Dirac-Notation: Unterschied zwischen den Versionen

Dirac-Notation: Unterschied zwischen den Versionen

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Die '''Dirac-Notation''' ist eine [[Notation]] von [[Zustand (Quantenmechanik)|Zustandsvektoren]], die in der [[Quantenmechanik]] verwendet wird. Der Vorteil dieser Notation besteht darin, dass sie ''[[koordinaten]]<nowiki/>frei'' ist. Die Gleichungen lassen sich ganz allgemein aufschreiben und man kann später die Koordinaten wählen, die für die Lösung des Problems am besten geeignet sind.
Die '''Dirac-Notation''', auch '''Bra-Ket-Notation''', ist in der [[Quantenmechanik]] eine [[Notation]] für quantenmechanische [[Zustand (Quantenmechanik)|Zustände]]. Die Notation geht auf [[Paul Dirac]] zurück. Die ebenfalls von ihm eingeführte Bezeichnung Bra-Ket-Notation ist ein Wortspiel mit der englischen Bezeichnung für eine [[Klammer (Zeichen)|Klammer]] (''bracket''). In der Bra-Ket-Notation wird ein Zustand ausschließlich durch seine [[Quantenzahl]]en charakterisiert.


[[Paul Dirac]] selbst erfand sowohl die Schreibweise als auch die Benennung, die auf die spitze Klammer (engl. ''angle '''bra'''c'''ket''''') anspielt, mit der man oft das [[Skalarprodukt]] <math>\lang v,w \rang</math> zweier [[Vektor]]en bezeichnet. Die Schreibweise wird daher auch '''Bra-Ket-Notation''' genannt.
In der Bra-Ket-Notation schreibt man die [[Vektor]]en eines [[Vektorraum]]s <math>V</math> auch außerhalb eines [[Skalarprodukt]]s mit einer spitzen Klammer als '''Ket''' <math>| v \rangle</math>. Jedem Ket <math>| v \rang</math> entspricht ein '''Bra''' <math>\langle v | \, ,</math> der dem [[Dualraum]] <math>V^*</math> angehört, also eine [[lineare Abbildung]] von <math>V</math> in den zu Grunde liegenden [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math> repräsentiert, und umgekehrt. Das Ergebnis der Operation eines Bras <math>\langle v |</math> auf einen Ket <math>| w \rang</math> wird <math>\langle v | w \rang</math> geschrieben, womit der Zusammenhang mit der konventionellen Notation des Skalarprodukts hergestellt ist.


In der Bra-Ket-Notation schreibt man die Vektoren eines [[Vektorraum]]s <math>V</math> auch außerhalb eines [[Skalarprodukt]]s mit einer spitzen Klammer als '''Ket''' <math>| v \rang</math>. Jedem Ket <math>| v \rang</math> entspricht ein '''Bra''' <math>\lang v | \, ,</math> der dem [[Dualraum]] <math>V^*</math> angehört, also eine [[lineare Abbildung]] von <math>V</math> in den zu Grunde liegenden [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math> repräsentiert, und umgekehrt. Das Ergebnis der Operation eines Bras <math>\lang v |</math> auf einen Ket <math>| w \rang</math> wird <math>\lang v | w \rang</math> geschrieben, womit der Zusammenhang mit der konventionellen Notation des Skalarprodukts hergestellt ist.
In der Physik wird die Notation verwendet, gleich ob es sich dabei um Vektoren eines Vektorraumes oder um Funktionen in einem [[Hilbert-Raum]] handelt. Die mathematische Rechtfertigung für die Bra-Ket-Notation ergibt sich aus dem [[Satz von Fréchet-Riesz]], den [[Frigyes Riesz|F. Riesz]] und [[Maurice René Fréchet|M. Fréchet]] 1907 unabhängig voneinander bewiesen. Er besagt unter anderem, dass ein [[Hilbertraum]] und sein topologischer Dualraum [[Isometrie|isometrisch]] [[isomorph]] zueinander sind. In unserem Zusammenhang: Zu jedem Ket <math>|v\rangle</math> existiert das entsprechende Bra <math> \langle v|</math>, und umgekehrt.
 
In der Physik wird die Notation verwendet, gleich ob es sich dabei um Vektoren eines Vektorraumes oder um Funktionen in einem [[Hilbert-Raum]] handelt. Die mathematische Rechtfertigung für die Bra-Ket-Notation ergibt sich aus dem [[Satz von Fréchet-Riesz]], den [[Frigyes Riesz|F. Riesz]] und [[Maurice René Fréchet|M. Fréchet]] 1907 unabhängig voneinander bewiesen. Er besagt unter anderem, dass ein [[Hilbertraum]] und sein topologischer Dualraum [[Isometrie|isometrisch]] [[isomorph]] zueinander sind.


== Darstellung ==
== Darstellung ==
Sei <math>v</math> ein Vektor eines [[Komplexe Zahl|komplexen]] <math>m</math>-dimensionalen Vektorraums <math>\left(v \in \C^m\right)</math>. Der Ket-Ausdruck <math>\left| v \right\rangle</math> kann als vertikaler Vektor mit komplexen Elementen <math>v_n</math> (<math>v_n \in \C</math>) [[Darstellungstheorie|dargestellt]] werden:
Sei <math>v</math> ein Vektor eines [[Komplexe Zahl|komplexen]] <math>m</math>-dimensionalen Vektorraums <math>\left(v \in \Complex^m\right)</math>. Der Ket-Ausdruck <math>\left| v \right\rangle</math> kann als [[Spaltenvektor]] mit komplexen Elementen <math>v_n</math> (<math>v_n \in \Complex</math>) [[Darstellungstheorie|dargestellt]] werden:


:<math>\left| v \right\rangle \doteq (v1v2v3vm)</math>
:<math>\left| v \right\rangle \doteq (v1v2v3vm)</math>


Wichtig ist dabei, dass <math>\left| v \right\rangle</math> und <math>(v_1, v_2, v_3, \dots, v_m)^T</math> ''nicht'' dasselbe mathematische Objekt sind und somit kein Gleichheitszeichen verwendet werden darf<ref>Modern Quantum Mechanics Revised Revision, Sakurai, S. 20</ref>. Dies wird insbesondere daran deutlich, dass die Bra-Ket-Schreibweise von der Wahl einer [[Hilbertraumbasis|Basis]] unabhängig ist, während die Darstellung durch [[Koordinatenvektor]]en die Wahl einer Basis voraussetzt. Stattdessen sollte deutlich gemacht werden, dass es sich bei <math>(v_1, v_2, v_3, \dots, v_m)^T</math> um die [[Darstellungstheorie|Darstellung]] von <math>\left| v \right\rangle</math> handelt. Dies kann durch die Verwendung von Zeichen wie <math>\Rightarrow</math>, <math>\doteq</math><ref>Modern Quantum Mechanics Revised Revision, Sakurai</ref>, <math>\leftrightarrow</math><ref>Principles of Quantum Mechanics, R. Shankar, Springer London, Limited, 2012</ref>, etc. erfolgen.
Wichtig ist dabei, dass <math>\left| v \right\rangle</math> und der dazugehörige Spaltenvektor <math>(v_1, v_2, v_3, \dotsc, v_m)^T</math> ''nicht'' dasselbe mathematische Objekt sind und somit kein Gleichheitszeichen verwendet werden darf<ref name=":0">{{Literatur |Autor=J. J. Sakurai |Titel=Modern quantum mechanics |Auflage=Third edition |Ort=Cambridge |Datum=2021 |ISBN=1-108-47322-9 |Seiten=19 ff.}}</ref>. Dies wird insbesondere daran deutlich, dass die Bra-Ket-Schreibweise von der Wahl einer [[Hilbertraumbasis|Basis]] unabhängig ist, während die Darstellung durch [[Koordinatenvektor]]en die Wahl einer Basis voraussetzt. Stattdessen sollte deutlich gemacht werden, dass es sich bei <math>(v_1, v_2, v_3, \dotsc, v_m)^T</math> um die [[Darstellungstheorie|Darstellung]] von <math>\left| v \right\rangle</math> handelt. Dies kann durch die Verwendung von Zeichen wie <math>\Rightarrow</math>, <math>\doteq</math><ref name=":0" />, <math>\leftrightarrow</math><ref>{{Literatur |Autor=Ramamurti Shankar |Titel=Principles of Quantum Mechanics |Auflage=Second edition |Verlag=Springer New York |Ort=Boston, MA |Datum=1994 |ISBN=978-1-4757-0576-8 |Seiten=12 ff.}}</ref> etc. erfolgen.


Der Bra-Ausdruck <math>\left\langle v \right|</math> kann demnach als horizontaler Vektor mit den [[Konjugation (Mathematik)|konjugierten]] Werten dargestellt werden:
Der Bra-Ausdruck <math>\left\langle v \right|</math> kann demnach als Zeilenvektor mit den [[Konjugation (Mathematik)|konjugierten]] Werten dargestellt werden:


:<math>\left\langle v \right| \doteq \begin{pmatrix} v_1^* && v_2^* && v_3^* && \dotso && v_m^* \end{pmatrix}</math>
:<math>\left\langle v \right| \doteq (v1v2v3vm)</math>


== Beispiele ==
== Beispiele ==
Durch die Notation
:<math>|e^{-}\rangle = |1s\uparrow \rangle</math>
kann ein [[Elektron]] im Zustand&nbsp;1s mit [[Spin]] up des [[Wasserstoffatom]]s bezeichnet werden.
----
Der [[Polarisation]]szustand eines [[Photon]]s kann als [[Superposition (Physik)|Überlagerung]] zweier Basiszustände, z.&nbsp;B. <math>|V\rangle</math> (vertikal polarisiert) und <math>|H\rangle</math> (horizontal polarisiert), interpretiert werden:


:<math>|\gamma\rangle = \alpha \cdot |V\rangle + \beta \cdot |H\rangle</math>,
=== Teilchen mit Spin ===
Durch die Notation <math>|1s, {\uparrow}\rangle</math> kann ein [[Elektron]] im Zustand&nbsp;1s mit [[Spin]] up des [[Wasserstoffatom]]s bezeichnet werden.


=== Photon ===
Der [[Polarisation]]szustand eines [[Photon]]s kann als [[Superposition (Physik)|Überlagerung]] zweier Basiszustände <math>|V\rangle</math> (vertikal polarisiert) und <math>|H\rangle</math> (horizontal polarisiert), angegeben werden:
:<math>|\gamma\rangle = \alpha |V\rangle + \beta |H\rangle</math>,
wobei
wobei
 
:<math>\alpha,\beta \in \Complex</math>
:<math>\alpha,\beta \in \C</math>
 
und
und
:<math>\alpha^* \alpha + \beta^* \beta = |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1</math>


:<math>\alpha^* \alpha + \beta^* \beta = |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1</math>
=== System aus mehreren Bosonen ===
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Gegeben sei eine Anzahl von <math>n</math> [[Bosonen]] <math>q_k</math> mit jeweils einem bestimmten Impuls <math>p_k = k\frac{2\pi}{L}</math>. Der Zustand lässt sich mittels der Dirac-Notation kompakt abbilden:
Gegeben sei eine Anzahl von <math>n</math> [[Bosonen]] <math>q_k</math> mit jeweils einem bestimmten Impuls <math>p_k = k\frac{2\pi}{L}</math>. Der Zustand lässt sich mittels der Dirac-Notation kompakt abbilden:  


{|class="wikitable"
{|class="wikitable"
! n !! Zustandsvektor !! Besetzungszahldarstellung !! Erläuterung
! <math>n</math> !! Zustandsvektor !! Besetzungszahldarstellung !! Erläuterung
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| 0 || <math>\left| 0 \right\rangle</math> || <math>\left| 00 \right\rangle</math> || 0 Teilchen befinden sich im Zustand 1. <br/>0 Teilchen befinden sich im Zustand 2.  
| 0 || <math>\left| 0 \right\rangle</math> || <math>\left| 00 \right\rangle</math> || 0 Teilchen befinden sich im Zustand 1. <br/>0 Teilchen befinden sich im Zustand 2.
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| 1 || <math>\left| q_1 \right\rangle</math> || <math>\left| 10 \right\rangle</math> || 1 Teilchen befindet sich im Zustand 1. <br/>0 Teilchen befinden sich im Zustand 2.  
| 1 || <math>\left| q_1 \right\rangle</math> || <math>\left| 10 \right\rangle</math> || 1 Teilchen befindet sich im Zustand 1. <br/>0 Teilchen befinden sich im Zustand 2.
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| 1 || <math>\left| q_2 \right\rangle</math> || <math>\left| 01 \right\rangle</math> || 0 Teilchen befinden sich im Zustand 1. <br/>1 Teilchen befindet sich im Zustand 2.
| 1 || <math>\left| q_2 \right\rangle</math> || <math>\left| 01 \right\rangle</math> || 0 Teilchen befinden sich im Zustand 1. <br/>1 Teilchen befindet sich im Zustand 2.
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| 2 || <math>\left| q_1 q_1 \right\rangle</math> || <math>\left| 20 \right\rangle</math> || 2 Teilchen befinden sich im Zustand 1. <br/>0 Teilchen befinden sich im Zustand 2.
| 2 || <math>\left| q_1, q_1 \right\rangle</math> || <math>\left| 20 \right\rangle</math> || 2 Teilchen befinden sich im Zustand 1. <br/>0 Teilchen befinden sich im Zustand 2.
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| 2 || <math>\left| q_1 q_2 \right\rangle = \left| q_2 q_1 \right\rangle</math> || <math>\left| 11 \right\rangle</math> || 1 Teilchen befinden sich im Zustand 1. <br/>1 Teilchen befinden sich im Zustand 2.
| 2 || <math>\left| q_1, q_2 \right\rangle = \left| q_2, q_1 \right\rangle</math> || <math>\left| 11 \right\rangle</math> || 1 Teilchen befinden sich im Zustand 1. <br/>1 Teilchen befinden sich im Zustand 2.
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| 2 || <math>\left| q_2 q_2 \right\rangle</math> || <math>\left| 02 \right\rangle</math> || 0 Teilchen befinden sich im Zustand 1. <br/>2 Teilchen befinden sich im Zustand 2.
| 2 || <math>\left| q_2, q_2 \right\rangle</math> || <math>\left| 02 \right\rangle</math> || 0 Teilchen befinden sich im Zustand 1. <br/>2 Teilchen befinden sich im Zustand 2.
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| 3 || <math>\left| q_1 q_1 q_1 \right\rangle</math> || <math>\left| 30 \right\rangle</math> || 3 Teilchen befinden sich im Zustand 1. <br/>0 Teilchen befinden sich im Zustand 2.
| 3 || <math>\left| q_1, q_1, q_1 \right\rangle</math> || <math>\left| 30 \right\rangle</math> || 3 Teilchen befinden sich im Zustand 1. <br/>0 Teilchen befinden sich im Zustand 2.
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| 3 || <math>\left| q_1 q_1 q_2 \right\rangle = \left| q_1 q_2 q_1 \right\rangle = \left| q_2 q_1 q_1 \right\rangle</math> || <math>\left| 21 \right\rangle</math> || 2 Teilchen befinden sich im Zustand 1. <br/>1 Teilchen befindet sich im Zustand 2.
| 3 || <math>\left| q_1, q_1, q_2 \right\rangle = \left| q_1, q_2, q_1 \right\rangle = \left| q_2, q_1, q_1 \right\rangle</math> || <math>\left| 21 \right\rangle</math> || 2 Teilchen befinden sich im Zustand 1. <br/>1 Teilchen befindet sich im Zustand 2.
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| <math>\vdots</math> || <math>\vdots</math> || <math>\vdots</math> || <math>\vdots</math>
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== Skalarprodukt ==
== Skalarprodukt ==


Das [[Skalarprodukt]] eines Bra <math>\langle\phi|</math> mit einem Ket <math>|\psi\rangle</math> wird in Bra-Ket-Notation geschrieben als
Das [[Skalarprodukt]] eines Bra <math>\langle\phi|</math> mit einem Ket <math>|\psi\rangle</math> wird in Bra-Ket-Notation geschrieben als:
 
: <math>\langle\phi| \psi\rangle := \left( \langle\phi | \right) \cdot \left( | \psi\rangle \right)</math>
<math>\langle\phi, \psi\rangle := \langle\phi| \psi\rangle := \langle\phi|(|\psi\rangle)</math> = Anwendung des Bras <math>\langle\phi|</math> auf den Ket <math>|\psi\rangle</math>.
Dies kann als Anwendung des Bras <math>\langle\phi|</math> auf den Ket <math>|\psi\rangle</math> aufgefasst werden.
 
Für beliebige komplexe Zahlen <math>c_1</math> und <math>c_2</math> gilt:
 
::<math>\langle\phi| \; \bigg( |c_1\cdot\psi_1\rangle + |c_2\cdot\psi_2\rangle \bigg) = c_1\langle\phi|\psi_1\rangle + c_2\langle\phi|\psi_2\rangle. </math> (Linearität)
 
::<math>\bigg(\langle c_1\cdot\phi_1| + \langle c_2\cdot\phi_2|\bigg) \; |\psi\rangle = c_1^*\langle\phi_1|\psi\rangle + c_2^*\langle\phi_2|\psi\rangle. </math> (Antilinearität)


Aufgrund der [[Dualraum|Dualitätsbeziehung]] gilt weiterhin
Für komplexe Zahlen <math>c_1</math> und <math>c_2</math> gilt:
: <math>\langle\phi| \; \bigg( c_1 |\psi_1\rangle + c_2 |\psi_2\rangle \bigg) = c_1\langle\phi|\psi_1\rangle + c_2\langle\phi|\psi_2\rangle </math> (Linearität)


:<math>\langle\psi|\varphi\rangle = \langle\varphi|\psi\rangle^* </math> (komplexe Konjugation)
Aufgrund der [[Dualraum|Dualitätsbeziehung]] gilt außerdem:
: <math>\langle\psi|\phi\rangle = \langle\phi|\psi\rangle^* </math> (komplexe Konjugation)


== Tensorprodukt ==
== Tensorprodukt ==
Das [[Tensorprodukt]] eines Ket <math>|\phi\rangle</math> mit einem Bra <math>\langle\psi|</math> wird geschrieben als
Das [[Tensorprodukt]] eines Ket <math>|\phi\rangle</math> mit einem Bra <math>\langle\psi|</math> wird geschrieben als


:<math> \phi \otimes \psi \ \ =: \ \ |\phi\rangle\langle\psi| </math>
:<math> \phi \otimes \psi \ \ =: \ \ |\phi\rangle\langle\psi|</math>


Im Fall gewöhnlicher Vektoren entspricht das Tensorprodukt einer Matrix.
Im Fall gewöhnlicher Vektoren entspricht das Tensorprodukt einer Matrix.


Für eine vollständige [[Orthonormalbasis]] <math>\{|1\rangle,|2\rangle,\dotsc,|N\rangle \}</math> führt die Operation  
Für eine vollständige [[Orthonormalbasis]] <math>\{|1\rangle,|2\rangle,\dotsc,|N\rangle \}</math> führt die Operation


:<math>
: <math>|1\rangle \langle1| |\psi\rangle = \langle1|\psi \rangle |1\rangle = c_1 |1\rangle</math>
    |1\rangle \langle1| |\psi\rangle = \langle1|\psi \rangle |1\rangle = c_1 |1\rangle
</math>  


eine Projektion auf den Basiszustand <math> |1 \rangle </math> aus.  
eine Projektion auf den Basiszustand <math> |1 \rangle </math> aus.
Dies definiert den '''Projektionsoperator''' auf den Unterraum des Zustands <math> |1 \rangle </math>:
Dies definiert den '''Projektionsoperator''' auf den Unterraum des Zustands <math> |1 \rangle </math>:


:<math> |1\rangle \langle1| </math>
: <math> |1\rangle \langle1| </math>


Eine besonders wichtige Anwendung der Multiplikation von Ket mit Bra ist der '''Einheitsoperator''' <math>I</math>, der sich als Summe über die Projektionsoperatoren ergibt als
Eine besonders wichtige Anwendung der Multiplikation von Ket mit Bra ist der '''Einheitsoperator''' <math>I</math>, der sich als Summe über die Projektionsoperatoren ergibt zu
:<math>I=\sum_{n=1}^N |n\rangle \langle n|.</math>
: <math>I=\sum_{n=1}^N |n\rangle \langle n|.</math>


(In unendlich-dimensionalen Hilberträumen ist bei diskreter Basis der Limes <math>N\to\infty</math> zu betrachten.)
(In unendlich-dimensionalen Hilberträumen ist bei diskreter Basis der Limes <math>N\to\infty</math> zu betrachten.)


Diese „Darstellung des Einheitsoperators“ ist insbesondere deshalb von so herausragender Bedeutung, da man damit jeden [[Zustand (Quantenmechanik)|Zustand]] <math> |a\rangle </math> in einer beliebigen [[Basis_(Vektorraum)|Basis]] entwickeln kann.
Diese „Darstellung des Einheitsoperators“ ist insbesondere deshalb von so herausragender Bedeutung, da man damit jeden [[Zustand (Quantenmechanik)|Zustand]] <math> |a\rangle </math> in einer beliebigen [[Basis (Vektorraum)|Basis]] entwickeln kann.


Ein Beispiel einer ''Basisentwicklung durch Einschieben der Eins'':
Ein Beispiel einer ''Basisentwicklung durch Einschieben der Eins'':


:<math> |a\rangle = I | a\rangle = \sum_{n=1}^N |n\rangle \underbrace{\langle n| a\rangle}_{=:\alpha_n} = \sum_{n=1}^N \alpha_n | n \rangle </math>
: <math> |a\rangle = I | a\rangle = \sum_{n=1}^N |n\rangle \underbrace{\langle n| a\rangle}_{=:\alpha_n} = \sum_{n=1}^N \alpha_n | n \rangle </math>


Dies ist die Darstellung des Zustands-Kets <math>|a\rangle</math> in der <math>n</math>-Basis durch das sogenannte ''Einschieben der Eins''.  
Dies ist die Darstellung des Zustands-Kets <math>|a\rangle</math> in der <math>n</math>-Basis durch das sogenannte ''Einschieben der Eins''.


Dass dies ''immer'' funktioniert, ist eine unmittelbare Konsequenz der [[vollständiger Raum|Vollständigkeit]] des [[Hilbertraum]]s, in dem die Zustände, also die ''Kets'', 'leben'.
Dass dies ''immer'' funktioniert, ist eine unmittelbare Konsequenz der [[vollständiger Raum|Vollständigkeit]] des [[Hilbertraum]]s, in dem die Zustände, also die ''Kets'', 'leben'.


Für eine kontinuierliche Basis ist statt der Summe ein Integral zu bilden.
Für eine kontinuierliche Basis ist statt der Summe ein Integral zu bilden.
So erhält man beispielsweise für den Ortsraum die Summe über das Ortskontinuum und damit den Einheitsoperator als Integral über den ganzen <math>\mathbb{R}^3</math>:
So erhält man beispielsweise für den Ortsraum die Summe über das Ortskontinuum und damit den Einheitsoperator als Integral über den ganzen <math>\mathbb{R}^3</math>:
::<math>I= \sum_{\text{kont. Basis}} |\vec{x}\rangle \langle \vec{x}| = \int_{\mathbb R^3}\, \, \mathrm{d}^3\! x\, |\vec{x}\rangle \langle \vec{x}|</math>
: <math>I= \sum_{\text{kont. Basis}} |\vec{x}\rangle \langle \vec{x}| = \int_{\mathbb R^3}\, \, \mathrm{d}^3\! x\, |\vec{x}\rangle \langle \vec{x}|</math>
Natürlich ist auch mit einer solchen kontinuierlichen Basis eine Basisentwicklung möglich, was in der Regel auf ein [[Fourier-Transformation|Fourierintegral]] führt. Technisch handelt es sich dabei ''nicht''&nbsp; um eine Entwicklung nach Basisvektoren des Hilbertraums, da es in den betrachteten [[Separabler Raum|separablen Räumen]] kein Kontinuum von paarweise orthogonalen Vektoren geben kann: Vektoren der Art <math>|\vec{x}\rangle</math> bilden vielmehr eine mathematisch nicht-triviale Erweiterung des betrachteten Hilbertraums, und man nennt sie daher auch manchmal „uneigentliche Vektoren“, weil sie wie die [[Deltafunktion]] oder wie monochromatische [[ebene Welle]]n nicht quadratintegrierbar sind. (Auch der Begriff der Orthogonalität muss hierbei verallgemeinert werden, indem man statt der sonst üblichen [[Kroneckersymbol]]e <math>\delta_{i,j}</math> Deltafunktionen benutzt.)  
Natürlich ist auch mit einer solchen kontinuierlichen Basis eine Basisentwicklung möglich, was in der Regel auf ein [[Fourier-Transformation|Fourierintegral]] führt. Technisch handelt es sich dabei ''nicht'' um eine Entwicklung nach Basisvektoren des Hilbertraums, da es in den betrachteten [[Separabler Raum|separablen Räumen]] kein Kontinuum von paarweise orthogonalen Vektoren geben kann: Vektoren der Art <math>|\vec{x}\rangle</math> bilden vielmehr eine mathematisch nicht-triviale Erweiterung des betrachteten Hilbertraums, und man nennt sie daher auch manchmal „uneigentliche Vektoren“, weil sie wie die [[Deltafunktion]] oder wie monochromatische [[ebene Welle]]n nicht quadratintegrierbar sind. (Auch der Begriff der [[Orthogonalität]] muss hierbei verallgemeinert werden, indem man statt der sonst üblichen [[Kroneckersymbol]]e <math>\delta_{i,j}</math> Deltafunktionen benutzt.)


Beachtet man bei Rechnungen diese Details, die im Grunde nur auf die „Rezepte“&nbsp;&nbsp; <math>\sum_i\to \int_{\mathbb R^3}\, \, \mathrm{d}^3\! x\,</math> &nbsp;und <math>\delta_{i,j} \to \delta (x_i- x_j)</math> hinauslaufen, so bleibt die Basisentwicklung eine brauchbare Analogie.
Beachtet man bei Rechnungen diese Details, die im Grunde nur auf die „Rezepte“&nbsp;&nbsp; <math>\sum_i\to \int_{\mathbb R^3}\, \, \mathrm{d}^3\! x\,</math> &nbsp;und <math>\delta_{i,j} \to \delta (x_i- x_j)</math> hinauslaufen, so bleibt die Basisentwicklung eine brauchbare Analogie.


== Darstellungen in der Quantenmechanik ==
== Darstellungen in der Quantenmechanik ==
In der Quantenmechanik arbeitet man häufig mit Projektionen von Zustandsvektoren auf eine bestimmte Basis anstatt mit den Zustandsvektoren selbst.  
In der Quantenmechanik arbeitet man häufig mit Projektionen von Zustandsvektoren auf eine bestimmte Basis anstatt mit den Zustandsvektoren selbst.


Die Projektion auf eine bestimmte Basis wird '''Darstellung''' genannt.
Die Projektion auf eine bestimmte Basis wird '''Darstellung''' genannt. Ein Vorteil davon ist, dass die so erhaltenen Wellenfunktionen komplexe Zahlen sind, für die der Formalismus der Quantenmechanik als [[partielle Differentialgleichung]] geschrieben werden kann.
Ein Vorteil davon ist, dass die so erhaltenen Wellenfunktionen komplexe Zahlen sind, für die der Formalismus der Quantenmechanik als [[partielle Differentialgleichung]] geschrieben werden kann.


* Darstellung in der Ortsraum-Basis ([[Ortsdarstellung]]):
* Darstellung in der Ortsraum-Basis ([[Ortsdarstellung]]):
Sei <math>| \vec x \rangle</math> ein Eigenzustand des [[Ortsoperator]]s <math> \hat{x}</math> mit der Eigenschaft
: Sei <math>| \vec x \rangle</math> ein Eigenzustand des [[Ortsoperator]]s <math> \hat{x}</math> mit der Eigenschaft
<math> \hat{x} | \vec x \rangle = \vec x | \vec x \rangle </math>.
:: <math> \hat{x} | \vec x \rangle = \vec x | \vec x \rangle </math>.


Die Wellenfunktion <math>\psi(\vec x) </math> ergibt sich durch Projektion als  
: Die Wellenfunktion <math>\psi(\vec x) </math> ergibt sich durch Projektion als
:<math>\psi(\vec x)=\langle \vec{x}|\psi\rangle</math>
:: <math>\psi(\vec x)=\langle \vec{x}|\psi\rangle</math>
Das Skalarprodukt ist  
: Das Skalarprodukt ist
:<math>\langle\psi_1|\psi_2\rangle\ = \int_{\mathbb R^3(\vec x)} \langle \psi_1 |\vec{x}\rangle\langle \vec{x}|\psi_2\rangle\, \mathrm{d}^3 \! x = \int_{\mathbb R^3(\vec x)} \psi_1(\vec x)^*\,\psi_2(\vec x)\, \mathrm{d}^3 \! x</math>
:: <math>\langle\psi_1|\psi_2\rangle\ = \int_{\mathbb R^3(\vec x)} \langle \psi_1 |\vec{x}\rangle\langle \vec{x}|\psi_2\rangle\, \mathrm{d}^3 \! x = \int_{\mathbb R^3(\vec x)} \psi_1(\vec x)^*\,\psi_2(\vec x)\, \mathrm{d}^3 \! x</math>


* Darstellung in der Impulsraum-Basis ([[Impulsdarstellung]]):
* Darstellung in der Impulsraum-Basis ([[Impulsdarstellung]]):
Sei <math>| \vec p \rangle</math> ein Eigenzustand des [[Impulsoperator]]s <math> \hat{p}</math> mit der Eigenschaft
: Sei <math>| \vec p \rangle</math> ein Eigenzustand des [[Impulsoperator]]s <math> \hat{p}</math> mit der Eigenschaft
<math> \hat{p} | \vec p \rangle = \vec p | \vec p \rangle</math>.
:: <math> \hat{p} | \vec p \rangle = \vec p | \vec p \rangle</math>.
 
: Die Wellenfunktion <math>\psi(\vec p)</math> ergibt sich durch Projektion als
:: <math>\psi(\vec p)=\langle \vec{p}|\psi\rangle\,\,\left(\equiv\,\int \frac{e^{-i\vec p\cdot\vec x}}{(2\pi )^{3/2}}\,\psi (\vec x)\, \mathrm{d}^3 \! x\right)</math>
: Das Skalarprodukt ist jetzt dasselbe wie zuvor
:: <math>\langle\psi_1|\psi_2\rangle\ = \int_{\mathbb R^3(\vec p)}\langle \psi_1 |\vec{p}\rangle\langle \vec{p}|\psi_2\rangle\, \mathrm{d}^3 \! p = \int_{\mathbb R^3(\vec p)} \psi_1(\vec p)^*\,\psi_2(\vec p)\, \mathrm{d}^3 \! p</math>
 
Allgemein gilt, dass Skalarprodukte bei einem beliebigen [[Basiswechsel (Vektorraum)|Basiswechsel]] invariant sind. Beispiele sind die Übergänge („Darstellungswechsel“) von einem vollständigen Satz von Eigenvektoren und/oder uneigentlichen Eigenvektoren [[selbstadjungiert]]er [[Operator (Mathematik)|Operatoren]] des Systems zum anderen, z.&nbsp;B. der Übergang von einem Matrixsystem zum anderen oder der Übergang von einer Matrixdarstellung zur Orts- oder Impulsdarstellung.
* Matrixelemente einer invariant definierten [[Observable|„Messgröße“]], mit zugeordnetem, von der benutzten Basis abhängigen Operator <math>\hat A\,,</math> sind in allen Basen gleich, obwohl die Operatoren selbst im Allgemeinen unterschiedliche Darstellungen besitzen. So berechnet man etwa in der Ortsdarstellung
:: <math>\langle\psi_1|\hat A|\psi_2\rangle\ = \iint_{\mathbb R^3(\vec x)\,\mathbb R^3(\vec x')} \langle \psi_1|\vec{x}\rangle\langle\vec{x}|\hat A|\vec{x}'\rangle\langle \vec{x}'|\psi_2\rangle\, \mathrm{d}^3 \! x \, \mathrm{d}^3 \! x'\ </math> <math> = \iint_{\mathbb R^3(\vec x)\,\mathbb R^3(\vec x')} \psi_1(\vec x)^* \hat{A}(\vec{x}, \, \vec{x}')\psi_2(\vec{x}')\, \mathrm{d}^3 \! x \, \mathrm{d}^3 \! x' </math>
: Die Diagonalelemente, also die mit <math>|\psi_1\rangle=|\psi_2\rangle</math>, sind zugleich die [[Erwartungswert#Quantenmechanischer Erwartungswert|Erwartungswerte]] des Operators in den jeweiligen Zuständen.


Die Wellenfunktion <math>\psi(\vec p)</math> ergibt sich durch Projektion als
== Symbole in Unicode ==
:<math>\psi(\vec p)=\langle \vec{p}|\psi\rangle\,\,\left(\equiv\,\int \frac{e^{-i\vec p\cdot\vec x}}{(2\pi )^{3/2}}\,\psi (\vec x)\, \mathrm{d}^3 \! x\right)</math>
Die öffnenden und schließenden Winkel sollen in [[Unicode]] durch die Zeichen <code>U+27E8 <small>MATHEMATICAL LEFT ANGLE BRACKET</small></code> und <code>U+27E9 <small>MATHEMATICAL RIGHT ANGLE BRACKET</small></code> aus dem [[Unicodeblock Verschiedene mathematische Symbole-A]] dargestellt werden. Es gibt zwar zusätzlich die Zeichen <code>U+2329 <small>LEFT-POINTING ANGLE BRACKET</small></code> und <code>U+232A <small>RIGHT-POINTING ANGLE BRACKET</small></code> im [[Unicodeblock Verschiedene technische Zeichen]], aber das Unicode-Konsortium rät von deren Verwendung ab.<ref>{{Internetquelle |autor=Barbara Beeton, Asmus Freytag, Murray Sargent III |url=https://www.unicode.org/reports/tr25/tr25-6.html |titel=UTR #25: Unicode and Mathematics |werk=Unicode |hrsg=[[Unicode]], Inc. |datum=2003-08-31 |sprache=en |abruf=2022-02-25 |kommentar=siehe Kap. 2.10}}</ref>
Das Skalarprodukt  ist jetzt dasselbe wie zuvor
:<math>\langle\psi_1|\psi_2\rangle\ = \int_{\mathbb R^3(\vec p)}\langle \psi_1 |\vec{p}\rangle\langle \vec{p}|\psi_2\rangle\, \mathrm{d}^3 \! p = \int_{\mathbb R^3(\vec p)} \psi_1(\vec p)^*\,\psi_2(\vec p)\, \mathrm{d}^3 \! p</math>


Allgemein gilt, dass  Skalarprodukte bei einem beliebigen [[Basiswechsel (Vektorraum)|Basiswechsel]] invariant sind. Beispiele sind die Übergänge („Darstellungswechsel“) von einem vollständigen Satz von Eigenvektoren und/oder uneigentlichen Eigenvektoren  [[selbstadjungiert]]er [[Operator (Mathematik)|Operatoren]] des Systems  zum anderen, z.&nbsp;B. der Übergang von einem Matrixsystem zum anderen oder der Übergang von einer Matrixdarstellung zur Orts- oder Impulsdarstellung.
== Literatur ==
* Matrixelemente einer invariant definierten [[Observable|„Messgröße“]], mit zugeordnetem, von der benutzten Basis abhängigen Operator  <math>\hat A\,,</math>  sind in allen Basen gleich, obwohl die Operatoren selbst i.a. unterschiedliche Darstellungen besitzen. So berechnet man etwa in der Ortsdarstellung
* {{Literatur |Autor=P. A. M. Dirac |Titel=A new notation for quantum mechanics |Sammelwerk=Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society |Band=35 |Nummer=3 |Seiten=416–418 |Datum=1939 |Sprache=en |DOI=10.1017/S0305004100021162 |bibcode=1939PCPS...35..416D}}
:<math>\langle\psi_1|\hat A|\psi_2\rangle\ = \iint_{\mathbb R^3(\vec x)\,\mathbb R^3(\vec x')} \langle \psi_1|\vec{x}\rangle\langle\vec{x}|\hat A|\vec{x}'\rangle\langle \vec{x}'|\psi_2\rangle\, \mathrm{d}^3 \! x \, \mathrm{d}^3 \! x'\ </math> <math> = \iint_{\mathbb R^3(\vec x)\,\mathbb R^3(\vec x')}  \psi_1(\vec x)^* \hat{A}(\vec{x}, \, \vec{x}')\psi_2(\vec{x}')\, \mathrm{d}^3 \! x \, \mathrm{d}^3 \! x' </math>
* {{Literatur |Autor=P. A. M. Dirac |Titel=The Principles of Quantum Mechanics |Verlag=Clarendon Press |Ort=Oxford |Datum=1958 |Sprache=en |Auflage=4. |Kommentar=Nachdruck als Paperback 1989 |ISBN=978-0-19-852011-5}}
:Die Diagonalelemente, also die mit <math>|\psi_1\rangle=|\psi_2\rangle</math>, sind zugleich die [[Erwartungswert#Quantenmechanischer_Erwartungswert|Erwartungswerte]] des Operators in den jeweiligen Zuständen.
* {{Cite book|publisher=Dover Publications|isbn=978-0-486-69186-2|last1=Szabo|first1=Attila|last2=Ostlund|first2=Neil S.|title=Modern quantum chemistry: introduction to advanced electronic structure theory|location=Mineola, NY|date=1996|language=}}  
''Hinweis: Das Buch von Szabo-Ostlund bietet im 1. Kapitel eine kompakte, zusammenfassende Einführung in die Dirac-Notation.''


== Einzelnachweise ==
== Einzelnachweise ==
<references />
<references />
== Siehe auch ==
* [[Erwartungswert]]
* [[Hermitescher Operator]]
* [[Quantenchemie]]
[[Kategorie:Quantenmechanik]]
[[Kategorie:Quantenmechanik]]
[[Kategorie:Notation (Physik)]]
[[Kategorie:Notation (Physik)]]
[[Kategorie:Paul Dirac]]
[[Kategorie:Paul Dirac als Namensgeber]]

Aktuelle Version vom 25. Februar 2022, 21:22 Uhr

Die Dirac-Notation, auch Bra-Ket-Notation, ist in der Quantenmechanik eine Notation für quantenmechanische Zustände. Die Notation geht auf Paul Dirac zurück. Die ebenfalls von ihm eingeführte Bezeichnung Bra-Ket-Notation ist ein Wortspiel mit der englischen Bezeichnung für eine Klammer (bracket). In der Bra-Ket-Notation wird ein Zustand ausschließlich durch seine Quantenzahlen charakterisiert.

In der Bra-Ket-Notation schreibt man die Vektoren eines Vektorraums V auch außerhalb eines Skalarprodukts mit einer spitzen Klammer als Ket |v. Jedem Ket |v entspricht ein Bra v|, der dem Dualraum V angehört, also eine lineare Abbildung von V in den zu Grunde liegenden Körper K repräsentiert, und umgekehrt. Das Ergebnis der Operation eines Bras v| auf einen Ket |w wird v|w geschrieben, womit der Zusammenhang mit der konventionellen Notation des Skalarprodukts hergestellt ist.

In der Physik wird die Notation verwendet, gleich ob es sich dabei um Vektoren eines Vektorraumes oder um Funktionen in einem Hilbert-Raum handelt. Die mathematische Rechtfertigung für die Bra-Ket-Notation ergibt sich aus dem Satz von Fréchet-Riesz, den F. Riesz und M. Fréchet 1907 unabhängig voneinander bewiesen. Er besagt unter anderem, dass ein Hilbertraum und sein topologischer Dualraum isometrisch isomorph zueinander sind. In unserem Zusammenhang: Zu jedem Ket |v existiert das entsprechende Bra v|, und umgekehrt.

Darstellung

Sei v ein Vektor eines komplexen m-dimensionalen Vektorraums (vCm). Der Ket-Ausdruck |v kann als Spaltenvektor mit komplexen Elementen vn (vnC) dargestellt werden:

|v(v1v2v3vm)

Wichtig ist dabei, dass |v und der dazugehörige Spaltenvektor (v1,v2,v3,,vm)T nicht dasselbe mathematische Objekt sind und somit kein Gleichheitszeichen verwendet werden darf[1]. Dies wird insbesondere daran deutlich, dass die Bra-Ket-Schreibweise von der Wahl einer Basis unabhängig ist, während die Darstellung durch Koordinatenvektoren die Wahl einer Basis voraussetzt. Stattdessen sollte deutlich gemacht werden, dass es sich bei (v1,v2,v3,,vm)T um die Darstellung von |v handelt. Dies kann durch die Verwendung von Zeichen wie , [1], [2] etc. erfolgen.

Der Bra-Ausdruck v| kann demnach als Zeilenvektor mit den konjugierten Werten dargestellt werden:

v|(v1v2v3vm)

Beispiele

Teilchen mit Spin

Durch die Notation |1s, kann ein Elektron im Zustand 1s mit Spin up des Wasserstoffatoms bezeichnet werden.

Photon

Der Polarisationszustand eines Photons kann als Überlagerung zweier Basiszustände |V (vertikal polarisiert) und |H (horizontal polarisiert), angegeben werden:

|γ=α|V+β|H,

wobei

α,βC

und

αα+ββ=|α|2+|β|2=1

System aus mehreren Bosonen

Gegeben sei eine Anzahl von n Bosonen qk mit jeweils einem bestimmten Impuls pk=k2πL. Der Zustand lässt sich mittels der Dirac-Notation kompakt abbilden:

n Zustandsvektor Besetzungszahldarstellung Erläuterung
0 |0 |00 0 Teilchen befinden sich im Zustand 1.
0 Teilchen befinden sich im Zustand 2.
1 |q1 |10 1 Teilchen befindet sich im Zustand 1.
0 Teilchen befinden sich im Zustand 2.
1 |q2 |01 0 Teilchen befinden sich im Zustand 1.
1 Teilchen befindet sich im Zustand 2.
2 |q1,q1 |20 2 Teilchen befinden sich im Zustand 1.
0 Teilchen befinden sich im Zustand 2.
2 |q1,q2=|q2,q1 |11 1 Teilchen befinden sich im Zustand 1.
1 Teilchen befinden sich im Zustand 2.
2 |q2,q2 |02 0 Teilchen befinden sich im Zustand 1.
2 Teilchen befinden sich im Zustand 2.
3 |q1,q1,q1 |30 3 Teilchen befinden sich im Zustand 1.
0 Teilchen befinden sich im Zustand 2.
3 |q1,q1,q2=|q1,q2,q1=|q2,q1,q1 |21 2 Teilchen befinden sich im Zustand 1.
1 Teilchen befindet sich im Zustand 2.

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt eines Bra ϕ| mit einem Ket |ψ wird in Bra-Ket-Notation geschrieben als:

ϕ|ψ:=(ϕ|)(|ψ)

Dies kann als Anwendung des Bras ϕ| auf den Ket |ψ aufgefasst werden.

Für komplexe Zahlen c1 und c2 gilt:

ϕ|(c1|ψ1+c2|ψ2)=c1ϕ|ψ1+c2ϕ|ψ2 (Linearität)

Aufgrund der Dualitätsbeziehung gilt außerdem:

ψ|ϕ=ϕ|ψ (komplexe Konjugation)

Tensorprodukt

Das Tensorprodukt eines Ket |ϕ mit einem Bra ψ| wird geschrieben als

ϕψ  =:  |ϕψ|

Im Fall gewöhnlicher Vektoren entspricht das Tensorprodukt einer Matrix.

Für eine vollständige Orthonormalbasis {|1,|2,,|N} führt die Operation

|11||ψ=1|ψ|1=c1|1

eine Projektion auf den Basiszustand |1 aus. Dies definiert den Projektionsoperator auf den Unterraum des Zustands |1:

|11|

Eine besonders wichtige Anwendung der Multiplikation von Ket mit Bra ist der Einheitsoperator I, der sich als Summe über die Projektionsoperatoren ergibt zu

I=n=1N|nn|.

(In unendlich-dimensionalen Hilberträumen ist bei diskreter Basis der Limes N zu betrachten.)

Diese „Darstellung des Einheitsoperators“ ist insbesondere deshalb von so herausragender Bedeutung, da man damit jeden Zustand |a in einer beliebigen Basis entwickeln kann.

Ein Beispiel einer Basisentwicklung durch Einschieben der Eins:

|a=I|a=n=1N|nn|a=:αn=n=1Nαn|n

Dies ist die Darstellung des Zustands-Kets |a in der n-Basis durch das sogenannte Einschieben der Eins.

Dass dies immer funktioniert, ist eine unmittelbare Konsequenz der Vollständigkeit des Hilbertraums, in dem die Zustände, also die Kets, 'leben'.

Für eine kontinuierliche Basis ist statt der Summe ein Integral zu bilden. So erhält man beispielsweise für den Ortsraum die Summe über das Ortskontinuum und damit den Einheitsoperator als Integral über den ganzen R3:

I=kont. Basis|xx|=R3d3x|xx|

Natürlich ist auch mit einer solchen kontinuierlichen Basis eine Basisentwicklung möglich, was in der Regel auf ein Fourierintegral führt. Technisch handelt es sich dabei nicht um eine Entwicklung nach Basisvektoren des Hilbertraums, da es in den betrachteten separablen Räumen kein Kontinuum von paarweise orthogonalen Vektoren geben kann: Vektoren der Art |x bilden vielmehr eine mathematisch nicht-triviale Erweiterung des betrachteten Hilbertraums, und man nennt sie daher auch manchmal „uneigentliche Vektoren“, weil sie wie die Deltafunktion oder wie monochromatische ebene Wellen nicht quadratintegrierbar sind. (Auch der Begriff der Orthogonalität muss hierbei verallgemeinert werden, indem man statt der sonst üblichen Kroneckersymbole δi,j Deltafunktionen benutzt.)

Beachtet man bei Rechnungen diese Details, die im Grunde nur auf die „Rezepte“   iR3d3x  und δi,jδ(xixj) hinauslaufen, so bleibt die Basisentwicklung eine brauchbare Analogie.

Darstellungen in der Quantenmechanik

In der Quantenmechanik arbeitet man häufig mit Projektionen von Zustandsvektoren auf eine bestimmte Basis anstatt mit den Zustandsvektoren selbst.

Die Projektion auf eine bestimmte Basis wird Darstellung genannt. Ein Vorteil davon ist, dass die so erhaltenen Wellenfunktionen komplexe Zahlen sind, für die der Formalismus der Quantenmechanik als partielle Differentialgleichung geschrieben werden kann.

  • Darstellung in der Ortsraum-Basis (Ortsdarstellung):
Sei |x ein Eigenzustand des Ortsoperators x^ mit der Eigenschaft
x^|x=x|x.
Die Wellenfunktion ψ(x) ergibt sich durch Projektion als
ψ(x)=x|ψ
Das Skalarprodukt ist
ψ1|ψ2 =R3(x)ψ1|xx|ψ2d3x=R3(x)ψ1(x)ψ2(x)d3x
  • Darstellung in der Impulsraum-Basis (Impulsdarstellung):
Sei |p ein Eigenzustand des Impulsoperators p^ mit der Eigenschaft
p^|p=p|p.
Die Wellenfunktion ψ(p) ergibt sich durch Projektion als
ψ(p)=p|ψ(eipx(2π)3/2ψ(x)d3x)
Das Skalarprodukt ist jetzt dasselbe wie zuvor
ψ1|ψ2 =R3(p)ψ1|pp|ψ2d3p=R3(p)ψ1(p)ψ2(p)d3p

Allgemein gilt, dass Skalarprodukte bei einem beliebigen Basiswechsel invariant sind. Beispiele sind die Übergänge („Darstellungswechsel“) von einem vollständigen Satz von Eigenvektoren und/oder uneigentlichen Eigenvektoren selbstadjungierter Operatoren des Systems zum anderen, z. B. der Übergang von einem Matrixsystem zum anderen oder der Übergang von einer Matrixdarstellung zur Orts- oder Impulsdarstellung.

  • Matrixelemente einer invariant definierten „Messgröße“, mit zugeordnetem, von der benutzten Basis abhängigen Operator A^, sind in allen Basen gleich, obwohl die Operatoren selbst im Allgemeinen unterschiedliche Darstellungen besitzen. So berechnet man etwa in der Ortsdarstellung
ψ1|A^|ψ2 =R3(x)R3(x)ψ1|xx|A^|xx|ψ2d3xd3x  =R3(x)R3(x)ψ1(x)A^(x,x)ψ2(x)d3xd3x
Die Diagonalelemente, also die mit |ψ1=|ψ2, sind zugleich die Erwartungswerte des Operators in den jeweiligen Zuständen.

Symbole in Unicode

Die öffnenden und schließenden Winkel sollen in Unicode durch die Zeichen U+27E8 MATHEMATICAL LEFT ANGLE BRACKET und U+27E9 MATHEMATICAL RIGHT ANGLE BRACKET aus dem Unicodeblock Verschiedene mathematische Symbole-A dargestellt werden. Es gibt zwar zusätzlich die Zeichen U+2329 LEFT-POINTING ANGLE BRACKET und U+232A RIGHT-POINTING ANGLE BRACKET im Unicodeblock Verschiedene technische Zeichen, aber das Unicode-Konsortium rät von deren Verwendung ab.[3]

Literatur

  • Attila Szabo, Neil S. Ostlund: Modern quantum chemistry: introduction to advanced electronic structure theory. Dover Publications, Mineola, NY 1996, ISBN 978-0-486-69186-2.

Hinweis: Das Buch von Szabo-Ostlund bietet im 1. Kapitel eine kompakte, zusammenfassende Einführung in die Dirac-Notation.

Einzelnachweise

  1. 1,0 1,1 J. J. Sakurai: Modern quantum mechanics. Third edition Auflage. Cambridge 2021, ISBN 1-108-47322-9, S. 19 ff.
  2. Ramamurti Shankar: Principles of Quantum Mechanics. Second edition Auflage. Springer New York, Boston, MA 1994, ISBN 978-1-4757-0576-8, S. 12 ff.
  3. Barbara Beeton, Asmus Freytag, Murray Sargent III: UTR #25: Unicode and Mathematics. In: Unicode. Unicode, Inc., 31. August 2003, abgerufen am 25. Februar 2022 (Lua-Fehler in Modul:Multilingual, Zeile 149: attempt to index field 'data' (a nil value), siehe Kap. 2.10).