Strahldichte: Unterschied zwischen den Versionen

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|Name= Strahldichte
|Name= Strahldichte
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Die '''Strahldichte'''&nbsp;''L'' (auch ''spezifische Intensität'', {{enS|radiance}}) liefert detaillierte Information über die Orts- und Richtungsabhängigkeit der von einer Sendefläche abgegebenen Strahlung.
Die '''Strahldichte'''<ref name="IEV" /> oder '''Strahlungsdichte'''&nbsp;''L'' ({{enS|radiance}}<ref name="IEV" />) liefert detaillierte Information über die Orts- und Richtungsabhängigkeit der von einer Sendefläche abgegebenen Strahlung.


== Definition ==
== Definition ==
=== Einführung und Grenzwertbetrachtung ===
[[Datei:Infrared dog.jpg|mini|Die meisten Objekte geben von verschiedenen Stellen ihrer Oberfläche unterschiedlich viel Strahlungsleistung ab.]]
Man betrachte einen Körper (beispielsweise eine [[Glühlampe]], eine [[Leuchtdiode]]), welcher [[Strahlung]] (gemessen beispielsweise in [[Watt (Einheit)|Watt]]) in seine Umgebung abgibt. In der Regel wird jeder Punkt des Körpers in verschiedene Richtungen unterschiedlich viel Strahlung aussenden. Soll diese Charakteristik detailliert beschrieben werden, so ist das Konzept der Strahldichte nötig.


Es ist nämlich nicht möglich anzugeben, wie viel Watt von einem [[Infinitesimalrechnung|unendlich kleinen]] Punkt auf der Oberfläche des Körpers ausgeht, da sich die endliche Strahlungsleistung auf eine unendliche Anzahl solcher Punkte verteilt und auf einen einzelnen Oberflächenpunkt daher Null Watt entfallen. Stattdessen betrachtet man eine kleine Umgebung des betreffenden Punktes, setzt die von dieser Umgebung ausgehende (endliche) Strahlungsleistung ins Verhältnis zu ihrer (endlichen) Fläche und lässt die Umgebung gedanklich auf Null schrumpfen. Obwohl die abgestrahlte Leistung und auch die abstrahlende Fläche dabei jeweils gegen Null gehen, strebt beider ''Verhältnis'' gegen einen endlichen [[Grenzwert (Folge)|Grenzwert]], die Flächenleistung oder [[spezifische Ausstrahlung]] ''M'' des Punktes, gemessen in Watt pro Quadratmeter.
=== Mathematische Definition ===


[[Datei:uv-LED.jpg|mini|Die meisten Objekte geben in verschiedene Richtungen unterschiedlich viel Strahlungsleistung ab.]]
[[Datei:Infrared dog.jpg|mini|Die meisten Objekte geben von verschie&shy;denen Stellen  d''A'' ihrer Ober&shy;fläche unter&shy;schied&shy;lich viel Strahlungs&shy;leistung ab.]]
In gleicher Weise ist es nicht möglich anzugeben, welche Leistung in eine bestimmte Richtung abgegeben wird, da sich die endliche Strahlungsleistung auf unendlich viele mögliche Richtungen verteilt und auf jede einzelne Richtung daher Null Watt entfallen. Stattdessen betrachtet man einen kleinen, die gewünschte Richtung umgebenden [[Raumwinkel]], setzt die in diesen Raumwinkel abgegebene (endliche) Leistung ins Verhältnis zur (endlichen) Größe des Raumwinkels und lässt den Raumwinkel gedanklich auf Null schrumpfen. Wiederum streben dabei sowohl der Raumwinkel als auch die in ihm enthaltene abgestrahlte Leistung jeweils gegen Null, ihr ''Verhältnis'' aber gegen einen endlichen Grenzwert, die in die betreffende Richtung abgegebene [[Strahlstärke]] ''I'', gemessen in Watt pro [[Steradiant]].
[[Datei:uv-LED.jpg|mini|Die meisten Objekte geben in ver&shy;schie&shy;dene Richtungen dΩ unter&shy;schied&shy;lich viel Strahlungs&shy;leistung ab.]]


Die Strahldichte kombiniert beides und beschreibt auf diese Weise sowohl die Orts- als auch die Richtungsabhängigkeit der von einem unendlich kleinen Flächenelement abgegebenen Strahlung.
Die Strahldichte <math>L(\beta, \varphi)</math> gibt an, welche Strahlungsleistung <math>\mathrm{d}^2 \Phi</math> von einem gegebenen Punkt der Strahlungsquelle in die durch den [[Kugelkoordinaten|Polarwinkel]] <math>\beta</math> und den [[Kugelkoordinaten|Azimutwinkel]] <math>\varphi</math> gegebene Richtung pro projiziertem Flächenelement <math>\cos(\beta) \mathrm{d}A</math> und pro [[Raumwinkel]]element <math>\mathrm{d}\Omega</math> ausgesendet wird:


=== Strahldichte ===
:<math>L(\beta, \varphi) = \frac{\mathrm{d}^2 \Phi}{\cos(\beta) \mathrm{d}A\ \cdot \mathrm{d}\Omega}\,.</math>
Die Strahldichte <math>L_{\Omega}(\beta, \varphi)</math> gibt an, welche Strahlungsleistung <math>\mathrm{d}^2 \Phi</math> von einem gegebenen Punkt der Strahlungsquelle in die durch den [[Kugelkoordinaten|Polarwinkel]] <math>\beta</math> und den [[Kugelkoordinaten|Azimutwinkel]] <math>\varphi</math> gegebene Richtung pro projiziertem Flächenelement <math>\cos(\beta) \mathrm{d}A</math> und pro [[Raumwinkel]]element <math>\mathrm{d}\Omega</math> ausgesendet wird.


:<math>L_{\Omega}(\beta, \varphi) = \frac{\mathrm{d}^2 \Phi}{\cos(\beta) \mathrm{d}A\ \cdot \mathrm{d}\Omega}</math>
<math>\beta</math> ist hierbei der Winkel zwischen Ausstrahlrichtung und [[Flächennormale]].
:<math>\beta</math> ist hierbei der Winkel zwischen Ausstrahlrichtung und [[Flächennormale]]
:* [[Formelzeichen]]: ''L'', ''L''<sub>Ω</sub>
:* [[SI-Einheitensystem|SI-Einheit]]: [[Watt (Einheit)|Watt]] pro [[Quadratmeter]] pro [[Steradiant]]
:* [[Einheitenzeichen]]: W·m<sup>−2</sup>·sr<sup>−1</sup>


Die Definition der Strahldichte weist die Besonderheit auf, dass die abgegebene Strahlungsleistung nicht wie üblich auf das abstrahlende Flächenelement <math>\mathrm{d}A</math>, sondern auf das in Abstrahlrichtung projizierte Flächenelement <math>\cos(\beta) \mathrm{d}A</math> bezogen wird. Die in eine bestimmte Richtung abgegebene Strahlungsleistung hängt nämlich zum einen von den (möglicherweise richtungsabhängigen) physikalischen Strahlungseigenschaften der Oberfläche und zum anderen rein geometrisch von der in Abstrahlrichtung wirksamen Projektion des strahlenden Flächenelements ab. Der zweite Effekt bewirkt, dass die unter dem Polarwinkel <math>\beta</math> abgegebene Strahlungsleistung um den Faktor <math>\cos(\beta)</math> geringer ist als die senkrecht abgegebene Leistung. Die Division durch den Faktor <math>\cos(\beta)</math> rechnet diesen geometrischen Effekt heraus, so dass nur noch eine eventuelle physikalische Richtungsabhängigkeit aufgrund der Oberflächeneigenschaften übrig bleibt.
Anders ausgedrückt<ref name="IEV" /> ist die Strahldichte <math>L</math> definiert als die Flächendichte der [[Strahlstärke]] <math>I</math>, bezogen auf die projizierte abstrahlende Fläche:
:<math>L(\beta, \varphi) = \frac{\mathrm d I(\beta, \varphi)}{\mathrm d A \,\cos(\beta)}\,,</math>
wobei die Strahlstärke wiederum die [[Strahlungsleistung]] <math>\Phi</math> bezogen auf den [[Raumwinkel]] <math>\Omega</math> ist:
:<math>I(\beta, \varphi) = \frac{\mathrm d \Phi(\beta, \varphi)}{\mathrm d \Omega}\,.</math>


Oberflächen, welche nach Herausrechnen des <math>\cos</math>–Faktors keine Richtungsabhängigkeit der Strahldichte mehr aufweisen, nennt man ''diffuse Strahler'' oder ''[[Lambertsches Gesetz|lambertsche Strahler]]''. Ein lambertsches Flächenelement gibt in alle Richtungen dieselbe Strahldichte ab:
Die [[Internationales Einheitensystem|Si-Einheit]] der Strahldichte ist W&nbsp;/&nbsp;(m<sup>2</sup>·sr).


:<math>L_{\Omega}(\beta, \varphi) =\!\, L_{\Omega} = \text{const.}</math> <!-- \!\, erzwingt PNG zwecks konsistenter Darstellung -->
Für die Definition der Strahldichte ist es unerheblich, ob es sich bei der vom Flächenelement abgegebenen Strahlung um [[Wärmestrahlung|(thermische oder nichtthermische) Eigenemission]], um [[Transmission (Physik)|transmittierte]] oder [[Reflexion (Physik)|reflektierte]] Strahlung oder eine Kombination daraus handelt.
Die Strahldichte ist an jedem Punkt des Raumes definiert, an dem Strahlung vorhanden ist.<ref name="DIN9288">DIN EN ISO 9288: ''Wärmeübertragung durch Strahlung - Physikalische Größen und Definitionen.'' Beuth Verlag, August 1996</ref> Man denke sich anstelle eines abstrahlenden Oberflächenelements gegebenenfalls ein fiktives durchstrahltes Flächenelement im Raum.


Die von ihm in eine bestimmte Richtung abgegebene Strahlungsleistung variiert nur noch mit dem Kosinus des Abstrahlwinkels; solche Strahler sind daher mathematisch besonders einfach zu behandeln:
=== Diffuse Stahler ===


:<math>\mathrm{d}^2 \Phi = L_{\Omega}\cos(\beta) \mathrm{d}A\ \cdot \mathrm{d}\Omega</math>
Die in eine bestimmte Richtung abgegebene Strahlungsleistung hängt von den physikalischen Strahlungseigenschaften der Oberfläche ab. Hinzu kommt der Einfluss der Geometrie: Ein schräg stehendes abstrahlende Flächenelement erscheint um den Faktor <math>\cos(\beta)</math> perspektivisch verkürzt. Die Division durch diesen Faktor rechnet den geometrischen Effekt heraus; die Strahldichte beschreibt daher lediglich die Richtungsabhängigkeit, die sich aufgrund der Oberflächeneigenschaften ergibt. Oberflächen, deren Strahldichte in alle Richtungen gleich ist


Insbesondere kann bei der Integration über den Raumwinkel die nunmehr winkelunabhängige Strahldichte <math>L_{\Omega}</math> als Konstante vor das Integral gezogen werden (siehe unten).
:<math>L(\beta, \varphi) = \text{const.}</math>,


Für die Definition der Strahldichte ist es unerheblich, ob es sich bei der vom Flächenelement abgegebenen Strahlung um [[Spontane Emission|(thermische oder nichtthermische) Eigenemission]], um [[Transmission (Physik)|transmittierte]] oder [[Reflexion (Physik)|reflektierte]] Strahlung oder eine Kombination daraus handelt.
deren Leistung also gemäß <math>\cos(\beta)</math> abgestrahlt wird, nennt man ''diffuse Strahler'' oder ''[[Lambertsches Gesetz|lambertsche Strahler]]''.


Die Strahldichte ist an jedem Punkt des Raumes definiert, an dem Strahlung vorhanden ist.<ref name="DIN9288">DIN EN ISO 9288: ''Wärmeübertragung durch Strahlung - Physikalische Größen und Definitionen.'' Beuth Verlag, August 1996</ref> Man denke sich anstelle eines abstrahlenden Oberflächenelements gegebenenfalls ein fiktives durchstrahltes Flächenelement im Raum.
=== Photometrische Entsprechung ===


Das [[Photometrie|photometrische]] Äquivalent der Strahldichte ist die [[Leuchtdichte]], welche daher zur Veranschaulichung dienen kann: Die Leuchtdichte ist ein Maß für die Helligkeit, mit der eine Fläche wahrgenommen wird. Betrachtet man eine diffus leuchtende Fläche, z.&nbsp;B. ein Blatt Papier, aus verschiedenen Richtungen, so bleibt die wahrgenommene Leuchtdichte der Fläche dabei konstant, während die den Betrachter erreichende gesamte Lichtmenge von der projizierten Fläche abhängt und daher mit dem Cosinus des Betrachtungswinkels variiert. Analog ist die Strahldichte eines diffusen Strahlers in alle Richtungen dieselbe, die in eine bestimmte Richtung abgegebene Strahlungsleistung hängt aber zusätzlich von der in die betreffende Richtung projizierten Strahlfläche ab.
Die entsprechende Größe der [[Photometrie]] ist die [[Leuchtdichte]] <math>L_\mathrm v</math>, bei der zusätzlich die [[V-Lambda-Kurve|Empfindlichkeit des menschlichen Auges]] berücksichtigt wird. Zur Abgrenzung schreibt man die Strahldichte auch als <math>L_\mathrm e</math>.


=== Spektrale Strahldichte ===
=== Spektrale Strahldichte ===
Die '''spektrale Strahldichte''' (engl. ''spectral radiance'') <math>L_{\Omega \nu}(\theta, \varphi, \nu)</math> (Einheit: W·m<sup>−2</sup>·Hz<sup>−1</sup>·sr<sup>−1</sup>) eines Körpers gibt an, welche Strahlungsleistung der Körper bei der Frequenz <math>\nu</math> in die durch den [[Kugelkoordinaten|Polarwinkel]] <math>\theta</math> und den [[Kugelkoordinaten|Azimutwinkel]] <math>\varphi</math> gegebene Richtung pro projizierter Fläche, pro [[Raumwinkel]] und pro Frequenzbreite aussendet.
Die '''spektrale Strahldichte''' (engl. ''spectral radiance'')<ref name="IEV052" /> <math>L_{\nu}(\theta, \varphi, \nu)</math> (Einheit: W·m<sup>−2</sup>·Hz<sup>−1</sup>·sr<sup>−1</sup>) eines Körpers gibt an, welche Strahlungsleistung der Körper bei der Frequenz <math>\nu</math> in die durch den [[Kugelkoordinaten|Polarwinkel]] <math>\theta</math> und den [[Kugelkoordinaten|Azimutwinkel]] <math>\varphi</math> gegebene Richtung pro projizierter Fläche, pro [[Raumwinkel]] und pro Frequenzbreite aussendet.


Die spektrale Strahldichte wird auch angegeben als <math>L_{\Omega \lambda}(\beta, \varphi, \lambda)</math> (Einheit: W·m<sup>−3</sup>·sr<sup>−1</sup>) bezogen auf das ''Einheits-Wellenlängenintervall''.
Die spektrale Strahldichte wird auch angegeben als <math>L_{\lambda}(\beta, \varphi, \lambda)</math> (Einheit: W·m<sup>−3</sup>·sr<sup>−1</sup>) bezogen auf das ''Einheits-Wellenlängenintervall''.<ref name="IEV052" />


Die spektrale Strahldichte liefert die detaillierteste Darstellung der Strahlungseigenschaften eines Strahlers. Sie beschreibt explizit die Richtungsabhängigkeit und die Frequenz- (oder Wellenlängen‑)abhängigkeit der abgegebenen Strahlung. Aus der spektralen Strahldichte lassen sich die anderen [[Radiometrie#Radiometrische Größen|Strahlungsgrößen]] durch Integration über die Richtungen und/oder Frequenzen ableiten. Integration über das relevante Frequenz- bzw. Wellenlängenintervall liefert insbesondere wieder die Strahldichte, welche daher, wenn sie von der spektralen Strahldichte unterschieden werden muss, auch Gesamtstrahldichte genannt wird.
Die spektrale Strahldichte liefert die detaillierteste Darstellung der Strahlungseigenschaften eines Strahlers. Sie beschreibt explizit die Richtungsabhängigkeit und die Frequenz- (oder Wellenlängen‑)abhängigkeit der abgegebenen Strahlung. Aus der spektralen Strahldichte lassen sich die anderen [[Radiometrie#Radiometrische Größen|Strahlungsgrößen]] durch Integration über die Richtungen und/oder Frequenzen ableiten. Integration über das relevante Frequenz- bzw. Wellenlängenintervall liefert insbesondere wieder die Strahldichte, welche daher, wenn sie von der spektralen Strahldichte unterschieden werden muss, auch Gesamtstrahldichte genannt wird.


== Schwarzer Strahler ==
== Radiometrisches und photometrisches Grundgesetz ==
Ein Schwarzer Strahler ist ein idealisierter Körper, welcher alle auf ihn treffende elektromagnetische Strahlung vollständig absorbiert. Aus thermodynamischen Gründen weist die von einem solchen Körper seinerseits abgegebene thermische Strahlung ein universelles Spektrum auf, und er muss zwangsläufig ein lambertscher Strahler sein. Reale Strahler erreichen diese idealen Eigenschaften niemals vollständig, können ihnen jedoch nahekommen. Die Strahlungseigenschaften eines Schwarzen Strahlers können daher oft als gute Näherung für einen realen Strahler benutzt werden.
 
Die Abweichung eines realen Strahlers vom schwarzen Ideal kann durch einen [[Emissionsgrad]] erfasst werden. Da ein realer Strahler auf einer gegebenen Wellenlänge nicht stärker strahlen kann als ein schwarzer Körper gleicher Temperatur, muss der Emissionsgrad immer kleiner als 1 sein. Der Emissionsgrad kann wellenlängenabhängig und, falls der reale Strahler kein lambertscher Strahler ist, auch richtungsabhängig sein. Ermittelt werden die Emissionsgrade durch Vergleich der Strahldichten oder der spektralen Strahldichten von realem und Schwarzem Strahler.
 
[[Datei:BlackbodySpectrum loglog 150dpi de.png|mini|hochkant=1.5|Spektrale Verteilung der Intensität der Schwarzkörperstrahlung in [[Doppelt-logarithmische Auftragung|doppelt-logarithmischer Auftragung]]]]
 
=== Spektrale Strahldichte eines Schwarzen Strahlers ===
==== Herleitung ====
Nach Planck gilt für die spektrale Energiedichte eines Schwarzen Strahlers:
{| style="margin-left:2em"
| <math> U^o_{\nu}(\nu, T) \, \mathrm{d}\nu = 8 \pi \frac{h\nu^3}{c^3(e^{\frac{h\nu}{k_BT}}-1)} \, \mathrm{d}\nu </math>
|}
Aus dieser ergibt sich die spektrale Strahldichte:
{| style="margin-left:2em"
| <math>L^o_{\Omega\nu}(\nu, T) \, \mathrm{d}\nu = \frac{c}{4\pi} \cdot U^o_{\nu}(\nu, T) \, \mathrm{d}\nu </math>
|}
Der Faktor kann so verstanden werden, dass sich die Strahlung mit der Geschwindigkeit <math> c </math> in den gesamten Raumwinkel <math> \Omega = 4\pi </math> ausbreitet.
 
==== Folgerung ====
Für die spektrale Strahldichte <math>L^o_{\Omega\nu}</math> eines [[Schwarzer Körper|Schwarzen Strahlers]] der [[Absolute Temperatur|absoluten Temperatur]] ''T'' gilt nach [[Max Planck|Planck]]
 
in der Frequenzdarstellung:
{| style="margin-left:2em"
|style=" border: 1px solid black; padding:5px"|<math> L^o_{\Omega\nu}(\nu, T) \, \cos(\beta)\, \mathrm{d}A \, \mathrm{d}\nu \, \mathrm{d}\Omega = \frac{2 h\nu^{3}}{c^2} \frac{1}{e^{\left(\frac{h\nu}{kT}\right)}-1}\cos(\beta) \, \mathrm{d}A \, \mathrm{d}\nu \, \mathrm{d}\Omega </math>
|}
 
mit
 
{| style="margin-left:2em"
| <math>L^o_{\Omega\nu}(\nu, T)</math>
| :
| spektrale Strahldichte des Schwarzen Strahlers,
| W&nbsp;m<sup>−2</sup>&nbsp;Hz<sup>−1</sup>&nbsp;sr<sup>−1</sup>
|-
| <math>\nu</math>
| :
| Frequenz,
| Hz
|}
 
und in der Wellenlängendarstellung:
{| style="margin-left:2em"
|style=" border: 1px solid black; padding:5px"|<math> L^o_{\Omega\lambda}(\lambda, T) \, \cos(\beta)\, \mathrm{d}A \, \mathrm{d}\lambda \, \mathrm{d}\Omega = \frac{2 h c^2}{\lambda^5} \frac{1}{e^{\left(\frac{hc}{\lambda kT}\right)}-1}\cos(\beta) \, \mathrm{d}A \, \mathrm{d}\lambda \, \mathrm{d}\Omega </math>
|}


mit
Das [[Photometrisches Grundgesetz|radiometrische und photometrische Grundgesetz]] besagt, dass die [[Leuchtdichte]] auf dem Weg von der Lichtquelle zur beleuchteten Fläche unverändert bleibt. In der Radiometrie gilt dies analog:
:Die Strahldichte am Ort des Senders in Richtung des Empfängers ist gleich der Strahldichte am Ort des Empfängers aus Richtung des Senders.
Für eine detaillierte Beschreibung siehe [[Leuchtdichte#Photometrisches Grundgesetz]].


{| style="margin-left:2em"
== Lambertscher Strahler ==
| <math>L^o_{\Omega\lambda}(\lambda, T)</math>
| :
| spektrale Strahldichte des Schwarzen Strahlers,
| W&nbsp;m<sup>−2</sup>&nbsp;μm<sup>−1</sup>&nbsp;sr<sup>−1</sup>
|-
| <math>\lambda</math>
| :
| Wellenlänge,
| m, µm
|-
| <math>T</math>
| :
| absolute Temperatur,
| K
|-
| <math>h</math>,
|:
| [[Plancksches Wirkungsquantum]],
| Js
|-
| <math>c</math>
| :
| [[Lichtgeschwindigkeit]],
| m/s
|-
| <math>k</math>
| :
| [[Boltzmannkonstante]],
| J/K
|}


<math> L^o_{\Omega\nu}(\nu, T) \, \cos(\beta)\, \mathrm{d}A \, \mathrm{d}\nu \, \mathrm{d}\Omega</math> ist die Strahlungsleistung, die vom Flächenelement d''A'' im Frequenzbereich zwischen ''ν'' und ''ν'' + d''ν'' in das zwischen den Azimutwinkeln ''φ'' und ''φ''+d''φ'' sowie den Polarwinkeln ''β'' und ''β''+d''β'' aufgespannte Raumwinkelelement d''Ω'' abgestrahlt wird. Die Richtungsabhängigkeit dieser Strahlungsleistung kommt nur durch den geometrischen <math>\cos</math>–Faktor zustande; die spektrale Strahldichte selbst ist richtungsunabhängig.
Die Ausstrahlung einer Abstrahlfläche <math>A</math> in einen Raumwinkel <math>\Omega</math> ergibt sich aus der Definitionsgleichung für die Strahldichte durch [[Integralrechnung|Integration]] über <math>\mathrm{d}A</math> und <math>\mathrm{d}\Omega</math>:


Bei der Umrechnung zwischen Frequenz- und Wellenlängendarstellung ist zu beachten, dass wegen
: <math>\Phi = \int_{\Omega} \int_A  L(\beta, \varphi) \cdot \cos(\beta) \mathrm{d}A \cdot \mathrm{d}\Omega = \int_{\Delta\beta} \int_{\Delta\varphi} \int_A  L(\beta, \varphi) \cdot \cos(\beta)\sin(\beta) \cdot \mathrm{d}A \, \mathrm{d}\beta \, \mathrm{d}\varphi\,</math>.
: <math>\lambda = \frac{c}{\nu}</math>
gilt:
: <math>|\mathrm{d}\lambda| = \frac{c}{\nu^2} |\mathrm{d}\nu| \quad \text{und} \quad |\mathrm{d}\nu| = \frac{c}{\lambda^2} |\mathrm{d}\lambda|</math>
 
Das Verhältnis der in eine bestimmte Richtung abgegebenen und bei einer bestimmten Wellenlänge betrachteten spektralen Strahldichte eines Flächenelements eines gegebenen Strahlers zu der bei derselben Wellenlänge betrachteten spektralen Strahldichte eines Schwarzen Strahlers derselben Temperatur ist der ''[[Gerichteter spektraler Emissionsgrad|gerichtete spektrale Emissionsgrad]]'' des Flächenelements.
 
Integriert man die spektrale Strahldichte des Schwarzen Strahlers über alle Richtungen des Halbraums, in den das Flächenelement abstrahlt, so erhält man die ''spektrale spezifische Ausstrahlung'' des Schwarzen Strahlers. Das Integral liefert einen zusätzlichen Faktor <math>\pi</math>. Zur Formel siehe den Artikel „[[Plancksches Strahlungsgesetz]]“.
 
=== Gesamtstrahldichte eines Schwarzen Strahlers ===
 
Integriert man die spektrale Strahldichte über alle Frequenzen bzw. Wellenlängen, so erhält man die Gesamtstrahldichte <math>L^o_{\Omega}(T)</math>:
 
: <math>L^o_{\Omega}(T) \cos(\beta) \, \mathrm{d}A \, \mathrm{d}\Omega  = \int_{\nu=0}^{\infty} L^o_{\Omega\nu}(\nu, T) \cos(\beta) \, \mathrm{d}A \, \mathrm{d}\nu \, \mathrm{d}\Omega </math>
 
Die Auswertung des Integrals liefert wegen <math>\int_{0}^{\infty} \frac{x^3}{e^{x}-1} \, \mathrm{d}x = \frac{\pi^4}{15}</math>:
 
{| style="margin-left:2em"
|style="border: 1px solid black; padding:5px"|<math>L^o_{\Omega}(T) \cos(\beta) \, \mathrm{d}A \, \mathrm{d}\Omega  =  \frac{2 \pi^4 k^4}{15 h^3 c^2} T^4 \cos(\beta) \, \mathrm{d}A \, \mathrm{d}\Omega</math>
|}
 
mit
 
: <math>L^o_{\Omega}(T)</math>: Gesamtstrahldichte des Schwarzen Strahlers, W m<sup>−2</sup> sr<sup>−1</sup>.
 
<math>L^o_{\Omega}(T) \cos(\beta) \, \mathrm{d}A \, \mathrm{d}\Omega </math> ist die Strahlungsleistung, die vom Flächenelement d''A'' auf allen Frequenzen in das in der Richtung β gelegene Raumwinkelelement dΩ abgestrahlt wird.
 
Das Verhältnis der in eine bestimmte Richtung abgegebenen Gesamtstrahldichte eines Flächenelements eines gegebenen Strahlers zu der Gesamtstrahldichte eines Schwarzen Strahlers derselben Temperatur ist der ''[[Gerichteter Gesamtemissionsgrad|gerichtete Gesamtemissionsgrad]]'' des Flächenelements.
 
Integriert man die Gesamtstrahldichte des Schwarzen Strahlers über alle Richtungen des Halbraums, in den das Flächenelement abstrahlt, so erhält man die ''[[spezifische Ausstrahlung]]'' des Schwarzen Strahlers. Das Integral liefert einen zusätzlichen Faktor <math>\pi</math>. Zur Formel siehe den Artikel „[[Stefan-Boltzmann-Gesetz]]“.
 
== Anwendung ==
Umstellen der Definitionsgleichung für die Strahldichte liefert die Strahlungsleistung, die vom Flächenelement <math>\mathrm{d}A</math> in das Raumwinkelelement <math>\mathrm{d}\Omega</math> gestrahlt wird, welches in der durch die Winkel <math>\beta</math> und <math>\phi</math> beschriebenen Richtung liegt:
 
: <math>\mathrm{d}^2 \Phi(\beta, \varphi) = L_{\Omega}(\beta, \varphi) \cdot \cos(\beta) \mathrm{d}A \cdot \mathrm{d}\Omega</math>
 
Soll die Ausstrahlung einer endlich großen Abstrahlfläche <math>A</math> in einen endlich großen Raumwinkel <math>\Omega</math> ermittelt werden, so ist über <math>\mathrm{d}A</math> und <math>\mathrm{d}\Omega</math> zu integrieren:
 
: <math>\Phi = \int_{\Omega} \int_A  L_{\Omega}(\beta, \varphi) \cdot \cos(\beta) \mathrm{d}A \cdot \mathrm{d}\Omega = \int_{\Delta\beta} \int_{\Delta\varphi} \int_A  L_{\Omega}(\beta, \varphi) \cdot \cos(\beta)\sin(\beta) \cdot \mathrm{d}A \, \mathrm{d}\beta \, \mathrm{d}\varphi</math>


Dabei wurde die Darstellung des Raumwinkelelements in [[Kugelkoordinaten#Differentiale, Volumenelement, Flächenelement, Linienelement|Kugelkoordinaten]] verwendet:
Dabei wurde die Darstellung des Raumwinkelelements in [[Kugelkoordinaten#Differentiale, Volumenelement, Flächenelement, Linienelement|Kugelkoordinaten]] verwendet:
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: <math>\mathrm{d}\Omega = \sin(\beta) \, \mathrm{d}\beta \, \mathrm{d}\varphi</math>
: <math>\mathrm{d}\Omega = \sin(\beta) \, \mathrm{d}\beta \, \mathrm{d}\varphi</math>


Da <math>L_{\Omega}</math> im Allgemeinen vom Ort auf der Strahlfläche <math>A</math> und von den überstrichenen Richtungen abhängen kann, ergibt sich unter Umständen ein sehr kompliziertes Integral. Eine wesentliche Vereinfachung tritt ein, wenn die Strahlfläche ein lambertscher Strahler (die Strahldichte also richtungsunabhängig) mit konstanten Oberflächeneigenschaften (die Strahldichte also ortsunabhängig) ist. Dann ist die Strahldichte eine konstante Zahl <math>L</math> und kann vor das Integral gezogen werden:
Da <math>L</math> im Allgemeinen vom Ort auf der Strahlfläche <math>A</math> und von den überstrichenen Richtungen abhängen kann, ergibt sich unter Umständen ein sehr kompliziertes Integral.
 
Eine wesentliche Vereinfachung tritt ein, wenn die Strahlfläche ein lambertscher Strahler ist, wenn also die Strahldichte orts- und richtungsunabhängig ist. Dann ist die Strahldichte eine konstante Zahl <math>L</math> und kann vor das Integral gezogen werden:


: <math>\Phi = A \cdot L \int_{\Omega} \cos(\beta) \ \mathrm{d} \, \Omega</math>
: <math>\Phi = A \cdot L \int_{\Omega} \cos(\beta) \ \mathrm{d} \, \Omega</math>
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Wird beispielsweise die Ausstrahlung in den gesamten von der Strahlfläche überblickten Halbraum betrachtet, so ergibt sich für das Integral der Wert <math>\pi</math> und die Abstrahlung eines lambertschen Strahlers der Fläche <math>A</math> in den gesamten Halbraum ist einfach:
Wird beispielsweise die Ausstrahlung in den gesamten von der Strahlfläche überblickten Halbraum betrachtet, so ergibt sich für das Integral der Wert <math>\pi</math> und die Abstrahlung eines lambertschen Strahlers der Fläche <math>A</math> in den gesamten Halbraum ist einfach:


: <math>\Phi = \pi \, A \, L</math> (Strahlungsleistung eines lambertschen Strahlers in den Halbraum)
: <math>\Phi = \pi \, A \, L\;\;</math> (Strahlungsleistung eines lambertschen Strahlers in den Halbraum)
 
Ist die Strahlfläche ein [[Schwarzer Strahler]] der Temperatur <math>T</math>, so lässt sich die benötigte Strahldichte sofort nach dem [[Plancksches Strahlungsgesetz|planckschen Strahlungsgesetz]] berechnen (Formeln siehe oben). Ist sie ein [[Grauer Körper|Grauer Strahler]], so ist die plancksche Strahldichte um den [[Emissionsgrad]] abzumindern. Eine eventuelle Orts- und Richtungsabhängigkeit des Emissionsgrades sowie eventuelle Reflexionen können die Integrationen erschweren.
 
== Fotometrisches Grundgesetz ==
 
=== Ausstrahlung ===
[[Datei:Fotometrisches Grundgesetz (Schema) DE.svg|mini|Zwei Flächen als gegenseitige Strahlungspartner im fotometrischen Grundgesetz]]
Betrachtet man ein Flächenelement <math>\mathrm{d}A_1</math>, welches mit der Strahldichte <math>L_1</math> ein im Abstand <math>r</math> befindliches Flächenelement <math>\mathrm{d}A_2</math> bestrahlt, so spannt <math>\mathrm{d}A_2</math> von <math>\mathrm{d}A_1</math> aus betrachtet den [[Raumwinkel]] <math>\mathrm{d}\Omega_2 = \cos(\beta_2)\mathrm{d}A_2 / r^2</math> auf, und aus der ersten Gleichung im vorigen Abschnitt folgt:
 
: <math>\mathrm{d}^2 \Phi_{1\rightarrow2} = L_1 \cdot \cos(\beta_1) \, \mathrm{d}A_1 \, \mathrm{d}\Omega_2 =  \frac{L_1 \cdot \cos(\beta_1) \, \cos(\beta_2) \, \mathrm{d}A_1 \, \mathrm{d}A_2}{r^2}</math>
 
Dabei sind <math>\beta_1</math> und <math>\beta_2</math> die Neigungswinkel der Flächenelemente gegen die gemeinsame Verbindungslinie.
 
Dies ist das ''fotometrische Grundgesetz''. Durch Integration über die beiden Flächen ergibt sich wiederum die von Fläche 1 nach Fläche 2 fließende Strahlungsleistung.
 
=== Einstrahlung ===
Die '''Bestrahlungsdichte''' <math>E</math> (nicht zu verwechseln mit der [[Bestrahlungsstärke]], welche auch oft mit <math>E</math> bezeichnet wird) ist analog zur Strahldichte, jedoch für den Einstrahlungsfall definiert. Sie gibt an, welche Strahlungsleistung <math>\mathrm{d}^2 \Phi</math> aus der durch den [[Kugelkoordinaten|Polarwinkel]] <math>\beta</math> und den [[Kugelkoordinaten|Azimutwinkel]] <math>\varphi</math> gegebenen Richtung pro projiziertem Flächenelement <math>\cos(\beta) \mathrm{d}A</math> und pro [[Raumwinkel]]element <math>\mathrm{d}\Omega</math> empfangen wird. Die bisher abgeleiteten Gleichungen gelten analog. Insbesondere gilt für die auf Flächenelement <math>\mathrm{d}A_2</math> empfangene, von <math>\mathrm{d}A_1</math> abgegebene Strahlungsleistung:
 
: <math>\mathrm{d}^2 \Phi_{2\leftarrow1} = E_2 \cdot \cos(\beta_2) \, \mathrm{d}A_2 \, \mathrm{d}\Omega_1 =  \frac{E_2 \cdot \cos(\beta_1) \, \cos(\beta_2) \, \mathrm{d}A_1 \, \mathrm{d}A_2}{r^2}</math>
 
wobei diesmal der von <math>\mathrm{d}A_1</math> aufgespannte Raumwinkel <math>\mathrm{d}\Omega_1 = \cos(\beta_1)\mathrm{d}A_1 / r^2</math> auftritt.
 
=== Folgerung ===
Die von <math>\mathrm{d}A_1</math> nach <math>\mathrm{d}A_2</math> ausgesandte und die auf <math>\mathrm{d}A_2</math> von <math>\mathrm{d}A_1</math> empfangene Strahlungsleistung müssen identisch sein (sofern nicht in einem zwischen den Flächen liegenden Medium Strahlungsleistung durch Absorption oder Streuung verloren geht), und aus dem Vergleich der beiden Gleichungen folgt:
 
: <math>\mathrm{d}^2 \Phi_{1\rightarrow2} = \mathrm{d}^2 \Phi_{2\leftarrow1} \ \Leftrightarrow \ L_1 = E_2 \,</math>
 
Die von Fläche 1 ausgesandte Strahldichte ist identisch mit der auf Fläche 2 eintreffenden Bestrahlungsdichte.
 
Man beachte, dass die Strahldichte nicht mit dem Abstand abnimmt. Die gesamte übertragene Strahlungsleistung <math>\Phi_{1\rightarrow2}</math> bzw. <math>\Phi_{2\rightarrow1}</math> nimmt hingegen wie erwartet mit dem Quadrat des Abstandes ab (aufgrund des Faktors <math>r^2</math> im Nenner beider Gleichungen), dies liegt daran, dass der von der Senderfläche aufgespannte Raumwinkel aus Sicht der Empfängerfläche quadratisch mit dem Abstand abnimmt. Das [[Photometrie|photometrische]] Äquivalent der Strahldichte ist die [[Leuchtdichte]], welche bekanntlich ebenfalls für flächig erscheinende Lichtquellen unabhängig von deren Entfernung ist (eine nahe Plakatwand erscheint zwar größer aber nicht heller als eine identisch beleuchtete weiter entfernte).
 
Wird die Bestrahlungsdichte über den Raumwinkel integriert, aus dem sie stammt, so ergibt sich die [[Bestrahlungsstärke]] genannte Einstrahl-Leistungsdichte auf der Empfängerfläche in W/m². Falls die Strahldichte der Senderfläche bekannt ist, so ist damit sofort auch die Bestrahlungsdichte der Empfängerfläche bekannt:
 
: <math>\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}A} = \int_{\Omega} E_{\Omega}(\beta, \varphi) \cdot \cos(\beta) \cdot \mathrm{d}\Omega = \int_{\Omega} L_{\Omega}(\beta, \varphi) \cdot \cos(\beta) \cdot \mathrm{d}\Omega</math>
 
=== Beispiele ===
Die Sonne ist in guter Näherung ein Schwarzer Strahler der Temperatur 5777&nbsp;K. Sie erscheint von der Erde aus gesehen unter einem Raumwinkel von 0,000068 Steradian. Man berechne die daraus folgende Bestrahlungsstärke an der Erdoberfläche (senkrecht zur Sonnenstrahlung und ohne Berücksichtigung der absorbierenden Atmosphäre).
 
Gemäß dem planckschen Strahlungsgesetz beträgt die Strahldichte der Sonnenoberfläche <math>L^0_{\Omega}(T) = 20,10\cdot10^6 \ \mathrm{W m^{-2} sr^{-1}}</math>. Die Bestrahlungsdichte an der Erdoberfläche hat denselben Zahlenwert. Wird die von der Sonne herrührende Bestrahlungsdichte als über die Sonnenscheibe konstant angesehen, so reduziert sich die Integration über den von der Sonnenscheibe eingenommenen Raumwinkel auf eine Multiplikation der Bestrahlungsdichte mit dem Raumwinkel.
 
: <math>\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}A} = \int_{\Omega} E_{\Omega}(\beta, \varphi) \cdot \cos(\beta) \cdot \mathrm{d}\Omega = \int_{\Omega} L_{\Omega}^0(T) \cdot \cos(\beta) \cdot \mathrm{d}\Omega \, \approx \, L_{\Omega}^0(T) \cdot \Omega</math>


Es ergibt sich eine Bestrahlungsstärke von 20,10&nbsp;×&nbsp;10<sup>6</sup> W·m<sup>−2</sup>·sr<sup>−1</sup>&nbsp;×&nbsp;0,000068&nbsp;sr =&nbsp;1367&nbsp;W·m<sup>−2</sup>, die [[Solarkonstante]].
== Schwarzer und grauer Strahler ==


Ein grüner [[Laserpointer]] emittiert einen Lichtstrahl mit einer Leistung von einem Milliwatt. An der Austrittsöffnung hat der kreisförmige Strahl einen Radius von einem Millimeter. Der Radius vergrößert sich entlang der Strahlachse um 0,2 mm pro Meter. Berechne das [[Strahlparameterprodukt]] dieses Lasers, sowie den Raumwinkel den der Strahlkegel einnimmt und daraus die Strahldichte des Lasers.
Ist die Strahlfläche ein [[Schwarzer Körper|Schwarzer Strahler]], so lässt sich die Strahldichte nach dem [[Plancksches Strahlungsgesetz|planckschen Strahlungsgesetz]] berechnen; ist sie ein [[Grauer Körper|Grauer Strahler]], so ist die plancksche Strahldichte um den [[Emissionsgrad]] abzumindern.


Die gegebenen Zunahme des Radius entlang der Stahlachse um 0,2&nbsp;mm pro Meter entspricht einem ebenen Winkel von 0,2 [[Radiant (Einheit)|mrad]]. Das Strahlparameterprodukt dieses Lasers ergibt sich als Produkt aus diesem halben Öffnungswinkel und dem Radius des Strahls zu 0,2&nbsp;mm·mrad.
''Formeln: siehe [[Plancksches Strahlungsgesetz]]''


Aus dem ebenen Winkel von 0,2&nbsp;mrad berechnet sich der Raumwinkel in [[Steradiant]] zu 3,14&nbsp;×&nbsp;10<sup>−8</sup>&nbsp;sr.
== Bezug zu anderen radiometrischen Größen  und zur Photometrie ==


Um die Strahldichte zu bestimmen, wird noch aus dem gegebenen Radius die Fläche des Strahls an der Austrittsöffnung zu 3,14 mm² berechnet. Für die Strahldichte ergibt sich somit ein Wert von 1&nbsp;mW / (3,14&nbsp;mm²&nbsp;×&nbsp;3,14&nbsp;×&nbsp;10<sup>−8</sup>&nbsp;sr) =&nbsp;10&nbsp;GW·m<sup>−2</sup>·sr<sup>−1</sup>. Die Strahldichte des Lasers ist also um einen Faktor 500 größer als die der Sonne (20&nbsp;MW·m<sup>−2</sup>·sr<sup>−1</sup>, siehe oben)!
{{Radiometrische und photometrische Größen}}


== Literatur ==
== Literatur ==
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== Einzelnachweise ==
== Einzelnachweise ==
<references />
<references>
<ref name="IEV">
[https://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=845-21-049 electropedia], [[Internationales Elektrotechnisches Wörterbuch]] (IEV) der [[International Electrotechnical Commission]]: Eintrag 845-21-049 (Bereich „Beleuchtung“) hat die Übersetzung: ''radiance'' = „Strahldichte“
</ref>
<ref name="IEV052">
[https://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=845-21-052 electropedia], [[Internationales Elektrotechnisches Wörterbuch]] (IEV) der [[International Electrotechnical Commission]]: Eintrag 845-21-052
</ref>
</references>


[[Kategorie:Physikalische Größenart]]
[[Kategorie:Physikalische Größenart]]
[[Kategorie:Strahlung]]
[[Kategorie:Strahlung]]

Aktuelle Version vom 21. Juli 2021, 18:55 Uhr

Physikalische Größe
Name Strahldichte
Formelzeichen $ L $, $ L_{\mathrm {e} } $
Größen- und
Einheitensystem 		Einheit Dimension
SI W / (m²·sr) M·T−3

Die Strahldichte[1] oder Strahlungsdichte L (englisch radiance[1]) liefert detaillierte Information über die Orts- und Richtungsabhängigkeit der von einer Sendefläche abgegebenen Strahlung.

Definition

Mathematische Definition

Die meisten Objekte geben von verschie­denen Stellen dA ihrer Ober­fläche unter­schied­lich viel Strahlungs­leistung ab.
Die meisten Objekte geben in ver­schie­dene Richtungen dΩ unter­schied­lich viel Strahlungs­leistung ab.

Die Strahldichte $ L(\beta ,\varphi ) $ gibt an, welche Strahlungsleistung $ \mathrm {d} ^{2}\Phi $ von einem gegebenen Punkt der Strahlungsquelle in die durch den Polarwinkel $ \beta $ und den Azimutwinkel $ \varphi $ gegebene Richtung pro projiziertem Flächenelement $ \cos(\beta )\mathrm {d} A $ und pro Raumwinkelelement $ \mathrm {d} \Omega $ ausgesendet wird:

$ L(\beta ,\varphi )={\frac {\mathrm {d} ^{2}\Phi }{\cos(\beta )\mathrm {d} A\ \cdot \mathrm {d} \Omega }}\,. $

$ \beta $ ist hierbei der Winkel zwischen Ausstrahlrichtung und Flächennormale.

Anders ausgedrückt[1] ist die Strahldichte $ L $ definiert als die Flächendichte der Strahlstärke $ I $, bezogen auf die projizierte abstrahlende Fläche:

$ L(\beta ,\varphi )={\frac {\mathrm {d} I(\beta ,\varphi )}{\mathrm {d} A\,\cos(\beta )}}\,, $

wobei die Strahlstärke wiederum die Strahlungsleistung $ \Phi $ bezogen auf den Raumwinkel $ \Omega $ ist:

$ I(\beta ,\varphi )={\frac {\mathrm {d} \Phi (\beta ,\varphi )}{\mathrm {d} \Omega }}\,. $

Die Si-Einheit der Strahldichte ist W / (m2·sr).

Für die Definition der Strahldichte ist es unerheblich, ob es sich bei der vom Flächenelement abgegebenen Strahlung um (thermische oder nichtthermische) Eigenemission, um transmittierte oder reflektierte Strahlung oder eine Kombination daraus handelt. Die Strahldichte ist an jedem Punkt des Raumes definiert, an dem Strahlung vorhanden ist.[2] Man denke sich anstelle eines abstrahlenden Oberflächenelements gegebenenfalls ein fiktives durchstrahltes Flächenelement im Raum.

Diffuse Stahler

Die in eine bestimmte Richtung abgegebene Strahlungsleistung hängt von den physikalischen Strahlungseigenschaften der Oberfläche ab. Hinzu kommt der Einfluss der Geometrie: Ein schräg stehendes abstrahlende Flächenelement erscheint um den Faktor $ \cos(\beta ) $ perspektivisch verkürzt. Die Division durch diesen Faktor rechnet den geometrischen Effekt heraus; die Strahldichte beschreibt daher lediglich die Richtungsabhängigkeit, die sich aufgrund der Oberflächeneigenschaften ergibt. Oberflächen, deren Strahldichte in alle Richtungen gleich ist

$ L(\beta ,\varphi )={\text{const.}} $,

deren Leistung also gemäß $ \cos(\beta ) $ abgestrahlt wird, nennt man diffuse Strahler oder lambertsche Strahler.

Photometrische Entsprechung

Die entsprechende Größe der Photometrie ist die Leuchtdichte $ L_{\mathrm {v} } $, bei der zusätzlich die Empfindlichkeit des menschlichen Auges berücksichtigt wird. Zur Abgrenzung schreibt man die Strahldichte auch als $ L_{\mathrm {e} } $.

Spektrale Strahldichte

Die spektrale Strahldichte (engl. spectral radiance)[3] $ L_{\nu }(\theta ,\varphi ,\nu ) $ (Einheit: W·m−2·Hz−1·sr−1) eines Körpers gibt an, welche Strahlungsleistung der Körper bei der Frequenz $ \nu $ in die durch den Polarwinkel $ \theta $ und den Azimutwinkel $ \varphi $ gegebene Richtung pro projizierter Fläche, pro Raumwinkel und pro Frequenzbreite aussendet.

Die spektrale Strahldichte wird auch angegeben als $ L_{\lambda }(\beta ,\varphi ,\lambda ) $ (Einheit: W·m−3·sr−1) bezogen auf das Einheits-Wellenlängenintervall.[3]

Die spektrale Strahldichte liefert die detaillierteste Darstellung der Strahlungseigenschaften eines Strahlers. Sie beschreibt explizit die Richtungsabhängigkeit und die Frequenz- (oder Wellenlängen‑)abhängigkeit der abgegebenen Strahlung. Aus der spektralen Strahldichte lassen sich die anderen Strahlungsgrößen durch Integration über die Richtungen und/oder Frequenzen ableiten. Integration über das relevante Frequenz- bzw. Wellenlängenintervall liefert insbesondere wieder die Strahldichte, welche daher, wenn sie von der spektralen Strahldichte unterschieden werden muss, auch Gesamtstrahldichte genannt wird.

Radiometrisches und photometrisches Grundgesetz

Das radiometrische und photometrische Grundgesetz besagt, dass die Leuchtdichte auf dem Weg von der Lichtquelle zur beleuchteten Fläche unverändert bleibt. In der Radiometrie gilt dies analog:

Die Strahldichte am Ort des Senders in Richtung des Empfängers ist gleich der Strahldichte am Ort des Empfängers aus Richtung des Senders.

Für eine detaillierte Beschreibung siehe Leuchtdichte#Photometrisches Grundgesetz.

Lambertscher Strahler

Die Ausstrahlung einer Abstrahlfläche $ A $ in einen Raumwinkel $ \Omega $ ergibt sich aus der Definitionsgleichung für die Strahldichte durch Integration über $ \mathrm {d} A $ und $ \mathrm {d} \Omega $:

$ \Phi =\int _{\Omega }\int _{A}L(\beta ,\varphi )\cdot \cos(\beta )\mathrm {d} A\cdot \mathrm {d} \Omega =\int _{\Delta \beta }\int _{\Delta \varphi }\int _{A}L(\beta ,\varphi )\cdot \cos(\beta )\sin(\beta )\cdot \mathrm {d} A\,\mathrm {d} \beta \,\mathrm {d} \varphi \, $.

Dabei wurde die Darstellung des Raumwinkelelements in Kugelkoordinaten verwendet:

$ \mathrm {d} \Omega =\sin(\beta )\,\mathrm {d} \beta \,\mathrm {d} \varphi $

Da $ L $ im Allgemeinen vom Ort auf der Strahlfläche $ A $ und von den überstrichenen Richtungen abhängen kann, ergibt sich unter Umständen ein sehr kompliziertes Integral.

Eine wesentliche Vereinfachung tritt ein, wenn die Strahlfläche ein lambertscher Strahler ist, wenn also die Strahldichte orts- und richtungsunabhängig ist. Dann ist die Strahldichte eine konstante Zahl $ L $ und kann vor das Integral gezogen werden:

$ \Phi =A\cdot L\int _{\Omega }\cos(\beta )\ \mathrm {d} \,\Omega $

Das Integral hängt jetzt nur noch von der Gestalt und Lage des Raumwinkels $ \Omega $ ab und kann unabhängig von $ L $ gelöst werden. Auf diese Weise können nur von der Sender- und Empfängergeometrie abhängige allgemeine Sichtfaktoren ermittelt werden.

Wird beispielsweise die Ausstrahlung in den gesamten von der Strahlfläche überblickten Halbraum betrachtet, so ergibt sich für das Integral der Wert $ \pi $ und die Abstrahlung eines lambertschen Strahlers der Fläche $ A $ in den gesamten Halbraum ist einfach:

$ \Phi =\pi \,A\,L\;\; $ (Strahlungsleistung eines lambertschen Strahlers in den Halbraum)

Schwarzer und grauer Strahler

Ist die Strahlfläche ein Schwarzer Strahler, so lässt sich die Strahldichte nach dem planckschen Strahlungsgesetz berechnen; ist sie ein Grauer Strahler, so ist die plancksche Strahldichte um den Emissionsgrad abzumindern.

Formeln: siehe Plancksches Strahlungsgesetz

Bezug zu anderen radiometrischen Größen und zur Photometrie

Vorlage:Radiometrische und photometrische Größen

Literatur

  • H. D. Baehr, K. Stephan: Wärme- und Stoffübertragung. 5. Auflage. Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-32334-1, Kap. 5: Wärmestrahlung.

Einzelnachweise

  1. ↑ 1,0 1,1 1,2 electropedia, Internationales Elektrotechnisches Wörterbuch (IEV) der International Electrotechnical Commission: Eintrag 845-21-049 (Bereich „Beleuchtung“) hat die Übersetzung: radiance = „Strahldichte“
  2. ↑ DIN EN ISO 9288: Wärmeübertragung durch Strahlung - Physikalische Größen und Definitionen. Beuth Verlag, August 1996
  3. ↑ 3,0 3,1 electropedia, Internationales Elektrotechnisches Wörterbuch (IEV) der International Electrotechnical Commission: Eintrag 845-21-052
Abgerufen von „https://www.cosmos-indirekt.de/physik_137/index.php?title=Strahldichte&oldid=18930“