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Betrachtet wird ein [[physikalisches System]], beschrieben mittels eines [[Hamiltonoperator]]s H. Dann gilt für zwei Operatoren A und C (für die die angegebenen Mittelwerte existieren, die aber ansonsten beliebig sind): | Betrachtet wird ein [[physikalisches System]], beschrieben mittels eines [[Hamiltonoperator]]s <math>H</math>. Dann gilt für zwei Operatoren <math>A</math> und <math>C</math> (für die die angegebenen Mittelwerte existieren, die aber ansonsten beliebig sind): | ||
:<math>|\langle[A,C]\rangle|^2\leq\frac{\beta}{2}\langle\{A,A^\dagger\}\rangle\cdot\langle[C^\dagger,[H,C]]\rangle\qquad \text{mit} \qquad \beta=\frac{1}{ | :<math>|\langle[A,C]\rangle|^2\leq\frac{\beta}{2}\langle\{A,A^\dagger\}\rangle\cdot\langle[C^\dagger,[H,C]]\rangle\qquad \text{mit} \qquad \beta=\frac{1}{k_\mathrm B T}</math> | ||
wobei <math>[A,C]</math> als [[Kommutator (Mathematik)|Kommutator]] bzw. <math>\{A,A^\dagger\}</math> als [[Kommutator (Mathematik)#Antikommutator|Anti-Kommutator]] zu verstehen sind, sowie der Erwartungswert eines Operators X als | wobei <math>[A,C]</math> als [[Kommutator (Mathematik)|Kommutator]] bzw. <math>\{A,A^\dagger\}</math> als [[Kommutator (Mathematik)#Antikommutator|Anti-Kommutator]] zu verstehen sind, sowie der Erwartungswert eines Operators <math>X</math> als | ||
:<math>\langle X \rangle = \text{Sp}(e^{-\beta H}X)/\text{Sp}(e^{-\beta H}) </math> | :<math>\langle X \rangle = \text{Sp}(e^{-\beta H}X)/\text{Sp}(e^{-\beta H}) </math> | ||
gegeben ist. <math> | gegeben ist. <math>k_\mathrm B</math> ist die [[Boltzmann-Konstante]]. Der (ursprüngliche) Beweis des [[Mermin-Wagner-Theorem]]s, eines Fundamentaltheorems über die Unmöglichkeit geordneter zweidimensionaler Ferromagnete (bzw. Supraleiter bzw. Kristalle) bei isotroper Wechselwirkung, beruht hauptsächlich auf dieser Ungleichung.<ref>Mermin, Wagner ''Absence of ferromagnetism or antiferromagnetism in 1 or 2 dimensional isotropic Heisenberg models'', Physical Review Letters, Bd. 17, 1966, S. 1133.</ref> | ||
== Beweisidee == | == Beweisidee == | ||
Der Beweis der Bogoliubov-Ungleichung basiert darauf, dass über | Der Beweis der Bogoliubov-Ungleichung basiert darauf, dass über | ||
<math>(A,B):=\sum^{E_n\neq E_m}_{nm}\langle n|A^\dagger|m\rangle \langle m|B|n\rangle\frac{e^{-\beta E_m}-e^{-\beta E_n}}{E_n-E_m}</math> | : <math>(A,B):=\sum^{E_n\neq E_m}_{nm}\langle n|A^\dagger|m\rangle \langle m|B|n\rangle\frac{e^{-\beta E_m}-e^{-\beta E_n}}{E_n-E_m}</math> | ||
ein positiv semi-definites [[Skalarprodukt]] definiert werden kann. Als Skalarprodukt erfüllt es die [[Schwarzsche Ungleichung]]: | ein positiv semi-definites [[Skalarprodukt]] definiert werden kann. Als Skalarprodukt erfüllt es die [[Schwarzsche Ungleichung]]: | ||
:<math>|(A,B)|^2\leq (A,A)\cdot(B,B)</math> | : <math>|(A,B)|^2\leq (A,A)\cdot(B,B)</math> | ||
Betrachtet man nun <math>B=[C^\dagger,H]</math> so erhält man die Ungleichung. | Betrachtet man nun <math>B=[C^\dagger,H]</math> so erhält man die Ungleichung. | ||
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:<math>F\le F_0+\langle\mathcal H-\mathcal H_0\rangle_0\,,</math> | :<math>F\le F_0+\langle\mathcal H-\mathcal H_0\rangle_0\,,</math> | ||
wobei auf der rechten Seite dieser Ungleichung alle Erwartungswerte konsequent mit dem Näherungsoperator zu berechnen sind, z. B. <math>\langle X\rangle_0=\frac{{\rm{Spur}\,\,} (e^{-\beta\mathcal H_0}X)}{{\rm{Spur}}\,\, e^{-\beta\mathcal H_0}}\,.</math> Die freie Energie ist | wobei auf der rechten Seite dieser Ungleichung alle Erwartungswerte konsequent mit dem Näherungsoperator zu berechnen sind, z. B. <math>\langle X\rangle_0=\frac{{\rm{Spur}\,\,} (e^{-\beta\mathcal H_0}X)}{{\rm{Spur}}\,\, e^{-\beta\mathcal H_0}}\,.</math> Die freie Energie ist im Weiteren der Logarithmus der [[Zustandssumme]], <math>F=-\beta^{-1} \ln {\rm{Spur}\,\,e^{-\beta\mathcal H}}\,.</math> Das Multiplikationszeichen, <math>\cdot \,,</math> ist jetzt durch das Summenzeichen, +, ersetzt, was wegen des logarithmischen Charakters der Freien Energie sachgemäß ist (<math>\ln a\cdot b =\ln a + \ln b</math>). | ||
Ein Beweis der Variante 2 findet sich in dem angegebenen Artikel. Beide Varianten beruhen auf ähnlichen Ideen. | Ein Beweis der Variante 2 findet sich in dem angegebenen Artikel. Beide Varianten beruhen auf ähnlichen Ideen. | ||
== Literatur == | == Literatur == | ||
* Nolting: ''Quantentheorie des Magnetismus'', Teubner, Bd.2 | * Nolting: ''Quantentheorie des Magnetismus'', Teubner, Bd. 2 | ||
== Quellen == | == Quellen == | ||
Als Bogoliubov-Ungleichung werden zwei Ungleichungen bezeichnet, die beide sehr allgemeine Aussagen in der statistischen Physik machen. Die erste so bezeichnete Ungleichung ist eher abstrakt und setzt einen mit zwei Operatoren, A bzw. C, gebildeten Ausdruck (einen Erwartungswerten von quantenmechanischen Operatoren im thermischen Gleichgewicht) in Beziehung zu einem Produkt aus zwei mit den separaten Operatoren gebildeten Korrelationsfunktionen. Veröffentlicht wurde die Ungleichung 1962[1] von dem russischen Physiker und Mathematiker Nikolai Nikolajewitsch Bogoljubow. Variante 2 ist konkreter: sie betrifft die Freie Energie eines thermodynamischen Systems und ihre verschiedenen Näherungen und ist allgemeiner bekannt (siehe viele Standard-Lehrbücher der Statistischen Physik).
Betrachtet wird ein physikalisches System, beschrieben mittels eines Hamiltonoperators $ H $. Dann gilt für zwei Operatoren $ A $ und $ C $ (für die die angegebenen Mittelwerte existieren, die aber ansonsten beliebig sind):
wobei $ [A,C] $ als Kommutator bzw. $ \{A,A^{\dagger }\} $ als Anti-Kommutator zu verstehen sind, sowie der Erwartungswert eines Operators $ X $ als
gegeben ist. $ k_{\mathrm {B} } $ ist die Boltzmann-Konstante. Der (ursprüngliche) Beweis des Mermin-Wagner-Theorems, eines Fundamentaltheorems über die Unmöglichkeit geordneter zweidimensionaler Ferromagnete (bzw. Supraleiter bzw. Kristalle) bei isotroper Wechselwirkung, beruht hauptsächlich auf dieser Ungleichung.[2]
Der Beweis der Bogoliubov-Ungleichung basiert darauf, dass über
ein positiv semi-definites Skalarprodukt definiert werden kann. Als Skalarprodukt erfüllt es die Schwarzsche Ungleichung:
Betrachtet man nun $ B=[C^{\dagger },H] $ so erhält man die Ungleichung.
Eine andere Beziehung ist ebenfalls als Bogoliubov'sche Ungleichung bekannt,[3] aber allgemeiner anwendbar, z. B. bei der Approximation der sog. Freien Energie $ F $ eines beliebigen thermodynamischen Systems durch Näherungsverfahren, z. B. durch eine Molekularfeld-Näherung. Diese ebenfalls als "Bogoliubov'sche Ungleichung" bezeichnete Beziehung beruht darauf, dass in solchen Fällen der Hamiltonoperator $ {\mathcal {H}} $ des Systems durch eine Näherung $ {\mathcal {H}}_{0} $ ersetzt wird. Es gilt dann die Beziehung
wobei auf der rechten Seite dieser Ungleichung alle Erwartungswerte konsequent mit dem Näherungsoperator zu berechnen sind, z. B. $ \langle X\rangle _{0}={\frac {{\rm {{Spur}\,\,}}(e^{-\beta {\mathcal {H}}_{0}}X)}{{\rm {Spur}}\,\,e^{-\beta {\mathcal {H}}_{0}}}}\,. $ Die freie Energie ist im Weiteren der Logarithmus der Zustandssumme, $ F=-\beta ^{-1}\ln {\rm {{Spur}\,\,e^{-\beta {\mathcal {H}}}}}\,. $ Das Multiplikationszeichen, $ \cdot \,, $ ist jetzt durch das Summenzeichen, +, ersetzt, was wegen des logarithmischen Charakters der Freien Energie sachgemäß ist ($ \ln a\cdot b=\ln a+\ln b $).
Ein Beweis der Variante 2 findet sich in dem angegebenen Artikel. Beide Varianten beruhen auf ähnlichen Ideen.