Kugeltensor

Kugeltensor

Abb. 1: Abbildung eines Vektors v durch einen Kugeltensor K.

Kugeltensoren, Axiatoren oder sphärische Tensoren sind in der Kontinuumsmechanik Tensoren, die proportional zum Einheitstensor zweiter Stufe sind; sie sind daher geeignet, Vektoren wie in Abb. 1 dargestellt zentrisch zu strecken. Der Kugel- oder sphärische Anteil eines Tensors T ist der Kugeltensor sph(T) = TK, der dieselbe Spur wie der Tensor T besitzt.

Kugeltensoren treten in der Kontinuumsmechanik bei allseitigem, hydrostatischem Druck oder bei in allen drei Raumrichtungen gleichförmiger Expansion oder Kompression eines Körpers auf. Sie werden daher zur Modellierung des Materialverhaltens unter diesen Bedingungen benutzt.

Definition

Kugeltensoren sind Tensoren zweiter Stufe T, die das λR fache des Einheitstensors 1 sind:

T:T=λ1.

Der Kugelanteil eines Tensors T wird mit einem hochgestellten "K" oder "sph" bezeichnet:

TK=sph(T):=Sp(T)Sp(1)1=Sp(T)31.

Die Spur "Sp" des Einheitstensors 1 ist gleich der Dimension des zugrunde gelegten Raumes, hier und im Folgenden gleich drei.

Expansion und Kompression

Abb. 2: Expansion einer Kugel

Wie eingangs erwähnt treten Kugeltensoren bei in allen drei Raumrichtungen gleichförmiger Expansion oder Kompression eines Körpers auf, die wie folgt beschrieben werden kann. In der Kontinuumsmechanik gibt die Bewegungsfunktion x=χ(X,t) den Ort x an, an dem zur Zeit t ein Partikel ist, das zu einer definierten Zeit t0 am Ort X war. Die Zahlen X1,2,3 ∈ ℝ sind die Koordinaten des Vektors X, x1,2,3 ∈ ℝ die des Vektors x und beide sind auf die Standardbasis ê1,2,3 des dreidimensionalen euklidischen Vektorraums 𝕍3 bezogen. Bei reiner Expansion oder Kompression ohne Rotation gibt es ein Zentrum der Expansion oV3 und einen Streckfaktor λ ∈ ℝ, sodass

x=χ(X,t)=λ(Xo)+o

für alle Partikel gilt, siehe Abb. 2. Bildung des Gradienten nach den materiellen Koordinaten X1,2,3 liefert den Deformationsgradient

F:=GRAD(χ):=i,j=13dχidXjeiej=i,j=13ddXj[λ(Xioi)+oi]eiej=i,j=13λδijeiej=λ1

der hier ein Kugeltensor ist. Das Rechenzeichen ⊗ bildet das dyadische Produkt und δij bezeichnet das Kronecker-Delta. Die Determinante des Deformationsgradienten ist das Volumenverhältnis vor und nach der Expansion:

det(F)=λ3.

Inkompressibilität

Für ein inkompressibles Material ist die im vorigen Abschnitt beschriebene volumenändernde Deformation unmöglich, denn Inkompressibilität zeichnet sich durch ein konstantes Volumenverhältnis von eins aus. Mathematisch wird dies durch die Nebenbedingung

det(F)1

an die Bewegungsfunktion χ ausgedrückt. Eine solche Nebenbedingung wird mit einem Lagrangeschen Multiplikator sichergestellt, der hier dem Druck p im Material entspricht. Die zugehörige Reaktionsspannung ist der Drucktensor

p1,

der ein Kugeltensor ist. Beispiele für diese Beschreibungsweise finden sich in der Hyperelastizität.

Ort im Eigenwertraum

Abb. 3: Hydrostatische Achse im Eigenwertraum

Als Vielfaches des Einheitstensors hat jeder Kugeltensor drei identische Eigenwerte λ1,2,3=λ die im Eigenwertraum auf der hydrostatischen Achse λ1=λ2=λ3 liegen, siehe Abbildung rechts. Diese Achse wird, sofern nur symmetrische Tensoren betrachtet werden, von den Kugeltensoren gebildet.

Invarianten von Kugeltensoren

Die drei Hauptinvarianten eines Kugeltensors lauten

I1(λ1)=Sp(λ1)=3λI2(λ1)=12[Sp(λ1)2Sp(λ1λ1)]=3λ2I3(λ1)=det(λ1)=λ3

Der Betrag ist die Frobeniusnorm, die sich mit dem Frobenius-Skalarprodukt ":" zu

λ1∥=λ1:λ1=Sp(λ1λ1)=3|λ|

berechnet.

Siehe auch

Literatur

  • H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5.
  • P. Haupt: Continuum Mechanics and Theory of Materials. Springer, 2000, ISBN 3-540-66114-X.