Die zwei Lamé-Konstanten
In der linearen Elastizitätstheorie wird die lineare Abhängigkeit des Spannungstensors
Dabei sind die Spannungs- und Verzerrungstensoren Tensoren 2. Stufe und der Elastizitätstensor ein Tensor 4. Stufe.
Im Falle eines isotropen Materials lässt sich dies vereinfachen zu:
mit
Für weitere Formeln in Abhängigkeit von den Lamé-Konstanten siehe im Abschnitt.
Im Falle eines isotropen, linear elastischen Materials, d. h. der Spannungstensor hängt linear von den Komponenten des Verzerrungstensors ab, kann man ein skalares Potenzial
eine Spannungs-Verzerrungs-Relation definiert. Diese Funktion darf nur von Invarianten des Verzerrungstensors abhängen, da die Wahl des Koordinatensystems nicht die Energiedichte des beschriebenen Verzerrungzustandes ändern darf. Der Verzerrungstensor ist symmetrisch, daher hat er folgende Invarianten (in der Schreibweise mit Einsteinscher Summenkonvention)
Um eine lineare Verzerrungs-Spannungs-Relation zu erhalten, darf das Potenzial nur quadratisch von den Komponenten des Verzerrungstensors abhängen. Daher und aufgrund der Koordinateninvarianz des Potenzials muss es die Form
haben, mit beliebigen Konstanten
Mit den Definitionen
nennt man nun
In den Navier-Stokes-Gleichungen der Strömungslehre wird
Diese Viskositäten sind jedoch nicht mit den obigen Lamé-Konstanten zu verwechseln, welche Elastizitätsmaße eines Festkörpers repräsentieren.
…ergibt sich aus:[3] | |||||||||||
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Der Modul… | |||||||||||
Kompressionsmodul |
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Elastizitätsmodul |
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1. Lamé-Konstante |
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Schubmodul (2. Lamé-Konstante) |
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Poissonzahl |
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Longitudinalmodul |