Lamé-Konstanten

Lamé-Konstanten

Die zwei Lamé-Konstanten λ und μ (nach Gabriel Lamé) sind Materialkonstanten, die im Rahmen der Kontinuumsmechanik alle Komponenten des Elastizitätstensors eines isotropen Materials festlegen. Ihre Dimensionen entsprechen einem Druck (Kraft pro Fläche, in SI-Einheiten N/m2).

Elastizitätstheorie

In der linearen Elastizitätstheorie wird die lineare Abhängigkeit des Spannungstensors σ vom Verzerrungstensor ε durch den Elastizitätstensor C beschrieben (verallgemeinertes Hookesches Gesetz). Dieser Zusammenhang lautet in Komponentenschreibweise und mit Hilfe der Einsteinschen Summenkonvention:

σij=Cijklεkl.

Dabei sind die Spannungs- und Verzerrungstensoren Tensoren 2. Stufe und der Elastizitätstensor ein Tensor 4. Stufe.

Im Falle eines isotropen Materials lässt sich dies vereinfachen zu:

σij=2μεij+λSpur(ε)δij

mit

  • der ersten Lamé-Konstante λ=ν12ν11+νE
  • der zweiten Lamé-Konstante bzw. dem Schubmodul μ=G=1211+νE
    • der Querdehnzahl (Poissonzahl) ν
    • der Elastizitätsmodul E
  • dem Kronecker-Delta δij
  • der Spur.

Für weitere Formeln in Abhängigkeit von den Lamé-Konstanten siehe im Abschnitt.

Herleitung

Im Falle eines isotropen, linear elastischen Materials, d. h. der Spannungstensor hängt linear von den Komponenten des Verzerrungstensors ab, kann man ein skalares Potenzial U0(εij) definieren, das die Energiedichte des Materials in Abhängigkeit von der Verzerrung angibt und durch die Beziehung

σij=U0εij

eine Spannungs-Verzerrungs-Relation definiert. Diese Funktion darf nur von Invarianten des Verzerrungstensors abhängen, da die Wahl des Koordinatensystems nicht die Energiedichte des beschriebenen Verzerrungzustandes ändern darf. Der Verzerrungstensor ist symmetrisch, daher hat er folgende Invarianten (in der Schreibweise mit Einsteinscher Summenkonvention)

I1=εii,
I2=12εijεji,
I3=13εijεjkεki.

Um eine lineare Verzerrungs-Spannungs-Relation zu erhalten, darf das Potenzial nur quadratisch von den Komponenten des Verzerrungstensors abhängen. Daher und aufgrund der Koordinateninvarianz des Potenzials muss es die Form

U0=C1I12+C2I2

haben, mit beliebigen Konstanten C1 und C2. Setzt man diesen Potenzialansatz in die Spannungs-Verzerrungs-Relation ein und führt einige Umformungen durch[1], so ergibt sich die Beziehung

σij=2C1εkkδij+C2εij.

Mit den Definitionen

2C1=λ und
C2=2μ

nennt man nun λ und μ erste und zweite Lamé-Konstante.

Strömungslehre

In den Navier-Stokes-Gleichungen der Strömungslehre wird

  • für die dynamische Scherviskosität (Einheit Ns/m2) häufig das Symbol μ der zweiten Lamé-Konstante verwendet und
  • für die Volumenviskosität unter Umständen das Symbol λ der ersten Lamé-Konstante.[2]

Diese Viskositäten sind jedoch nicht mit den obigen Lamé-Konstanten zu verwechseln, welche Elastizitätsmaße eines Festkörpers repräsentieren.


Umrechnung zwischen den elastischen Konstanten

…ergibt sich aus:[3]
Der Modul… (K,E) (K,λ) (K,G) (K,ν) (E,λ) (E,G) (E,ν) (λ,G) (λ,ν) (G,ν) (G,M)
Kompressionsmodul K K K K K (E+3λ)+(E+3λ)24λE6 EG3(3GE) E3(12ν) λ+2G3 λ(1+ν)3ν 2G(1+ν)3(12ν) M4G3
Elastizitätsmodul E E 9K(Kλ)3Kλ 9KG3K+G 3K(12ν) E E E G(3λ+2G)λ+G λ(1+ν)(12ν)ν 2G(1+ν) G(3M4G)MG
1. Lamé-Konstante λ 3K(3KE)9KE λ K2G3 3Kν1+ν λ G(E2G)3GE Eν(1+ν)(12ν) λ λ 2Gν12ν M2G
Schubmodul G bzw. μ
(2. Lamé-Konstante)
3KE9KE 3(Kλ)2 G 3K(12ν)2(1+ν) (E3λ)+(E3λ)2+8λE4 G E2(1+ν) G λ(12ν)2ν G G
Poissonzahl ν 3KE6K λ3Kλ 3K2G2(3K+G) ν (E+λ)+(E+λ)2+8λ24λ E2G1 ν λ2(λ+G) ν ν M2G2M2G
Longitudinalmodul M 3K(3K+E)9KE 3K2λ K+4G3 3K(1ν)1+ν G(4GE)3GE E(1ν)(1+ν)(12ν) λ+2G 2G(1ν)12ν M

Einzelnachweise

  1. Tribikram Kundu: Ultrasonic and Electromagnetic NDE for Structure and Material Characterization. CRC Press, 2012, ISBN 1-4398-3663-9, S. 27 ff. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  2. Emmanuil G. Sinaiski: Hydromechanics. John Wiley & Sons, 2011, ISBN 978-3-527-63378-4, S. 30 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  3. G. Mavko, T. Mukerji, J. Dvorkin: The Rock Physics Handbook. Cambridge University Press, 2003, ISBN 0-521-54344-4 (paperback).