Kugeltensoren, Axiatoren oder sphärische Tensoren sind in der Kontinuumsmechanik Tensoren, die proportional zum Einheitstensor zweiter Stufe sind; sie sind daher geeignet, Vektoren wie in Abb. 1 dargestellt zentrisch zu strecken. Der Kugel- oder sphärische Anteil eines Tensors T ist der Kugeltensor sph(T) = TK, der dieselbe Spur wie der Tensor T besitzt.
Kugeltensoren treten in der Kontinuumsmechanik bei allseitigem, hydrostatischem Druck oder bei in allen drei Raumrichtungen gleichförmiger Expansion oder Kompression eines Körpers auf. Sie werden daher zur Modellierung des Materialverhaltens unter diesen Bedingungen benutzt.
Kugeltensoren sind Tensoren zweiter Stufe
Der Kugelanteil eines Tensors T wird mit einem hochgestellten "K" oder "sph" bezeichnet:
Die Spur "Sp" des Einheitstensors 1 ist gleich der Dimension des zugrunde gelegten Raumes, hier und im Folgenden gleich drei.
Wie eingangs erwähnt treten Kugeltensoren bei in allen drei Raumrichtungen gleichförmiger Expansion oder Kompression eines Körpers auf, die wie folgt beschrieben werden kann. In der Kontinuumsmechanik gibt die Bewegungsfunktion
für alle Partikel gilt, siehe Abb. 2. Bildung des Gradienten nach den materiellen Koordinaten X1,2,3 liefert den Deformationsgradient
der hier ein Kugeltensor ist. Das Rechenzeichen ⊗ bildet das dyadische Produkt und
Für ein inkompressibles Material ist die im vorigen Abschnitt beschriebene volumenändernde Deformation unmöglich, denn Inkompressibilität zeichnet sich durch ein konstantes Volumenverhältnis von eins aus. Mathematisch wird dies durch die Nebenbedingung
an die Bewegungsfunktion
der ein Kugeltensor ist. Beispiele für diese Beschreibungsweise finden sich in der Hyperelastizität.
Als Vielfaches des Einheitstensors hat jeder Kugeltensor drei identische Eigenwerte
Die drei Hauptinvarianten eines Kugeltensors lauten
Der Betrag ist die Frobeniusnorm, die sich mit dem Frobenius-Skalarprodukt "
berechnet.