Zeitentwicklungsoperator: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 19. Dezember 2019, 00:47 Uhr

Der Zeitentwicklungsoperator $U$ ist ein quantenmechanischer Operator, mit dem sich die zeitliche Entwicklung eines physikalischen Systems berechnen lässt. Der quantenmechanische Operator ist eng verwandt mit dem Propagator in der Quantenfeld- oder Vielteilchentheorie. Üblicherweise wird er als $U (t, t_{0})$ geschrieben und bezeichnet die Entwicklung des Systems vom Zeitpunkt $t_{0}$ zum Zeitpunkt $t$ .

Konstruktion

Die Konstruktion des Zeitentwicklungsoperators kann über die formale Exponentiation der Schrödingergleichung oder direkt über seine Eigenschaften erfolgen.

Über die Exponentiation der Schrödingergleichung

Der Zeitentwicklungsoperator $U (t, t_{0})$ wird definiert über die Zeitentwicklung eines beliebigen Zustandes $| ψ ⟩$ zu einem Zeitpunkt $t_{0}$ bis zum Zeitpunkt $t$ :

| ψ (t) ⟩ = U (t, t_{0}) | ψ (t_{0}) ⟩ \forall | ψ ⟩

Einsetzen in die Schrödingergleichung liefert einen Satz gewöhnlicher Differentialgleichungen 1. Ordnung:

i ℏ \frac{\partial}{\partial t} U (t, t_{0}) = H (t) U (t, t_{0})

Diese Gleichungen sind zur Schrödingergleichung insofern äquivalent, als sie die Erweiterung des Zeitentwicklungsoperators um einen infinitesimalen Zeitschritt $δ t$ beschreiben:

U (t + δ t, t_{0}) = (1 - \frac{i}{ℏ} H (t) δ t) U (t, t_{0}) + O (δ t^{2})

mit dem Hamiltonoperator $H$ , der den Erzeuger der Zeitentwicklungen darstellt.

Aus diesen Gleichungen können einige Eigenschaften von $U (t, t_{0})$ abgelesen werden:

Kontinuität: $U (t_{0}, t_{0}) = 1$
Unitarität: $U^{†} (t, t_{0}) U (t, t_{0}) = 1$
Propagatoreigenschaft: $U (t, t_{0}) = U (t, t^{'}) U (t^{'}, t_{0}) \forall t^{'}$

Kontinuität und Propagatoreigenschaft folgen direkt aus der Definition von $U$ . Die Unitarität folgt aus der Selbstadjungiertheit von $H$ und sichert die Erhaltung der Norm und damit der Gesamtwahrscheinlichkeit:

⟨ ψ (t) | ψ (t) ⟩ = ⟨ ψ (t_{0}) | U^{†} (t, t_{0}) U (t, t_{0}) | ψ (t_{0}) ⟩ = ⟨ ψ (t_{0}) | ψ (t_{0}) ⟩

Über die Eigenschaften des Operators

Umgekehrt kann auch die Zeitentwicklung als Ausgangspunkt genommen werden: Das System wird durch einen Zeitentwicklungsoperator $U (t, t_{0})$ definiert, der den o. g. Kriterien 1 bis 3 genügen muss. Dann kann gezeigt werden, dass dieser durch einen selbstadjungierten Operator $H (t)$ erzeugt wird, womit die Brücke zum Hamiltonoperator und zur Schrödingergleichung geschlagen ist.

Explizite Form

Aus der Schrödingergleichung erhalten wir zunächst nur die infinitesimale Form des Zeitentwicklungsoperators (siehe oben):

U (t + δ t, t) = 1 - \frac{i}{ℏ} H (t) δ t + O (δ t^{2})

Endliche Zeitentwicklungen erhält man grob gesprochen entweder durch Verknüpfung unendlich vieler infinitesimaler Zeitschritte oder durch eine Reihenentwicklung.

Zeitunabhängige Systeme

Falls der Hamiltonoperator $H$ nicht explizit zeitabhängig ist, so lässt sich eine analytische Lösung für den Zeitentwicklungsoperator finden. Für die Aneinanderreihung von kleinen Zeitentwicklungen $δ t$ erhält man im Grenzwert $δ t$ gegen 0 ein Matrixexponential:

U (t, t_{0}) = lim_{δ t \to 0} {(1 - \frac{i}{ℏ} H δ t)}^{\frac{t - t_{0}}{δ t}} = \exp (- \frac{i}{ℏ} H \cdot (t - t_{0}))

Dasselbe Ergebnis folgt auch direkt aus der Schrödingergleichung für $U$ , wenn man den Operator in eine Potenzreihe in $t - t_{0}$ entwickelt und einen Koeffizientenvergleich durchführt. Man erhält dann die Potenzreihenentwicklung der Exponentialfunktion^{[NB 1]}:

U (t, t_{0}) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} {(- \frac{i}{ℏ} H \cdot (t - t_{0}))}^{n} = \exp (- \frac{i}{ℏ} H \cdot (t - t_{0}))

$U (t, t_{0})$ ist für zeitunabhängige Systeme nur von der Zeitdifferenz $Δ t = t - t_{0}$ abhängig, was die Unabhängigkeit des Systems gegenüber der Wahl des Zeitursprungs ausdrückt (zeitliche Translationsinvarianz).

Für praktische Rechnungen verwendet man meist die Spektraldarstellung des Zeitentwicklungsoperators, bei der der „unpraktische“ Operator im Exponenten zu einem Phasenfaktor wird:

U (t, t_{0}) = \sum_{n} \exp (- \frac{i}{ℏ} E_{n} (t - t_{0})) | n ⟩ ⟨ n |

,

wobei $| n ⟩$ die Energieeigenbasis ( $H | n ⟩ = E_{n} | n ⟩$ ) darstellt^{[NB 2]}. Diese Form passt mit der Lösung der zeitseparierten Schrödingergleichung zusammen.

Explizit zeitabhängige Systeme

Ist $H = H (t)$ zeitabhängig, so sind im Allgemeinen nur mehr numerische Lösungen für $U$ möglich, es sei denn, der Hamiltonoperator kommutiert, zu verschiedenen Zeitpunkten ausgewertet, mit sich selbst. Dann kann wie im eindimensionalen Fall die Differenzialgleichung durch Exponentiation gelöst werden und man erhält:

U (t, t_{0}) = \exp (- \frac{i}{ℏ} \int_{t_{0}}^{t} H (τ) d τ) \Leftrightarrow [H (t), H (t^{'})] = 0

In der Regel ist dies nicht der Fall und man muss eine der beiden obigen Techniken für zeitunabhängige Systeme verallgemeinern, um zu einer Lösung zu kommen.

Betrachtet man die Zeitentwicklung wieder als Aneinanderreihung kleiner (in diesem Fall nicht äquivalenter) Zeitschritte $δ t$ , so definiert der Grenzwert $δ t$ gegen 0 formal ein Produktintegral nach Vito Volterra:

U (t, t_{0}) = lim_{δ t \to 0} \prod_{t_{i}} (1 - \frac{i}{ℏ} H (t_{i}) δ t) =: \prod_{τ = t_{0}}^{t} (1 - \frac{i}{ℏ} H (τ) d τ)

Dieses Bild der aneinandergereihten kleinen Zeitschritte („time slicing“) ist eine wesentliche Zutat für die Definition des Pfadintegrals. Für praktische Rechnungen betreibt man in der Regel Zeitabhängige Störungstheorie, bei der man eine Reihenentwicklung für $U$ in die Schrödingergleichung in Integralform einsetzt. Die Störungsreihe ergibt sich dann zur sogenannten Dyson-Reihe:

U (t, t_{0}) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- \frac{i}{ℏ})}^{n} \int_{t_{0}}^{t} d t_{1} H (t_{1}) \int_{t_{0}}^{t_{1}} d t_{2} H (t_{2}) \dots \int_{t_{0}}^{t_{n - 1}} d t_{n} H (t_{n})

= \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} {(- \frac{i}{ℏ})}^{n} \int_{t_{0}}^{t} d t_{1} \dots \int_{t_{0}}^{t} d t_{n} T [H (t_{1}) \dots H (t_{n})]

=: T [\exp (- \frac{i}{ℏ} \int_{t_{0}}^{t} H (τ) d τ)] .

mit dem Zeitordnungs-Operator $T$ . Im eindimensionalen Fall ist dieser Operator trivial und man erhält erneut obige Gleichung. Während man sich für viele Systeme auf wenige Terme der Störungsreihe beschränken kann, gibt es manche Systeme wie etwa Nicht-Fermi-Flüssigkeiten, bei denen die Reihe nicht konvergiert.

Literatur

J. J. Sakurai: Modern Quantum Mechanics. Prentice Hall, 1993. ISBN 978-0201539295

Anmerkungen

↑ Oft wird die Exponentialfunktion für Operatoren auch über ihre Potenzreihe definiert
↑ Die Formel gilt in dieser Form nur für abzählbare Basen. Sie kann aber auch auf kontinuierliche Spektren verallgemeinert werden (siehe auch Spektralsatz).

[1] Oft wird die Exponentialfunktion für Operatoren auch über ihre Potenzreihe definiert

[2] Die Formel gilt in dieser Form nur für abzählbare Basen. Sie kann aber auch auf kontinuierliche Spektren verallgemeinert werden (siehe auch Spektralsatz).

[NB 1]

[NB 2]

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-Der '''Zeitentwicklungsoperator''' ist ein [[Quantenmechanik|quantenmechanischer]] [[linearer Operator|Operator]], mit dem sich die [[Zeitentwicklung|zeitliche Entwicklung]] eines [[Physikalisches System|physikalischen Systems]] berechnen lässt. Der quantenmechanische Operator ist eng verwandt mit dem [[Propagator]] in der [[Quantenfeldtheorie|Quantenfeld-]] oder [[Vielteilchentheorie]]. Üblicherweise wird er  als <math>U(t,t_0)</math> geschrieben und bezeichnet die Entwicklung des Systems vom Zeitpunkt <math>t_0</math> zum Zeitpunkt <math>t</math>.
+Der '''Zeitentwicklungsoperator''' <math>U</math> ist ein [[Quantenmechanik|quantenmechanischer]] [[linearer Operator|Operator]], mit dem sich die [[Zeitentwicklung|zeitliche Entwicklung]] eines [[Physikalisches System|physikalischen Systems]] berechnen lässt. Der quantenmechanische Operator ist eng verwandt mit dem [[Propagator]] in der [[Quantenfeldtheorie|Quantenfeld-]] oder [[Vielteilchentheorie]]. Üblicherweise wird er als <math>U(t, t_0)</math> geschrieben und bezeichnet die Entwicklung des Systems vom Zeitpunkt <math>t_0</math> zum Zeitpunkt <math>t</math>.
 == Konstruktion ==
-Die Konstruktion des Zeitentwicklungsoperators kann über die formale Exponentiation der [[Schrödingergleichung]] oder direkt über seine Eigenschaften erfolgen. Die nachstehende Erläuterung folgt zunächst der ersten Route. Der Zeitentwicklungsoperator <math>U(t,t_0)</math> wird über die Zeitentwicklung eines beliebigen Zustandes <math>|\psi \rangle</math> zu einem Zeitpunkt <math>t_0</math> bis zum Zeitpunkt <math>t</math> definiert:
+Die Konstruktion des Zeitentwicklungsoperators kann über die formale [[Potenz (Mathematik)|Exponentiation]] der [[Schrödingergleichung]] oder direkt über seine Eigenschaften erfolgen.
-:<math>|\psi(t)\rangle = U(t,t_0) |\psi(t_0)\rangle \quad \forall|\psi\rangle</math>
+=== Über die Exponentiation der Schrödingergleichung ===
+Der Zeitentwicklungsoperator <math>U(t, t_0)</math> wird definiert über die Zeitentwicklung eines beliebigen [[Zustand (Quantenmechanik)|Zustand]]es <math>|\psi \rangle</math> zu einem Zeitpunkt <math>t_0</math> bis zum Zeitpunkt <math>t</math>:
-Einsetzen in die Schrödingergleichung liefert einen Satz [[gewöhnliche Differentialgleichung|gewöhnlicher Differentialgleichungen]] 1. Ordnung:
+:<math>|\psi(t)\rangle = U(t, t_0) \, |\psi(t_0)\rangle \quad \forall|\psi\rangle</math>
-:<math>\mathrm i\hbar \tfrac\partial{\partial t}U(t,t_0) = H(t) U(t,t_0)</math>
+Einsetzen in die Schrödingergleichung liefert einen Satz [[gewöhnliche Differentialgleichung|gewöhnlicher Differentialgleichungen]] 1.&nbsp;Ordnung:
-Diese Gleichungen sind zur Schrödingergleichung insofern äquivalent, als sie die Erweiterung des Zeitentwicklungsoperators um einen infinitesimalen Zeitschritt <math>\delta t</math> beschreiben:
+:<math>\mathrm i \hbar \tfrac \partial{\partial t} U(t,t_0) = H(t) \, U(t, t_0)</math>
-:<math>U(t+\delta t,t_0)=(1 - \tfrac{\mathrm i}{\hbar} H(t)\delta t)U(t,t_0) + O(\delta t^2)</math>
+Diese Gleichungen sind zur Schrödingergleichung insofern äquivalent, als sie die Erweiterung des Zeitentwicklungsoperators um einen [[infinitesimal]]en Zeitschritt <math>\delta t</math> beschreiben:
-Obige Gleichung macht die Rolle des [[Hamiltonoperator]]s als [[Erzeuger (Algebra)|Erzeuger]] der Zeitentwicklungen deutlich.
+:<math>U(t + \delta t, t_0) = (1 - \tfrac{\mathrm i}{\hbar} H(t) \, \delta t) \, U(t, t_0) + O(\delta t^2)</math>
-Aus diesen Gleichungen können einige Eigenschaften von <math>U(t,t_0)</math> abgelesen werden:
+mit dem [[Hamiltonoperator]] <math>H</math>, der den [[Erzeuger (Algebra)|Erzeuger]] der Zeitentwicklungen darstellt.
-# [[Kontinuität]]: <math>U(t_0, t_0) = 1</math>
-# [[Unitärer Operator|Unitarität]]: <math>U^\dagger(t, t_0) U(t, t_0) = 1</math>
-# [[Propagator]]eigenschaft: <math>U(t,t_0)=U(t,t^\prime)U(t^\prime,t_0)\quad\forall t^\prime</math>
-Eigenschaften 1 und 3 folgen direkt aus der Definition von <math>U</math>. Die Unitarität folgt aus der [[Selbstadjungiert]]heit von <math>H</math> und sichert die Erhaltung der [[Norm (Mathematik)|Norm]] und damit der Gesamtwahrscheinlichkeit:
+Aus diesen Gleichungen können einige Eigenschaften von <math>U(t, t_0)</math> abgelesen werden:
+# [[Stetiger Operator|Kontinuität]]: <math>U(t_0, t_0) = 1</math>
+# [[Unitärer Operator|Unitarität]]: <math>U^\dagger(t, t_0) \, U(t, t_0) = 1</math>
+# [[Propagator]]<nowiki/>eigenschaft: <math>U(t, t_0) = U(t, t^\prime) \, U(t^\prime, t_0) \quad \forall t^\prime</math>
-:<math>\langle\psi(t)|\psi(t)\rangle = \langle\psi(t_0)|U^\dagger(t,t_0)U(t,t_0)|\psi(t_0)\rangle
+Kontinuität und Propagatoreigenschaft folgen direkt aus der Definition von <math>U</math>. Die Unitarität folgt aus der [[Selbstadjungiert]]heit von <math>H</math> und sichert die Erhaltung der [[Norm (Mathematik)|Norm]] und damit der Gesamtwahrscheinlichkeit:
-                                     = \langle\psi(t_0)|\psi(t_0)\rangle</math>
-Es kann auch der „umgekehrte“ Weg gegangen und die Zeitentwicklung als Ausgangspunkt genommen werden: Das System wird durch einen Zeitentwicklungsoperator <math>U(t,t_0)</math> definiert, der den Kriterien 1 bis 3 genügen muss. Es kann dann gezeigt werden, dass dieser durch einen selbstadjungierten Operator <math>H(t)</math> erzeugt wird, womit die Brücke zum Hamiltonoperator und zur Schrödingergleichung geschlagen ist.
+:<math>\langle \psi(t)| \psi(t)\rangle = \langle \psi(t_0)|U^\dagger(t, t_0) \, U(t,t_0) |\psi(t_0)\rangle
+                                       = \langle \psi(t_0)|                               \psi(t_0)\rangle</math>
+=== Über die Eigenschaften des Operators ===
+Umgekehrt kann auch die Zeitentwicklung als Ausgangspunkt genommen werden: Das System wird durch einen Zeitentwicklungsoperator <math>U(t, t_0)</math> definiert, der den o.&nbsp;g. Kriterien&nbsp;1 bis&nbsp;3 genügen muss. Dann kann gezeigt werden, dass dieser durch einen selbstadjungierten Operator <math>H(t)</math> erzeugt wird, womit die Brücke zum Hamiltonoperator und zur Schrödingergleichung geschlagen ist.
 == Explizite Form ==
 Aus der Schrödingergleichung erhalten wir zunächst nur die infinitesimale Form des Zeitentwicklungsoperators (siehe oben):
-:<math>U(t+\delta t,t) = 1 - \tfrac{\mathrm i}{\hbar} H(t)\delta t + O(\delta t)^2</math>
+:<math>U(t+\delta t,t) = 1 - \tfrac{\mathrm i}{\hbar} H(t) \, \delta t + O(\delta t^2)</math>
-Endliche Zeitentwicklungen erhält man grob gesprochen entweder durch Verknüpfung von unendlich vielen infinitesimalen Zeitschritten oder durch eine Reihenentwicklung.
+Endliche Zeitentwicklungen erhält man grob gesprochen entweder durch Verknüpfung unendlich vieler infinitesimaler Zeitschritte oder durch eine [[Reihenentwicklung]].
 === Zeitunabhängige Systeme ===
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 :<math>U(t,t_0) = \sum_n \exp\left(-\tfrac{\mathrm i}{\hbar} E_n(t-t_0) \right) |n\rangle\langle n|</math>,
-wobei <math>{|n\rangle}</math> die Energieeigenbasis (<math>H|n\rangle=E_n|n\rangle</math>) darstellt <ref group="NB">Die Formel gilt in dieser Form nur für abzählbare Basen. Sie kann aber auch auf kontinuierliche Spektren verallgemeinert werden (siehe auch [[Spektralsatz]]).</ref>. Diese Form passt mit der Lösung der zeitseparierten Schrödingergleichung zusammen.
+wobei <math>{|n\rangle}</math> die Energieeigenbasis (<math>H|n\rangle=E_n|n\rangle</math>) darstellt<ref group="NB">Die Formel gilt in dieser Form nur für abzählbare Basen. Sie kann aber auch auf kontinuierliche Spektren verallgemeinert werden (siehe auch [[Spektralsatz]]).</ref>. Diese Form passt mit der Lösung der zeitseparierten Schrödingergleichung zusammen.
 === Explizit zeitabhängige Systeme ===
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 :<math>U(t,t_0) = \lim_{\delta t\to 0} \prod_{t_i} \left(1 - \tfrac{\mathrm i}{\hbar} H(t_i) \delta t \right)
                  =: \prod_{\tau=t_0}^t \left(1 - \tfrac{\mathrm i}{\hbar} H(\tau) d\tau \right)</math>
-Dieses Bild der aneinandergereihten kleinen Zeitschritte („time slicing“) ist eine wesentliche Zutat für die Definition des [[Pfadintegral]]s. Für praktische Rechnungen betreibt man in der Regel [[Störungstheorie (Quantenmechanik)#Zeitabhängige Störungstheorie|Zeitabhängige Störungstheorie]], bei der man eine Reihenentwicklung für <math>U</math> in die Schrödingergleichung in Integralform einsetzt. Die Störungsreihe ergibt sich dann zur sogenannten [[Störungstheorie_(Quantenmechanik)#Dyson-Reihe_des_Zeitentwicklungsoperators|Dyson-Reihe]]:
+Dieses Bild der aneinandergereihten kleinen Zeitschritte („time slicing“) ist eine wesentliche Zutat für die Definition des [[Pfadintegral]]s. Für praktische Rechnungen betreibt man in der Regel [[Störungstheorie (Quantenmechanik)#Zeitabhängige Störungstheorie|Zeitabhängige Störungstheorie]], bei der man eine Reihenentwicklung für <math>U</math> in die Schrödingergleichung in Integralform einsetzt. Die Störungsreihe ergibt sich dann zur sogenannten [[Störungstheorie (Quantenmechanik)#Dyson-Reihe des Zeitentwicklungsoperators|Dyson-Reihe]]:
 :<math>U(t,t_0) = \sum_{n=0}^\infty \left(-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\right)^n