Langevin-Funktion: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 28. September 2021, 10:14 Uhr

Langevin-Funktion

Die Langevin-Funktion $L (x)$ (nach dem Physiker Paul Langevin (1872–1946)) ist eine mathematische Funktion, die zur Berechnung von Orientierungspolarisation, Polarisation, Magnetisierung und Widerstand verwendet wird.

Definition

Die Langevin-Funktion^[1] ist definiert durch

L (x) = \coth (x) - \frac{1}{x}

,

wobei $\coth$ den Kotangens hyperbolicus bezeichnet.

Eine Anwendung

Die bekannteste Anwendung ist die halbklassische Beschreibung eines Paramagneten in einem äußeren Magnetfeld. Dazu wird der Langevin-Parameter $ξ$ eingeführt:

ξ = \frac{m B}{k_{B} T}

Die einzelnen Formelzeichen stehen für folgende Größen:

$m$ : Magnetisches Moment eines Teilchens
$B$ : Betrag der magnetischen Flussdichte des angelegten äußeren Magnetfeldes
$k_{B}$ : Boltzmann-Konstante
$T$ : Absolute Temperatur

Für die Magnetisierung $M$ eines Paramagneten ergibt sich dann:

M = N m L (ξ)

$N$ steht dabei für die Stoffmenge und $m$ für das magnetische Moment der einzelnen Spins des Paramagneten. Eine weitere, quantenmechanische Beschreibung des Paramagnetismus ist durch die Brillouin-Funktion gegeben.

Reihenentwicklungen

Für alle reellen Werte x konvergent ist diese Summenreihe:

L (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2 x}{π^{2} n^{2} + x^{2}}

Beispielsweise gilt für die diskrete Cauchy-Verteilung jene Summenreihe:

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} + 1} = \frac{π L (π)}{2}

Somit ist die unendliche Summe der Kehrwerte von den Nachfolgern der Quadratzahlen elementar.

Und folgender Grenzwert gilt:

ζ (2) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = lim_{x \to 0} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} + x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{π L (π x)}{2 x} = \frac{π^{2}}{6}

Die Maclaurinsche Reihe lautet wie folgt:

L (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} 2 (- 1)^{n + 1} π^{- 2 n} ζ (2 n) x^{2 n - 1} = \frac{1}{3} x - \frac{1}{45} x^{3} + \frac{2}{945} x^{5} - \frac{1}{4725} x^{7} + \dots

Der Konvergenzradius dieser Reihe ist die Kreiszahl π.

Und für das Quadrat der Langevin-Funktion gilt:

L (x)^{2} = \sum_{n = 1}^{\infty} (4 n + 6) (- 1)^{n + 1} π^{- 2 n - 2} ζ (2 n + 2) x^{2 n} = \frac{1}{9} x^{2} - \frac{2}{135} x^{4} + \frac{1}{525} x^{6} - \frac{2}{8505} x^{8} + \dots

Der griechische Buchstabe Zeta stellt die Riemannsche Zetafunktion dar.

Eine Näherung^[1] der Langevin-Funktion für $| x | ≪ 1$ ist

L (x) = \coth (x) - \frac{1}{x} \approx \frac{x}{3}

.

Für $x ≫ 1$ gilt die Näherung^[1]

L (x) \approx 1 - \frac{1}{x}

.

Umkehrfunktion

Da die Langevin-Funktion keine geschlossen darstellbare Umkehrfunktion hat, gibt es verschiedene Näherungen. Eine verbreitete Näherung, die im Intervall $(- 1, 1)$ gilt, wurde von A. Cohen veröffentlicht:^[2]

L^{- 1} (x) \approx x \frac{3 - x^{2}}{1 - x^{2}} .

Der größte relative Fehler dieser Näherung ist 4,9 % um $| x | = 0, 8$ . Es existieren weitere Näherungen, die weitaus kleinere relative Fehler haben^[3]^[4].

Siehe auch

Einzelnachweise

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 Siegmund Brandt: Elektrodynamik. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-21458-5, S. 293.
↑ A. Cohen: A Padé approximant to the inverse Langevin function. In: Rheologica Acta. 30. Jahrgang, Nr. 3, 1991, S. 270–273, doi:10.1007/BF00366640.
↑ R. Jedynak: New facts concerning the approximation of the inverse Langevin function. In: Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. 249. Jahrgang, 2017, S. 8–25, doi:10.1016/j.jnnfm.2017.09.003.
↑ M. Kröger: Simple, admissible, and accurate approximants of the inverse Langevin and Brillouin functions, relevant for strong polymer deformations and flows. In: Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. 223. Jahrgang, 2015, S. 77–87, doi:10.1016/j.jnnfm.2015.05.007.

[Brandt293-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 Siegmund Brandt: Elektrodynamik. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-21458-5, S. 293.

[Cohen-2] A. Cohen: A Padé approximant to the inverse Langevin function. In: Rheologica Acta. 30. Jahrgang, Nr. 3, 1991, S. 270–273, doi:10.1007/BF00366640.

[Jedynak1-3] R. Jedynak: New facts concerning the approximation of the inverse Langevin function. In: Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. 249. Jahrgang, 2017, S. 8–25, doi:10.1016/j.jnnfm.2017.09.003.

[Kroger1-4] M. Kröger: Simple, admissible, and accurate approximants of the inverse Langevin and Brillouin functions, relevant for strong polymer deformations and flows. In: Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. 223. Jahrgang, 2015, S. 77–87, doi:10.1016/j.jnnfm.2015.05.007.

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[3]

[4]

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 [[Datei:Mplwp Langevin-function.svg|mini|Langevin-Funktion]]
-Die '''Langevin-Funktion''' <math>L(x)</math> (nach dem [[Physiker]] [[Paul Langevin]]) ist eine [[Funktion (Mathematik)|mathematische Funktion]], die zur Berechnung von [[Orientierungspolarisation]], [[Polarisation]], [[Magnetisierung]] und Widerstand verwendet wird.
+Die '''Langevin-Funktion''' <math>L(x)</math> (nach dem [[Physiker]] [[Paul Langevin]] (1872–1946)) ist eine [[Funktion (Mathematik)|mathematische Funktion]], die zur Berechnung von [[Orientierungspolarisation]], [[Polarisation]], [[Magnetisierung]] und Widerstand verwendet wird.
 == Definition ==
 Die Langevin-Funktion<ref name="Brandt293">{{Literatur  | Autor = [[Siegmund Brandt]] | Titel = Elektrodynamik | Jahr = 2005 | Verlag = Springer | Ort = Berlin | ISBN = 3-540-21458-5 | Seiten =  293}}</ref> ist definiert durch
 :<math>L(x) = \coth(x)-{1 \over x}</math>,
-wobei <math>\coth</math> den [[Kotangens Hyperbolicus]] bezeichnet.
+wobei <math>\coth</math> den [[Kotangens hyperbolicus]] bezeichnet.
 == Eine Anwendung ==
 Die bekannteste Anwendung ist die halbklassische Beschreibung eines [[Paramagnet]]en in einem äußeren Magnetfeld. Dazu wird der Langevin-Parameter <math>\xi</math> eingeführt:
-:<math>\xi = \frac{m B}{k_B T}</math>
+:<math>\xi = \frac{m B}{k_\mathrm B T}</math>
 Die einzelnen [[Formelzeichen]] stehen für folgende [[Physikalische Größe|Größen]]:
-*''m'' - [[Magnetisches Moment]] eines Teilchens
+* <math>m</math>: [[Magnetisches Moment]] eines Teilchens
-*''B'' - Betrag des angelegten äußeren [[Magnetismus|Magnetfeldes]]
+* <math>B</math>: Betrag der [[Magnetische Flussdichte|magnetischen Flussdichte]] des angelegten äußeren [[Magnetismus|Magnetfeldes]]
-*''<math>k_B</math>'' - [[Boltzmann-Konstante]]
+* <math>k_\mathrm B</math>: [[Boltzmann-Konstante]]
-*''T'' - [[Absolute Temperatur]]
+* <math>T</math>: [[Absolute Temperatur]]
-Für die Magnetisierung ''M'' eines Paramagneten ergibt sich dann:
+Für die Magnetisierung <math>M</math> eines Paramagneten ergibt sich dann:
 :<math>M = N m L(\xi)</math>
-''N'' steht dabei für die [[Stoffmenge]] und ''m'' für das magnetische Moment der einzelnen [[Spin]]s des Paramagneten. Eine weitere, [[Quantenmechanik|quantenmechanische]] Beschreibung des Paramagnetismus ist durch die [[Brillouin-Funktion]] gegeben.
+<math>N</math> steht dabei für die [[Stoffmenge]] und <math>m</math> für das magnetische Moment der einzelnen [[Spin]]s des Paramagneten. Eine weitere, [[Quantenmechanik|quantenmechanische]] Beschreibung des Paramagnetismus ist durch die [[Brillouin-Funktion]] gegeben.
+== Reihenentwicklungen ==
+Für alle reellen Werte x konvergent ist diese Summenreihe:
+:<math> L(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{2x} {\pi^2 n^2+x^2} </math>
+Beispielsweise gilt für die diskrete [[Cauchy-Verteilung]] jene Summenreihe:
+:<math> \sum_{n=1}^\infty \frac{1} {n^2+1} = \frac{\pi L(\pi)}{2} </math>
+Somit ist die unendliche Summe der Kehrwerte von den Nachfolgern der Quadratzahlen elementar.
+Und folgender Grenzwert gilt:
+:<math> \zeta(2) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1} {n^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \sum_{n=1}^\infty \frac{1} {n^2 + x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\pi L(\pi x)}{2x} = \frac{\pi^2}{6} </math>
+Die [[Maclaurinsche Reihe]] lautet wie folgt:
+:<math> L(x) = \sum_{n=1}^\infty 2(-1)^{n+1}\pi^{-2n}\zeta(2n) x^{2n - 1} = \frac{1}{3} x - \frac{1}{45} x^3 + \frac{2}{945} x^5 - \frac{1}{4725} x^7 + \cdots </math>
+Der Konvergenzradius dieser Reihe ist die [[Kreiszahl]] π.
+Und für das Quadrat der Langevin-Funktion gilt:
+:<math> L(x)^2 = \sum_{n=1}^\infty (4n+6)(-1)^{n+1}\pi^{-2n-2}\zeta(2n+2) x^{2n} = \frac{1}{9} x^2 - \frac{2}{135} x^4 + \frac{1}{525} x^6 - \frac{2}{8505} x^8 + \cdots </math>
+Der griechische Buchstabe Zeta stellt die [[Riemannsche Zeta-Funktion|Riemannsche Zetafunktion]] dar.
-== Näherungen ==
 Eine Näherung<ref name="Brandt293" /> der Langevin-Funktion für <math>|x| \ll 1</math> ist
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 == Umkehrfunktion ==
-Da die Langevin-Funktion keine geschlossen darstellbare Umkehrfunktion hat, gibt es verschiedene Näherungen. Eine verbreitete Näherung, die im Intervall (−1, 1) gilt, wurde von A. Cohen veröffentlicht:<ref name="Cohen">{{cite journal |title=A Padé approximant to the inverse Langevin function |last=Cohen |first=A. |journal=[[Rheologica Acta]] |volume=30 |issue=3 |pages=270–273 |year=1991 |doi=10.1007/BF00366640 }}</ref>
+Da die Langevin-Funktion keine geschlossen darstellbare Umkehrfunktion hat, gibt es verschiedene Näherungen. Eine verbreitete Näherung, die im Intervall <math>(-1, 1)</math> gilt, wurde von A. Cohen veröffentlicht:<ref name="Cohen">{{cite journal |title=A Padé approximant to the inverse Langevin function |last=Cohen |first=A. |journal=[[Rheologica Acta]] |volume=30 |issue=3 |pages=270–273 |year=1991 |doi=10.1007/BF00366640 }}</ref>
 :<math>
     L^{-1}(x) \approx x \frac{3-x^2}{1-x^2}.
   </math>
-Der größte relative Fehler dieser Näherung ist 4,9 % um |x| = 0,8. Es existieren weitere Näherungen, die weitaus kleinere relative Fehler haben<ref name=Jedynak1>{{cite journal|last=Jedynak|first=R.|title=New facts concerning the approximation of the inverse Langevin function|journal=[[Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics]]|volume=249 |pages=8–25|year=2017|doi = 10.1016/j.jnnfm.2017.09.003 }}</ref>.
+Der größte relative Fehler dieser Näherung ist 4,9 % um <math>|x| = 0{,}8</math>. Es existieren weitere Näherungen, die weitaus kleinere relative Fehler haben<ref name=Jedynak1>{{cite journal|last=Jedynak|first=R.|title=New facts concerning the approximation of the inverse Langevin function|journal=[[Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics]]|volume=249 |pages=8–25|year=2017|doi = 10.1016/j.jnnfm.2017.09.003 }}</ref><ref name=Kroger1>{{cite journal|last=[[Martin Kröger (Physiker)|Kröger]]|first=M.|title= Simple, admissible, and accurate approximants of the inverse Langevin and Brillouin functions, relevant for strong polymer deformations and flows|journal=[[Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics]]|volume=223 |pages=77–87|year=2015|doi = 10.1016/j.jnnfm.2015.05.007}}</ref>.
 == Siehe auch ==