Strecktensor

Strecktensoren oder Deformationstensoren sind einheitenfreie Tensoren zweiter Stufe, die lokale Distanzänderungen von Materieelementen bei einer Deformation eines Körpers bemessen. Distanzänderungen von Materieelementen entsprechen der Streckung bzw. Stauchung der materiellen Linien, die die betrachteten Materieelemente verbinden. Diese Änderungen der inneren Anordnung korrespondieren mit einer Änderung der äußeren Gestalt des Festkörpers und werden beispielsweise als Dehnung oder Stauchung sichtbar.

Die Strecktensoren sind eine wesentliche Größe in der Beschreibung der Kinematik der Deformation und in der Kontinuumsmechanik werden eine Reihe von verschiedenen Strecktensoren definiert, die ihrerseits der Definition von Verzerrungstensoren dienen. In einigen Materialmodellen der Hyperelastizität werden Strecktensoren direkt eingesetzt.

Streckung von Linienelementen

Bei der quantitativen Beurteilung einer Deformation eines Körpers werden materielle Linien des Körpers vor und nach Deformation miteinander verglichen. In der Praxis können dazu Dehnungsmessstreifen (DMS) auf dem Körper aufgeklebt werden. Die Richtung des DMS wird mathematisch mit einem materiellen Linienelement $ \mathrm {d} {\vec {X}} $ in der undeformierten Ausgangskonfiguration und $ \mathrm {d} {\vec {x}} $ in der deformierten Momentankonfiguration beschrieben, siehe Abbildung rechts. Diese Linienelemente stehen in linearer Näherung über den Deformationsgradient $ \mathbf {F} $ in Beziehung:

$ \mathrm {d} {\vec {x}}=\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} {\vec {X}} $

Die Streckung $ \lambda $ eines Linienelementes in der Richtung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{e}=\frac{\mathrm{d}\vec{X}}{|\mathrm{d}\vec{X}|}

ist das Verhältnis

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda =\frac{|\mathrm{d}\vec{x}|}{|\mathrm{d}\vec{X}|} =\sqrt{\frac{\mathrm{d}\vec{x}\cdot \mathrm{d}\vec{x}} {\mathrm{d}\vec{X}\cdot \mathrm{d}\vec{X}}} =\sqrt{\frac{(\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\vec{X})\cdot (\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\vec{X})} {\mathrm{d}\vec{X}\cdot \mathrm{d}\vec{X}}} =\sqrt{\vec{e}\cdot \mathbf{C}\cdot\vec{e}}

Der Strecktensor

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{C} = \mathbf{F}^\top\cdot\mathbf{F}

heißt rechter Cauchy-Green Tensor und ist demnach ein Maß für die Streckung von Linienelementen. Das Superskript „Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \top “ steht für die Transposition. In Richtung der Eigenvektoren von $ \mathbf {C} $ sind die Streckungen extremal. In der deformierten Lage berechnet sich die Streckung aus

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda = \sqrt{\frac{\mathrm{d}\vec{x}\cdot \mathrm{d}\vec{x}} {(\mathbf{F}^{-1}\cdot\mathrm{d}\vec{x})\cdot (\mathbf{F}^{-1}\cdot\mathrm{d}\vec{x})}} =\left( \frac{\mathrm{d}\vec{x}}{|\mathrm{d}\vec{x}|} \cdot \mathbf{c}\cdot \frac{\mathrm{d}\vec{x}}{|\mathrm{d}\vec{x}|} \right)^{-\frac{1}{2}} \,.

Der Cauchysche Strecktensor

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{c}:=\mathbf{F}^{\top-1}\cdot\mathbf{F}^{-1}

ist also ein räumliches Maß für die Streckung von Linienelementen.

Streckung von Normalvektoren

Mit Strecktensoren kann auch die Streckung von Normalvektoren ermittelt werden. Eine Familie von Flächen kann durch eine skalare Funktion

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi(\vec{x},t)=C

und einen Flächenparameter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): C definiert werden.

Die Normalenvektoren an diese Flächen sind die Gradienten

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{n}:=\operatorname{grad}(\Phi) =\sum_{i=1}^{3}\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}x_{i}}\vec{e}_{i} \,.

Diese hängen mit der Normale in der Referenzkonfiguration wie folgt zusammen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \vec{N} :=&\operatorname{GRAD}(\Phi) =\sum_{i=1}^{3} \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}X_{i}}\vec{e}_{i} = \sum_{j,k=1}^{3} \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}x_{k}} \frac{\mathrm{d}x_{k}}{\mathrm{d}X_{j}}\vec{e}_{j} \\ =& \sum_{i,j,k=1}^{3} \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}x_{k}}\vec{e}_k \cdot \frac{\mathrm{d}x_{i}}{\mathrm{d}X_{j}} \vec{e}_i \otimes \vec{e}_j =\vec{n}\cdot\mathbf{F} =\mathbf{F}^{\top}\cdot\vec{n} \\\rightarrow \vec{n}=& \mathbf{F}^{\top-1}\cdot\vec{N} \end{align}

Das Rechenzeichen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \otimes bezeichnet das dyadische Produkt. Die Streckung der Normalvektoren in der deformierten und undeformierten Lage in einem materiellen Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{X} führt auf den Finger-Tensor

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rcl} \lambda &=&\displaystyle \frac{|\vec{n}|}{|\vec{N}|} =\sqrt{\frac{\vec{n}\cdot \vec{n}}{\vec{N}\cdot \vec{N}}} =\sqrt{\frac{(\mathbf{F}^{\top-1}\cdot\vec{N})\cdot (\mathbf{F}^{\top-1}\cdot\vec{N})}{\vec{N}\cdot \vec{N}}} =\sqrt{\frac{\vec{N}}{|\vec{N}|}\cdot \mathbf{f}\cdot \frac{\vec{N}}{|\vec{N}|}} \\ \rightarrow \mathbf{f} &=& \mathbf{F}^{-1}\cdot\mathbf{F}^{\top-1} =\mathbf{C}^{-1}\,, \end{array}

der also ein Maß für die Streckung der materiellen Flächennormalen ist. Der Finger-Tensor operiert in der Ausgangskonfiguration.

Sein Gegenstück in der Momentankonfiguration ist der linke Cauchy-Green Tensor

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{b} =\mathbf{F}\cdot\mathbf{F}^\top =\mathbf{c}^{-1}

für den

$ \lambda ={\sqrt {\frac {{\vec {n}}\cdot {\vec {n}}}{(\mathbf {F} ^{\top }\cdot {\vec {n}})\cdot (\mathbf {F} ^{\top }\cdot {\vec {n}})}}}=\left({\frac {\vec {n}}{|{\vec {n}}|}}\cdot \mathbf {b} \cdot {\frac {\vec {n}}{|{\vec {n}}|}}\right)^{-{\frac {1}{2}}} $

abgeleitet werden kann.

Hauptinvarianten des rechten Cauchy-Green Tensors

Bei einer Deformation werden die materiellen Linien-, Flächen- und Volumenelemente mit dem Deformationsgradient von der Ausgangskonfiguration in die Momentankonfiguration transformiert

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rccl} \mathrm{d}\vec{x} &=& \mathbf{F} &\cdot\;\mathrm{d}\vec{X} \\ \vec{n}\,\mathrm{d}a &=& \operatorname{cof}(\mathbf{F})&\cdot\;\vec{N}\,\mathrm{d}A \\ \mathrm{d}v &=& \operatorname{det}(\mathbf{F})&\mathrm{d}V\,. \end{array}

Der Kofaktor des Deformationsgradienten ist seine transponierte Adjunkte:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{cof}(\mathbf{F}):=\operatorname{det}(\mathbf{F})\mathbf{F}^{\top-1}\,.

Es zeigt sich, dass die Hauptinvarianten des rechten Cauchy-Green Tensors Maße für die Änderung der Linien-, Flächen- und Volumenelemente sind:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rclclcc} \operatorname{I}_1(\mathbf{C}) &=& \operatorname{Sp}(\mathbf{C}) &=& \operatorname{Sp}(\mathbf{F^\top\cdot F}) = \mathbf{F}:\mathbf{F} &=& \|\mathbf{F}\|^2 \\ \operatorname{I}_2(\mathbf{C}) &=& \operatorname{Sp(cof}(\mathbf{C})) &=& \operatorname{Sp(cof}(\mathbf{F})^\top\cdot\operatorname{cof}(\mathbf{F})) &=& \|\operatorname{cof}(\mathbf{F})\|^2 \\ \operatorname{I}_3(\mathbf{C}) &=& \operatorname{det}(\mathbf{C}) &=& \operatorname{det}(\mathbf{F^\top\cdot F}) &=& \operatorname{det}(\mathbf{F})^2 \end{array}

Die Frobeniusnorm Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \|(\cdot)\| wird mit dem Frobenius-Skalarprodukt „:“ von Tensoren definiert:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}:\mathbf{B}:=\operatorname{Sp}(\mathbf{A^\top\cdot B}) \quad\text{und}\quad \|\mathbf{A}\| := \sqrt{\mathbf{A}:\mathbf{A}} \,.

Physikalische Interpretation

Der Zusammenhang zwischen dem rechten Cauchy-Green Tensor und der Änderung der Linien-, Flächen- und Volumenelemente macht sich makroskopisch bemerkbar.

Sei

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{x}=\vec{\chi}(\vec{X},t)

die Bewegungsfunktion der Partikel eines materiellen Körpers. Die materiellen Koordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{X} nehmen die Partikel zu einer bestimmten Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t_0 ein, zu der der Körper in seiner undeformierten Ausgangslage vorliegt. Der zeitabhängige Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{x} bezeichnet die räumlichen Koordinaten, die die Partikel bei ihrer Bewegung – inklusive Deformation – zur Zeit t einnehmen.

Längen von Linien

Wenn im undeformierten Ausgangszustand eine materielle Linie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{X}(s) mit dem Kurvenparameter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): s\in [0,1] markiert wird, ergibt sich die Länge der Linie zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): L =\int_{0}^{1} \left|\frac{\mathrm{d}\vec{X}}{\mathrm{d}s}\right|\mathrm{d}s =\int_{0}^{1}\sqrt{\frac{\mathrm{d}\vec{X}}{\mathrm{d}s}\cdot \frac{\mathrm{d}\vec{X}}{\mathrm{d}s}}\mathrm{d}s =\int_{0}^{1}\sqrt{\frac{\mathrm{d}\vec{X}}{\mathrm{d}s}\cdot \mathbf{I}\cdot \frac{\mathrm{d}\vec{X}}{\mathrm{d}s}}\mathrm{d}s\,.

Darin ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{I} der Einheitstensor. In der deformierten Lage verändert sich diese Länge zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): l =\int_{0}^{1} \left|\frac{\mathrm{d}\vec{\chi}(\vec{X}(s),t)}{\mathrm{d}s} \right|\mathrm{d}s =\int_{0}^{1}\sqrt{\frac{\mathrm{d}\vec{x}}{\mathrm{d}s}\cdot \frac{\mathrm{d}\vec{x}}{\mathrm{d}s}}\mathrm{d}s =\int_{0}^{1}\sqrt{\left(\mathbf{F}\cdot \frac{\mathrm{d}\vec{X}}{\mathrm{d}s}\right)\cdot \left(\mathbf{F}\cdot\frac{\mathrm{d}\vec{X}}{\mathrm{d}s}\right)}\mathrm{d}s =\int_{0}^{1}\sqrt{\frac{\mathrm{d}\vec{X}}{\mathrm{d}s}\cdot \mathbf{C}\cdot\frac{\mathrm{d}\vec{X}}{\mathrm{d}s}}\mathrm{d}s\,.

Die Änderung der Länge der markierten Linie wird also vom Strecktensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{C} bestimmt.

Flächeninhalte

Wenn in gleicher Weise im undeformierten Ausgangszustand eine materielle Fläche Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{X}(u,v) mit den Flächenparametern $ (u,v)\in [0,1]^{2} $ bezeichnet wird, ergibt sich der Inhalt der Fläche zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F =\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \biggl|\overbrace{\frac{\mathrm{d}\vec{X}}{\mathrm{d}u} \times\frac{\mathrm{d}\vec{X}}{\mathrm{d}v}}^{A\vec{N}}\biggr| \,\mathrm{d}u\mathrm{d}v =\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}|\vec{N}|\,\overbrace{A\mathrm{d}u\mathrm{d}v}^{\mathrm{d}A} =\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\sqrt{\vec{N}\cdot\mathbf{I}\cdot\vec{N}}\,\mathrm{d}A \,.

In der deformierten Lage verändert sich diese Fläche zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rcl} f &=&\displaystyle \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \biggl|\overbrace{\frac{\mathrm{d}\vec{x}}{\mathrm{d}u} \times\frac{\mathrm{d}\vec{x}}{\mathrm{d}v}}^{a\vec{n}}\biggr| \,\mathrm{d}u\mathrm{d}v =\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}|\vec{n}|\,\overbrace{a\mathrm{d}u\mathrm{d}v}^{\mathrm{d}a} =\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}|\operatorname{cof}(\mathbf{F})\cdot\vec{N}|\,\mathrm{d}A \\ &=&\displaystyle \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\sqrt{\vec{N}\cdot \operatorname{cof}(\mathbf{F})^\top\cdot\operatorname{cof}(\mathbf{F})\cdot\vec{N}} \,\mathrm{d}A = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\sqrt{\vec{N}\cdot \operatorname{cof}(\mathbf{C})\cdot\vec{N}}\,\mathrm{d}A \end{array}

Die Inhaltsänderung der markierten Fläche wird also vom Kofaktor des Strecktensors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{C} bestimmt.

Volumina

Im undeformierten Ausgangszustand wird ein materielles Volumen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{X}(\xi,\eta,\zeta) mit den Ortsparametern $ (\xi ,\eta ,\zeta )\in [0,1]^{3} $ markiert. Das Volumen berechnet sich dann zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \overbrace{\operatorname{det}\begin{pmatrix} \frac{\mathrm{d}\vec{X}}{\mathrm{d}\xi} & \frac{\mathrm{d}\vec{X}}{\mathrm{d}\eta} & \frac{\mathrm{d}\vec{X}}{\mathrm{d}\zeta}\end{pmatrix} \,\mathrm{d}\xi\mathrm{d}\eta\mathrm{d}\zeta}^{\mathrm{d}V} = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \sqrt{\operatorname{det}(\mathbf{I})}\,\mathrm{d}V

In der deformierten Lage verändert sich dieses Volumen zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rcl} v &=&\displaystyle \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \operatorname{det}\begin{pmatrix} \frac{\mathrm{d}\vec{x}}{\mathrm{d}\xi} & \frac{\mathrm{d}\vec{x}}{\mathrm{d}\eta} & \frac{\mathrm{d}\vec{x}}{\mathrm{d}\zeta}\end{pmatrix} \,\mathrm{d}\xi\mathrm{d}\eta\mathrm{d}\zeta = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \operatorname{det}\begin{pmatrix} \mathbf{F}\cdot\frac{\mathrm{d}\vec{X}}{\mathrm{d}\xi} & \mathbf{F}\cdot\frac{\mathrm{d}\vec{X}}{\mathrm{d}\eta} & \mathbf{F}\cdot\frac{\mathrm{d}\vec{X}}{\mathrm{d}\zeta}\end{pmatrix} \,\mathrm{d}\xi\mathrm{d}\eta\mathrm{d}\zeta \\ &=&\displaystyle \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \operatorname{det}\left[\mathbf{F}\cdot\begin{pmatrix} \frac{\mathrm{d}\vec{X}}{\mathrm{d}\xi} & \frac{\mathrm{d}\vec{X}}{\mathrm{d}\eta} & \frac{\mathrm{d}\vec{X}}{\mathrm{d}\zeta}\end{pmatrix}\right] \,\mathrm{d}\xi\mathrm{d}\eta\mathrm{d}\zeta = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \operatorname{det}(\mathbf{F})\,\mathrm{d}V = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \sqrt{\operatorname{det}(\mathbf{C})}\,\mathrm{d}V \,,\end{array}

worin der Determinantenproduktsatz ausgenutzt wurde. Die Volumenänderung kann also wie bei den materiellen Linien und Flächen mit dem Strecktensor ausgedrückt werden.

Linker und rechter Strecktensor und Drehungen

Bei Nicht-Deformation sind die Strecktensoren gleich dem Einheitstensor und das unabhängig von eventuell auftretenden Drehungen des Körpers. Der Grund hierfür liegt in der Polarzerlegung des Deformationsgradienten

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{F} =\mathbf{R\cdot U} =\mathbf{v\cdot R} \,,

die die Deformation lokal in eine Drehung, vermittelt durch den orthogonalen Rotationstensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{R} (mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{R}^\top =\mathbf{R}^{-1} und der Determinante Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{det}(\mathbf{R}) =+1 ), und eine reine Streckung, vermittelt durch die symmetrischen positiv definiten rechten bzw. linken Strecktensoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{U} bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{v} , aufspaltet. Durch die Multiplikation des Deformationsgradienten mit seiner transponierten heben sich die Drehungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{R} und "Rückdrehungen" Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{R}^\top =\mathbf{R}^{-1} gegenseitig auf:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{ccccccc} \mathbf{F}^\top\cdot\mathbf{F} &=&\mathbf{U\cdot R}^\top\cdot\mathbf{R\cdot U} &=&\mathbf{U\cdot U} &=&\mathbf{C} \\ \mathbf{F\cdot F}^\top &=&\mathbf{v\cdot R\cdot R}^\top\cdot\mathbf{v} &=&\mathbf{v\cdot v} &=&\mathbf{b} \end{array}

was natürlich auch für die Inversen des rechten und linken Cauchy-Green-Tensors zutrifft. Der rechte und linke Cauchy-Green-Tensor und ihre Inversen sind daher von Drehungen des Körpers unbeeinflusst.

Hauptachsentransformationen

Der rechte und linke Strecktensor ebenso wie der rechte und linke Cauchy-Green-Tensor sind also ähnlich, weswegen sie dieselben Eigenwerte und daher auch dieselben Hauptinvarianten besitzen. Die Eigenwerte der Strecktensoren werden Hauptstreckungen genannt. Sämtliche Strecktensoren sind symmetrisch positiv definit und daher sind alle drei Eigenwerte positiv und die drei Eigenvektoren sind paarweise zueinander senkrecht (oder orthogonalisierbar), so dass sie eine Orthonormalbasis bilden. Seien Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{N}_{1,2,3} die Eigenvektoren von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{U} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{n}_{1,2,3} die Eigenvektoren von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{v} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda_{1,2,3} dessen Eigenwerte. Dann lauten die Hauptachsentransformationen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{U} =\sum_{i=1}^{3}\lambda_{i}\vec{N}_{i}\otimes \vec{N}_{i} \qquad \textsf{und} \qquad \mathbf{v}=\sum_{i=1}^{3}\lambda_{i}\vec{n}_{i}\otimes \vec{n}_{i} \,.

Aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{v}=\mathbf{R}\cdot\mathbf{U}\cdot\mathbf{R}^\top folgt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{R}\cdot\vec{N}_{i}=\vec{n}_{i} \qquad \text{also} \qquad \mathbf{R}=\sum_{i=1}^{3}\vec{n}_{i}\otimes \vec{N}_{i}

und weiter:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{F} =\mathbf{R\cdot U} =\mathbf{R}\cdot\sum_{i=1}^{3}\lambda_{i}\vec{N}_{i}\otimes \vec{N}_{i} =\sum_{i=1}^{3}\lambda_{i}\vec{n}_{i}\otimes \vec{N}_{i}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{C} =\mathbf{U\cdot U} =\sum_{i=1}^{3}\lambda_i^{2}\vec{N}_{i}\otimes \vec{N}_{i}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{f} =\mathbf{C}^{-1} =\sum_{i=1}^{3}\lambda_i^{-2}\vec{N}_{i}\otimes \vec{N}_{i}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{b} =\mathbf{v\cdot v} =\sum_{i=1}^{3}\lambda_i^{2}\vec{n}_{i}\otimes \vec{n}_{i}

$ \mathbf {c} =\mathbf {b} ^{-1}=\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}^{-2}{\vec {n}}_{i}\otimes {\vec {n}}_{i} $

Ableitung der Streckungen

Manche Materialmodelle der Hyperelastizität beinhalten Funktionen der Eigenwerte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda_i des linken Strecktensors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{v} und die Spannungen ergeben sich aus der Ableitung dieser Funktionen nach dem linken Cauchy-Green-Tensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{b} . Deshalb lohnt es sich, die Ableitung der Eigenwerte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda_i nach dem Strecktensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{b} bereitzustellen^[1]. Es ergibt sich

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\mathrm{d}\lambda_i}{\mathrm{d}\mathbf{b}} =\frac{1}{2\lambda_i}\hat{n}_i\otimes \hat{n}_i \,.

Entsprechend berechnet sich

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\mathrm{d}\lambda_i}{\mathrm{d}\mathbf{C}} =\frac{1}{2\lambda_i}\hat{N}_i\otimes \hat{N}_i \,.

Beispiel

Ein Quadrat der Seitenlänge eins wird zu einem Rechteck mit Breite Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): b und Höhe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): h gestreckt und um einen Winkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha verdreht, siehe die Abbildung rechts. Das Quadrat sei im Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems positioniert, so dass für die Punkte des Quadrates

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{X} =\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)\in {[{0,1}]}^{2}

gilt. Im deformierten Zustand ist dann

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rcl} \vec{x} &=&\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right) =\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}bX\\ hY\end{array}\right) \\ &=& \left(\begin{array}{c}bX\cos \alpha -hY\sin \alpha \\ bX\sin \alpha +hY\cos \alpha \end{array}\right) \end{array} \,.

Damit berechnen sich der Deformationsgradient und die Strecktensoren zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rcl} \mathbf{F} &=&\left(\begin{array}{cc}b\cos \alpha & -h\sin \alpha \\ b\sin \alpha & h\cos \alpha \end{array}\right) =\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}b& 0\\ 0& h\end{array}\right) \\ \rightarrow \mathbf{R} &=& \left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right) \\ \rightarrow \mathbf{U} &=& \left(\begin{array}{cc}b& 0\\ 0& h\end{array}\right),\lambda_{1} =b, \vec{N}_{1} =\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),\lambda_{2} =h,\vec{N}_{2} =\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right) \\ \rightarrow \mathbf{C} &=& \mathbf{U\cdot U} =\left(\begin{array}{cc}b& 0\\ 0& h\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}b& 0\\ 0& h\end{array}\right) =\left(\begin{array}{cc}b^{2}& 0\\ 0& h^{2}\end{array}\right) =\mathbf{F}^\top\cdot\mathbf{F} \\ \rightarrow \mathbf{v} &=& b \mathbf{R}\cdot\vec{N}_{1}\otimes \mathbf{R}\cdot\vec{N}_{1} +h\mathbf{R}\cdot\vec{N}_{2}\otimes \mathbf{R}\cdot\vec{N}_{2} \\ &=& b\left(\begin{array}{c}\cos \alpha \\ \sin \alpha \end{array}\right) \otimes \left(\begin{array}{c}\cos \alpha \\ \sin \alpha \end{array}\right) +h\left(\begin{array}{c}-\sin \alpha \\ \cos \alpha \end{array}\right) \otimes \left(\begin{array}{c}-\sin \alpha \\ \cos \alpha \end{array}\right) \\ &=& \left(\begin{array}{cc} b{\cos}^{2}\alpha +h{\sin}^{2}\alpha & \left(b-h\right)\cos \alpha \sin \alpha \\ \left(b-h\right)\sin \alpha \cos \alpha & b{\sin}^{2}\alpha +h{\cos}^{2}\alpha \end{array}\right) \\ && \rightarrow \lambda_{1}=b, \vec{n}_{1}=\left(\begin{array}{c}\cos \alpha \\ \sin \alpha \end{array}\right), \lambda_{2} =h, \vec{n}_{2}=\left(\begin{array}{c}-\sin \alpha \\ \cos \alpha \end{array}\right) \\ \rightarrow \mathbf{b} &=&\mathbf{v\cdot v} =\left(\begin{array}{cc} b^{2}{\cos}^{2}\alpha +h^{2}{\sin}^{2}\alpha & \left(b^{2}-h^{2}\right)\sin \alpha \cos \alpha \\ \left(b^{2}-h^{2}\right)\sin \alpha \cos \alpha & b^{2}{\sin}^{2}\alpha +h^{2}{\cos}^{2}\alpha \end{array}\right) =\mathbf{F\cdot F}^\top \end{array}

In der Mitte des Quadrates wird eine gerade Linie der Länge ½ in einem Winkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \beta zur x-Achse markiert, siehe Abbildung. Die Punkte auf der Linie haben in der Ausgangslage dann für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): s\in [{0,1}] die Koordinaten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rcl} \vec{X}\left(s\right) &=& \dfrac{1}{2}\left(\begin{array}{c}1+s\, \cos \beta \\ 1+s\, \sin \beta \end{array}\right) \\ \rightarrow \dfrac{\mathrm{d}\vec{X}(s)}{\mathrm{d}s} &=& \dfrac{1}{2}\left(\begin{array}{c}\cos \beta \\ \sin \beta \end{array}\right) \rightarrow \left|\dfrac{\mathrm{d}\vec{X}\left(s\right)}{\mathrm{d}s}\right| =\dfrac{1}{2} \end{array}

Die Länge der Linie ist definitionsgemäß unabhängig von deren Richtung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): L(\beta) =\int_{0}^{1}\left|\dfrac{\mathrm{d}\vec{X}}{\mathrm{d}s}\right|\mathrm{d}s =\int_{0}^{1}\dfrac{1}{2}\mathrm{d}s =\dfrac{1}{2} \,.

In der deformierten Lage haben die Punkte die Koordinaten

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rcl} \vec{x}(s) &=& \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right) = \dfrac{1}{2}\left(\begin{array}{c} b (1+s \cos \beta )\cos \alpha -h (1+s\, \sin \beta )\sin \alpha \\ b (1+s\, \cos \beta )\sin \alpha +h (1+s\, \sin \beta )\cos \alpha \end{array}\right) \\ \rightarrow \dfrac{\mathrm{d}\vec{x}}{\mathrm{d}s} &=& \dfrac{1}{2}\left(\begin{array}{c} b\cos \alpha \cos \beta -h\sin \alpha \sin \beta \\ b\sin \alpha \cos \beta +h\cos \alpha \sin \beta \end{array}\right) =\left(\begin{array}{cc} b\cos \alpha & -h\sin \alpha \\ b\sin \alpha & h\cos \alpha \end{array}\right) \dfrac{1}{2}\left(\begin{array}{c}\cos \beta \\ \sin \beta \end{array}\right) = \mathbf{F}\cdot\dfrac{\mathrm{d}\vec{X}}{\mathrm{d}s} \\ \rightarrow \left|\dfrac{\mathrm{d}\vec{x}}{\mathrm{d}s}\right| &=& \dfrac{1}{2}\sqrt{b^{2}{\cos}^{2}\beta +h^{2}{\sin}^{2}\beta} \\ &=& \sqrt{\dfrac{1}{2}\left(\begin{array}{c}\cos \beta \\ \sin \beta \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}b^{2}& 0\\ 0& h^{2}\end{array}\right)\dfrac{1}{2}\left(\begin{array}{c}\cos \beta \\ \sin \beta \end{array}\right)} =\sqrt{\dfrac{\mathrm{d}\vec{X}}{\mathrm{d}s}\cdot \mathbf{C}\cdot\dfrac{\mathrm{d}\vec{X}}{\mathrm{d}s}}\end{array}

Länge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): l(\beta) der Linien im deformierten Quadrat in Abhängigkeit vom Winkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \beta .

weswegen sich die Länge der Linie zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rcl} l(\beta) &=&\displaystyle \int_{0}^{1}\left|\dfrac{\mathrm{d}\vec{x}}{\mathrm{d}s}\right|\mathrm{d}s =\int_{0}^{1} \dfrac{1}{2}\sqrt{b^{2}{\cos}^{2}\beta +h^{2}{\sin}^{2}\beta}\mathrm{d}s \\ &=&\dfrac{1}{2}\sqrt{b^{2}{\cos}^{2}\beta +h^{2}{\sin}^{2}\beta} \end{array}

verändert. Das Ergebnis ist wiederum unabhängig vom Drehwinkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha . Bei Flächengleichheit des Quadrates und des Rechtecks ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): b\cdot h =1\rightarrow h =\dfrac{1}{b}

und die Längen der deformierten Linie bilden in einem Polardiagramm eine Kurve wie in der Abbildung rechts. Dort ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): b = 1,5 .

Siehe auch

Mechanik:

• Konvektive Koordinaten
• Konfiguration (Mechanik)

Mathematik:

• Formelsammlung Tensoralgebra
• Formelsammlung Tensoranalysis

Einzelnachweise

Literatur

• H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5. 
• P. Haupt: Continuum Mechanics and Theory of Materials. Springer, 2010, ISBN 978-3-642-07718-0. 
• A. Bertram: Elasticity and Plasticity of Large Deformations: An Introduction. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24614-2.