Großkanonisches Potential: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 27. Mai 2019, 18:47 Uhr

Das Großkanonische Potential $Ω$ (Formelzeichen z. T. auch $Φ_{G}$ , $J$ oder $K$ ; auch Landau-Potential nach Lew Landau) ist ein in der Statistischen Mechanik verwendetes thermodynamisches Potential, welches vorwiegend für irreversible Prozesse offener Systeme verwendet wird. Es ist das angepasste thermodynamische Potential für das μVT-Ensemble.

Definition

Das Großkanonische Potential ist definiert durch:

Ω := F - μ N = U - T S - μ N

mit

der freien Energie $F$
dem chemischen Potential $μ$
der Teilchenzahl $N$ des Systems
der inneren Energie $U$
der absoluten Temperatur $T$ des Systems
der Entropie $S$ .

Alternativ kann das großkanonische Potential über die großkanonische Zustandssumme $Z$ definiert werden:

Ω = - \frac{1}{β} \cdot \ln Z,

wobei $β = \frac{1}{k_{B} \cdot T}$

mit der Boltzmann-Konstanten $k_{B}$ .

Wegen der thermodynamischen Euler-Gleichung ist das großkanonische Potential identisch mit

Ω = - p V

mit

dem Druck $p$
dem Volumen $V$ des Systems.

Eine infinitesimale Änderung des großkanonischen Potentials ist gegeben durch

d Ω = - p \cdot d V - S \cdot d T - N \cdot d μ

Bei konstanter Temperatur ( $d T = 0$ ) und konstantem chemischen Potential ( $d μ = 0$ ) strebt das großkanonische Potential eines thermodynamischen Systems, welches ohne Arbeitsumsatz sich selbst überlassen wird ( $- p \cdot d V = 0$ ), einem Minimum zu ( $d Ω = 0$ ).

Gemäß obiger Gleichung lassen sich die thermodynamischen Größen Entropie, Druck und Teilchenzahl wie folgt erhalten:

(\begin{matrix} S \\ p \\ N \end{matrix}) = - (\begin{matrix} \partial_{T} \\ \partial_{V} \\ \partial_{μ} \end{matrix}) Ω (T, V, μ)

Siehe auch

Gibbs-Energie

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
-Das '''Großkanonische Potential''' <math>\Omega</math> (Formelzeichen z.&nbsp;T. auch <math>\Phi_{G}</math>, <math>J</math> oder <math>K</math>; auch '''Landau-Potential''' nach [[Lew Landau]]) ist ein in der [[Statistische_Mechanik|Statistischen Mechanik]] verwendetes [[thermodynamisches Potential]], welches vorwiegend für [[Irreversibler Prozess|irreversible Prozesse]] [[offenes System|offener Systeme]] verwendet wird. Es ist das angepasste thermodynamische Potential für das [[Großkanonisches Ensemble|μVT-Ensemble]].
+Das '''Großkanonische Potential''' <math>\Omega</math> (Formelzeichen z.&nbsp;T. auch <math>\Phi_{G}</math>, <math>J</math> oder <math>K</math>; auch '''Landau-Potential''' nach [[Lew Landau]]) ist ein in der [[Statistische_Mechanik|Statistischen Mechanik]] verwendetes [[thermodynamisches Potential]], welches vorwiegend für [[Irreversibler Prozess|irreversible Prozesse]] [[Offenes System (Thermodynamik)|offener Systeme]] verwendet wird. Es ist das angepasste thermodynamische Potential für das [[Großkanonisches Ensemble|μVT-Ensemble]].
 == Definition ==
@@ Zeile 13: / Zeile 13: @@
 * der [[absolute Temperatur|absoluten Temperatur]] <math>T</math> des Systems
 * der [[Entropie (Thermodynamik)|Entropie]] <math>S</math>.
-Alternativ kann das großkanonische Potential über die [[großkanonische Zustandssumme]]<math>\mathcal{Z}</math> definiert werden:
+Alternativ kann das großkanonische Potential über die [[großkanonische Zustandssumme]] <math>\mathcal{Z}</math> definiert werden:
 :<math>\Omega = -\frac{1}{\beta} \cdot \ln{\mathcal{Z}},</math>
-wobei <math>\beta = \frac{1}{k_B \cdot T}</math>
+wobei <math>\beta = \frac{1}{k_\mathrm B \cdot T}</math>
-mit der [[Boltzmann-Konstante|Boltzmann-Konstanten]] <math>k_B</math>.
+mit der [[Boltzmann-Konstante|Boltzmann-Konstanten]] <math>k_\mathrm B</math>.
 Wegen der [[Innere Energie|thermodynamischen Euler-Gleichung]] ist das großkanonische Potential identisch mit