_{22}^3+A_{33}^3)\ldots \\& \qquad\ldots-3A_{11}^2(A_{22}+A_{33}) -3A_{22}^2(A_{11}+A_{33}) -3A_{33}^2(A_{11}+A_{22})\Big] \\ &-\frac{1}{3}\Big[(2A_{11}-A_{22}-A_{33})A_{23}A_{32} +(2A_{22}-A_{11}-A_{33})A_{13}A_{31}+\ldots \\& \qquad\ldots+(2A_{33}-A_{11}-A_{22})A_{12}A_{21}\Big] \\& +A_{13}A_{32}A_{21}+A_{12}A_{23}A_{31} \end{align}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \parallel\mathbf{A}^\mathrm{D}\parallel = \sqrt{\begin{array}{r} \frac{2}{3}(A_{11}^2+A_{22}^2+A_{33}^2-A_{11}A_{22}-A_{11}A_{33}-A_{22}A_{33}) +\ldots \\ \ldots+A_{12}^2+A_{21}^2+A_{13}^2+A_{31}^2+A_{23}^2+A_{32}^2 \end{array}}

Kugelanteil

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}^\mathrm{K}=\mathrm{sph}(\mathbf{A}) :=\frac{1}{3}\mathrm{Sp}(\mathbf{A})\mathbf{1}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}^\mathrm{K} =\frac{1}{3}(A_{11}+A_{22}+A_{33}) \begin{pmatrix}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{pmatrix}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{Sp}(\mathbf{A}^\mathrm{K}) =\mathrm{Sp}(\mathbf{A})= A_{11}+A_{22}+A_{33}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{I}_2(\mathbf{A}^\mathrm{K}) =\frac13\mathrm{Sp}^2(\mathbf{A}) =\frac{1}{3}(A_{11}+A_{22}+A_{33})^2

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{det}(\mathbf{A}^\mathrm{K}) =\frac{1}{27}\mathrm{Sp}^3(\mathbf{A}) =\frac{1}{27}(A_{11}+A_{22}+A_{33})^3

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \parallel\mathbf{A}^\mathrm{K}\parallel =\frac{1}{\sqrt{3}}|\mathrm{Sp}(\mathbf{A})| =\frac{1}{\sqrt{3}}|A_{11}+A_{22}+A_{33}|

Beziehung zwischen den Anteilen des Tensors

$ \mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\mathrm {S} }+\mathbf {A} ^{\mathrm {A} }=\mathbf {A} ^{\mathrm {D} }+\mathbf {A} ^{\mathrm {K} } $

Symmetrische und schiefsymmetrische Tensoren sind orthogonal zueinander:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}^\mathrm{S}:\mathbf{B}^\mathrm{A} =0

Deviatoren und Kugeltensoren sind orthogonal zueinander:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}^\mathrm{D}:\mathbf{B}^\mathrm{K} =0

Polarzerlegung

Für jeden Tensor F mit #Determinante ≠ 0 gibt es #Orthogonale Tensoren Q und #Symmetrische und positiv definite Tensoren U in eindeutiger Weise, sodass

F = Q·U

Im Fall des Deformationsgradienten ist U der rechte Strecktensor, siehe #Symmetrische und positiv definite Tensoren. Der Anteil U berechnet sich wie dort angegeben aus

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{U}=+\sqrt{\mathbf{F^\top\cdot F}}

Dann ist U·U = F^⊤·F und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{Q}=\mathbf{F\cdot U}^{-1}

Bei det(F)=0 ergeben sich U sowie Q aus der Singulärwertzerlegung von F und U ist nur noch symmetrisch positiv semidefinit.

Projektionen

Punkt auf Gerade

Gegeben sei die Gerade durch den Punkt $ {\vec {x}} $ mit Richtungsvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{g} und ein beliebiger anderer Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{p} .

Dann ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \vec{p}=&\vec{x}+\vec{a}+\vec{b} \quad\textsf{mit}\quad \vec{a}\|\vec{g} \quad\text{und}\quad \vec{b}\bot\vec{g} \\ \mathbf{G}=&\frac{\vec{g}\otimes\vec{g}}{\vec{g}\cdot\vec{g}} \quad\rightarrow\quad \mathbf{G}\cdot\vec{g}=\vec{g} \,,\quad (\mathbf{1}-\mathbf{G})\cdot\vec{g}=\vec{0} \\ &\vec{n}\cdot\vec{g}= 0 \quad\rightarrow\quad \mathbf{G}\cdot\vec{n}=\vec{0} \,,\quad (\mathbf{1}-\mathbf{G})\cdot\vec{n}=\vec{n} \\ \vec{a}=&\mathbf{G}\cdot(\vec{p}-\vec{x}) =\frac{\vec{g}\cdot(\vec{p}-\vec{x})}{\vec{g}\cdot\vec{g}}\vec{g} \\ \vec{b}=&\left(\mathbf{1}-\mathbf{G}\right) \cdot(\vec{p}-\vec{x})=\vec{p}-\vec{x}-\vec{a} \end{align}

Der Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{x}+\vec{a} ist die senkrechte Projektion von $ {\vec {p}} $ auf die Gerade. Der Tensor G extrahiert den Anteil eines Vektors in Richtung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{g} und 1-G den Anteil senkrecht dazu.

Punkt oder Gerade auf Ebene

Gegeben sei die Ebene durch den Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{x} und zwei die Ebene aufspannende Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{u} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v}\not\!\|\vec{u} sowie ein beliebiger anderer Punkt $ {\vec {p}} $. Dann verschwindet die Normale

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat n=\frac{\vec{u}\times\vec{v}}{|\vec{u}\times\vec{v}|}

nicht. Dann ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \vec{p}=&\vec{x}+\vec{a}+\vec{b} \quad\textsf{mit}\quad \vec{a}\bot\hat n \quad\text{und}\quad \vec{b}\|\hat n \\ \mathbf{P}=&\frac{(\vec{v}\cdot\vec{v})\vec{u}\otimes\vec{u} -(\vec{u}\cdot\vec{v})(\vec{u}\otimes\vec{v}+\vec{v}\otimes\vec{u}) +(\vec{u}\cdot\vec{u})\vec{v}\otimes\vec{v}}{(\vec{u}\cdot\vec{u})(\vec{v}\cdot\vec{v}) -(\vec{u}\cdot\vec{v})^2} =\mathbf1-\hat n\otimes\hat n \\ &\rightarrow\mathbf{P}\cdot\vec{u}=\vec{u} \,,\quad \mathbf{P}\cdot\vec{v}=\vec{v} \,,\quad \mathbf{P}\cdot\hat n=\vec{0} \,,\quad (\mathbf{1}-\mathbf{P})\cdot\hat n=\hat n \\ &\rightarrow \mathbf{P}\cdot(x\vec{u}+ y\vec{v})=x\vec{u}+ y\vec{v} \quad\text{und}\quad (\mathbf{1}-\mathbf{P})\cdot(x\vec{u}+ y\vec{v})=\vec{0}\quad\forall x, y\in\R \\ \vec{a}=&\mathbf{P}\cdot(\vec{p}-\vec{x}) \\ \vec{b}=&(\mathbf{1}-\mathbf{P})\cdot(\vec{p}-\vec{x})=\vec{p}-\vec{x}-\vec{a} \end{align}

Der Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{x}+\vec{a} ist die senkrechte Projektion von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{p} auf die Ebene.^[2] Der Tensor P extrahiert den Anteil eines Vektors in der Ebene und 1-P den Anteil senkrecht dazu.

Die Projektion der Geraden, die durch die Punkte $ {\vec {x}} $ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{p} verläuft, liegt in der Ebene in Richtung des Vektors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{a} .

Falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\vec{u}|=|\vec{v}| = 1 und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{u}\bot\vec{v} folgt:

$ {\hat {n}}={\vec {u}}\times {\vec {v}}\quad {\text{mit}}\quad |{\hat {n}}|=1 $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{P}=\vec{u}\otimes\vec{u}+\vec{v}\otimes\vec{v} =\mathbf{1}-\hat n\otimes\hat n

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{a}=(\vec{u}\otimes\vec{u}+\vec{v}\otimes\vec{v})\cdot(\vec{p}-\vec{x}) =(\mathbf{1}-\hat n\otimes\hat n)\cdot(\vec{p}-\vec{x})

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{b}=(\mathbf{1}-\vec{u}\otimes\vec{u} -\vec{v}\otimes\vec{v})\cdot(\vec{p}-\vec{x}) =(\hat n\otimes\hat n)\cdot(\vec{p}-\vec{x})

Fundamentaltensor 3. Stufe

Definition:

$ {\begin{aligned}{\stackrel {3}{\mathbf {E} }}:=&\epsilon _{ijk}\,{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{k}\\=&({\hat {e}}_{j}\times {\hat {e}}_{k})\otimes {\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{k}\\=&{\hat {e}}_{i}\otimes ({\hat {e}}_{k}\times {\hat {e}}_{i})\otimes {\hat {e}}_{k}\\=&{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}\otimes ({\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{j})\end{aligned}} $

Kreuzprodukt von Vektoren:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{u}\times\vec{v} =\stackrel{3}{\mathbf{E}}:(\vec{u}\otimes\vec{v}) =\vec v\cdot\stackrel{3}{\mathbf{E}}\cdot\vec u =-\vec u\cdot\stackrel{3}{\mathbf{E}}\cdot\vec v =-\stackrel{3}{\mathbf{E}}:(\vec{v}\otimes\vec u) = -\vec{v}\times\vec{u}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{e}_i\times\vec{e}_j =\epsilon_{ijk}\,\hat{e}_k

#Kreuzprodukt von Tensoren, #Skalarkreuzprodukt von Tensoren:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \stackrel{3}{\mathbf{E}}:\mathbf{A} =&\mathbf{A}:\stackrel{3}{\mathbf{E}} =-\stackrel{3}{\mathbf{E}}:(\mathbf{A}^\top) =-(\mathbf{A}^\top):\stackrel{3}{\mathbf{E}} \\ =&\mathbf{1}\times\mathbf{A}^\top =\mathbf{1}\cdot\!\!\times\mathbf{A} \end{align}

#Dualer axialer Vektor und #Vektorinvariante:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{3}{\mathbf{E}}:\mathbf{A} =-2\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}}} =\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A})

#Kreuzprodukt von Tensoren:

$ \mathbf {A} \times \mathbf {B} ={\stackrel {3}{\mathbf {E} }}:(\mathbf {A\cdot B} ^{\top }) $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (A_{ik}\vec{e}_i\otimes\vec{e}_k)\times (B_{jl}\vec{e}_j\otimes\vec{e}_l) = A_{ik}B_{jk}\vec{e}_i\times\vec{e}_j = \epsilon_{ijk}A_{jl}B_{kl}\vec{e}_i

#Skalarkreuzprodukt von Tensoren:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}\cdot\!\!\times\mathbf{B} =\stackrel{3}{\mathbf{E}}:(\mathbf{A\cdot B})

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (A_{ik}\vec{e}_i\otimes\vec{e}_k)\cdot\!\!\times (B_{lj}\vec{e}_l\otimes\vec{e}_j) = A_{ik}B_{kj}\vec{e}_i\times\vec{e}_j = \epsilon_{ijk}A_{jl}B_{lk}\vec{e}_i

#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{3}{\mathbf{E}}\cdot\vec{u} =\vec{u}\cdot\stackrel{3}{\mathbf{E}} = -\vec{u}\times\mathbf{1} = -\mathbf{1}\times\vec{u}

Tensoren vierter Stufe

Tensoren zweiter Stufe sind ebenfalls Elemente eines Vektorraums $ {\mathcal {L}} $ wie im Abschnitt #Tensoren als Elemente eines Vektorraumes dargestellt. Daher kann man Tensoren vierter Stufe definieren, indem man in dem Kapitel formal die Tensoren zweiter Stufe durch Tensoren vierter Stufe und die Vektoren durch Tensoren zweiter Stufe ersetzt, z. B.:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{4}{\mathbf{A}} =A_{pq}(\mathbf{A}_p\otimes\mathbf{G}_q)

mit Komponenten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A_{pq} und die Tensoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}_1,\mathbf{A}_2,\ldots,\mathbf{A}_{9}\in\mathcal{L} sowie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{G}_1,\mathbf{G}_2,\ldots,\mathbf{G}_{9}\in\mathcal{L} bilden eine Basis von $ {\mathcal {L}} $.

Standardbasis in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{L} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{E}_1=\vec{e}_1\otimes\vec{e}_1, \mathbf{E}_2=\vec{e}_1\otimes\vec{e}_2, \mathbf{E}_3=\vec{e}_1\otimes\vec{e}_3, \mathbf{E}_{4}=\vec{e}_2\otimes\vec{e}_1, \ldots, \mathbf{E}_{9}=\vec{e}_3\otimes\vec{e}_3

Tensortransformation:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{4}{\mathbf{A}}:\mathbf{H} =A_{pq}(\mathbf{A}_p\otimes\mathbf{G}_q):\mathbf{H}: =A_{pq}(\mathbf{G}_q:\mathbf{H})\mathbf{A}_p

Tensorprodukt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): [A_{pq}(\mathbf{A}_p\otimes\mathbf{G}_q)]: [B_{rs}(\mathbf{H}_r\otimes\mathbf{U}_s)] :=A_{pq}(\mathbf{G}_q:\mathbf{H}_r)B_{rs} \mathbf{A}_p\otimes\mathbf{U}_s

Übliche Schreibweisen für Tensoren vierter Stufe:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{4}{\mathbf{A}}=\mathbb{A} =A_{ijkl}\;\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l

Transpositionen

Transposition:

$ (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{\top }=\mathbf {B} \otimes \mathbf {A} $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (A_{ijkl}\;\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l)^\top := A_{ijkl}\;\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l\otimes\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j

Spezielle Transposition Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{4}{\mathbf{A}}{}^{\stackrel{mn}{\top}} vertauscht Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m -tes mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n -tem Basissystem.

Beispielsweise:

$ {\stackrel {4}{\mathbf {A} }}{}^{\stackrel {13}{\top }}:=A_{ijkl}\;{\vec {e}}_{k}\otimes {\vec {e}}_{j}\otimes {\vec {e}}_{i}\otimes {\vec {e}}_{l} $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{4}{\mathbf{A}}{}^{\stackrel{24}{\top}} := A_{ijkl}\;\vec{e}_i\otimes\vec{e}_l\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_j

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{4}{\mathbf{A}}\,^\top =\left(\stackrel{4}{\mathbf{A}}{}^{\stackrel{13}{\top}}\right) {}^{\stackrel{24}{\top}} = A_{ijkl}\;\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l\otimes\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j

Symmetrische Tensoren vierter Stufe

Definition: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{4}{\mathbf{A}}=\stackrel{4}{\mathbf{A}}{}^\top

Dann gilt: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{4}{\mathbf{A}}:\mathbf{B}=\mathbf{B}:\stackrel{4}{\mathbf{A}}

Einheitstensor vierter Stufe

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \stackrel{4}{\mathbf{1}} :=&\mathbf{E}_p\otimes\mathbf{E}_p =\stackrel{4}{\mathbf{1}}{}^\top =(\mathbf{1}\otimes\mathbf{1})\,^{\stackrel{23}{\top}} \\ =&\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j =\delta_{ik}\delta_{jl} (\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l) \end{align}

Spezielle Tensoren vierter Stufe

Für beliebige Tensoren zweiter Stufe A gilt:

$ {\stackrel {4}{\mathbf {C} }}=\mathbf {E} _{p}^{\top }\otimes \mathbf {E} _{p}=\delta _{il}\delta _{jk}({\vec {e}}_{i}\otimes {\vec {e}}_{j}\otimes {\vec {e}}_{k}\otimes {\vec {e}}_{l})\rightarrow {\stackrel {4}{\mathbf {C} }}:\mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\top } $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{4}{\mathbf{C}} =\frac{1}{3}\mathbf{1}\otimes\mathbf{1} =\frac{1}{3}\delta_{ij}\delta_{kl} (\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l) \rightarrow \stackrel{4}{\mathbf{C}}:\mathbf{A} =\mathbf{A}^\mathrm{K}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{4}{\mathbf{C}} =\stackrel{4}{\mathbf{1}}-\frac{1}{3}\mathbf{1}\otimes\mathbf{1} =(\delta_{ik}\delta_{jl}-\frac{1}{3}\delta_{ij}\delta_{kl}) (\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l) \rightarrow \stackrel{4}{\mathbf{C}}:\mathbf{A} =\mathbf{A}^\mathrm{D}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{4}{\mathbf{C}} =\frac{1}{2}\left( \stackrel{4}{\mathbf{1}} +\mathbf{E}_p^\top\otimes\mathbf{E}_p \right) =\frac{1}{2}(\delta_{ik}\delta_{jl}+\delta_{il}\delta_{jk}) (\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l) \rightarrow \stackrel{4}{\mathbf{C}}:\mathbf{A} =\mathbf{A}^\mathrm{S}

$ {\stackrel {4}{\mathbf {C} }}={\frac {1}{2}}\left({\stackrel {4}{\mathbf {1} }}-\mathbf {E} _{p}^{\top }\otimes \mathbf {E} _{p}\right)={\frac {1}{2}}(\delta _{ik}\delta _{jl}-\delta _{il}\delta _{jk})({\vec {e}}_{i}\otimes {\vec {e}}_{j}\otimes {\vec {e}}_{k}\otimes {\vec {e}}_{l})\rightarrow {\stackrel {4}{\mathbf {C} }}:\mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\mathrm {A} } $

Diese fünf Tensoren sind sämtlich symmetrisch.

Mit beliebigen Tensoren zweiter Stufe A, B und G gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{4}{\mathbf{C}} =(\mathbf{A}\otimes\mathbf{B}^\top)^{\stackrel{23}{\top}} =A_{ik}B_{lj} (\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l) \rightarrow \stackrel{4}{\mathbf{C}}:\mathbf{G} =\mathbf{A\cdot G\cdot B}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{4}{\mathbf{C}} =(\mathbf{A}^\top\otimes\mathbf{B}^\top)^{\stackrel{23}{\top}} =A_{ki}B_{lj} (\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l) \rightarrow \stackrel{4}{\mathbf{C}}:\mathbf{G} =\mathbf{A}^\top\cdot\mathbf{G\cdot B}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{4}{\mathbf{C}} =(\mathbf{A}\otimes\mathbf{B})^{\stackrel{23}{\top}} =A_{ik}B_{jl} (\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l) \rightarrow \stackrel{4}{\mathbf{C}}:\mathbf{G} =\mathbf{A\cdot G\cdot B}^\top

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{4}{\mathbf{C}} =(\mathbf{A}^\top\otimes\mathbf{B})^{\stackrel{23}{\top}} =A_{ki}B_{jl} (\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l) \rightarrow \stackrel{4}{\mathbf{C}}:\mathbf{G} =\mathbf{A}^\top\cdot\mathbf{G\cdot B}^\top

In dem in diesen Formeln im Tensor vierter Stufe B durch B^⊤ und die Transpositionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{23}{\top} durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{24}{\top} ersetzt werden, entstehen die Ergebnisse mit transponiertem G:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{4}{\mathbf{C}} =(\mathbf{A}\otimes\mathbf{B})^{\stackrel{24}{\top}} =A_{il}B_{kj} (\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l) \rightarrow \stackrel{4}{\mathbf{C}}:\mathbf{G} =\mathbf{A\cdot G}^\top\cdot\mathbf{B}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{4}{\mathbf{C}} =(\mathbf{A}^\top\otimes\mathbf{B})^{\stackrel{24}{\top}} =A_{li}B_{kj} (\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l) \rightarrow \stackrel{4}{\mathbf{C}}:\mathbf{G} =\mathbf{A}^\top\cdot\mathbf{G}^\top\cdot\mathbf{B}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{4}{\mathbf{C}} =(\mathbf{A}\otimes\mathbf{B}^\top)^{\stackrel{24}{\top}} =A_{il}B_{jk} (\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l) \rightarrow \stackrel{4}{\mathbf{C}}:\mathbf{G} =\mathbf{A\cdot G}^\top\cdot\mathbf{B}^\top

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{4}{\mathbf{C}} =(\mathbf{A}^\top\otimes\mathbf{B}^\top)^{\stackrel{24}{\top}} =A_{li}B_{jk} (\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l) \rightarrow \stackrel{4}{\mathbf{C}}:\mathbf{G} =\mathbf{A}^\top\cdot\mathbf{G}^\top \cdot\mathbf{B}^\top

Invertierungsformel

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left( a\stackrel{4}{\mathbf{1}}+\mathbf{B}\otimes\mathbf{C}\right)^{-1} =\frac{1}{a}\left( \stackrel{4}{\mathbf{1}}-\frac{1}{a+\mathbf{B}:\mathbf{C}} \mathbf{B}\otimes\mathbf{C}\right)

Hooke'sches Gesetz

Mit den Spannungen $ \mathbf {T} $ und den Dehnungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{E} im Hooke'schen Gesetz gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{4}{\mathbf{C}} :=2\mu\stackrel{4}{\mathbf{1}}+\lambda\mathbf{1}\otimes\mathbf{1} \quad\rightarrow\quad \stackrel{4}{\mathbf{C}}:\mathbf{E}=\mathbf{T}

mit den Lamé-Konstanten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mu . Dieser Elastizitätstensor ist symmetrisch.

Invertierungsformel mit $ a=2\mu $, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{B} =\lambda\mathbf{1} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{C}=\mathbf{1} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} &\stackrel{4}{\mathbf{S}}: =\stackrel{4}{\mathbf{C}}{}^{-1} =\frac{1}{2\mu}\left(\stackrel{4}{\mathbf{1}} -\frac{\lambda}{2\mu +3\lambda}\mathbf{1}\otimes\mathbf{1}\right) =\frac{1}{2\mu}\stackrel{4}{\mathbf{1}} -\frac{\nu}{E}\mathbf{1}\otimes\mathbf{1} \\& \rightarrow\quad \stackrel{4}{\mathbf{S}}:\mathbf{T}=\mathbf{E} \end{align}

mit der Querdehnzahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nu und dem Elastizitätsmodul $ E $.

Voigt'sche Notation von Tensoren vierter Stufe

Aus der Basis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{S}_1,\ldots ,\mathbf{S}_{6} des Vektorraums Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{S}=\mathrm{sym}(\mathbb{V},\mathbb{V}) der symmetrischen Tensoren zweiter Stufe, siehe #Voigt-Notation symmetrischer Tensoren zweiter Stufe, kann eine Basis des Vektorraums Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{4}{\mathcal{S}}=\mathrm{Lin}(\mathcal{S},\mathcal{S}) der linearen Abbildungen von symmetrischen Tensoren auf symmetrische Tensoren konstruiert werden. Die 36 Komponenten der Tensoren vierter Stufe aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{4}{\mathcal{S}} können als Voigt'scher Notation in eine 6×6-Matrix einsortiert werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{4}{\mathbf{A}} =A_{uv}\mathbf{S}_u\otimes\mathbf{S}_v \hat=\begin{bmatrix} A_{11}& A_{12}& A_{13}& A_{14}& A_{15}& A_{16}\\ A_{21}& A_{22}& A_{23}& A_{24}& A_{25}& A_{26}\\ A_{31}& A_{32}& A_{33}& A_{34}& A_{35}& A_{36}\\ A_{41}& A_{42}& A_{43}& A_{44}& A_{45}& A_{46}\\ A_{51}& A_{52}& A_{53}& A_{54}& A_{55}& A_{56}\\ A_{61}& A_{62}& A_{63}& A_{64}& A_{65}& A_{66} \end{bmatrix}

Die Vektoren und Matrizen in Voigt'scher Notation können addiert, subtrahiert und mit einem Skalar multipliziert werden. Beim Matrizenprodukt in Voigt'scher Notation muss eine Diagonalmatrix

$ I=\mathrm {diag} (1,1,1,2,2,2) $

mit den Einträgen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): I_{uv}=\mathbf{S}_u:\mathbf{S}_v zwischengeschaltet werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}:\mathbf{B}=[\mathbf{A}]^\top I[\mathbf{B}] = A_1 B_1 + A_2 B_2 + A_3 B_3 + 2 A_4 B_4 + 2 A_5 B_5 + 2 A_6 B_6

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left[\stackrel{4}{\mathbf{A}}:\mathbf T\right] =\left[\stackrel{4}{\mathbf{A}}\right]I[\mathbf T]

$ \left[{\stackrel {4}{\mathbf {A} }}:{\stackrel {4}{\mathbf {B} }}\right]=\left[{\stackrel {4}{\mathbf {A} }}\right]I\left[{\stackrel {4}{\mathbf {B} }}\right] $

Darin steht [x] für die Voigt-Notation von x.

Einzelnachweise

Literatur

• Holm Altenbach: Kontinuumsmechanik. Einführung in die materialunabhängigen und materialabhängigen Gleichungen. 2. Auflage. Springer Vieweg, Berlin u. a. 2012, ISBN 978-3-642-24118-5. 
• Philippe Ciarlet: Mathematical Elasticity. Band 1: Three-Dimensional Elasticity. North-Holland, Amsterdam 1988, ISBN 0-444-70259-8. 
• Wolfgang Ehlers: Ergänzung zu den Vorlesungen Technische Mechanik und Höhere Mechanik. Vektor- und Tensorrechnung, Eine Einführung. 2015 (uni-stuttgart.de [PDF; abgerufen am 3. September 2020]). 
• Ralf Greve: Kontinuumsmechanik. Ein Grundkurs für Ingenieure und Physiker. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-00760-1.