Brillouin-Funktion
Die Brillouin-Funktion $ B(x) $ (nach dem französisch-amerikanischen Physiker Léon Brillouin (1889–1969)) ist eine spezielle Funktion, die aus der quantenmechanischen Beschreibung eines Paramagneten hervorgeht:
- $ {\begin{alignedat}{2}B_{J}(x)&={\frac {2J+1}{2J}}\cdot \coth \left({\frac {2J+1}{2J}}\,x\right)&&-{\frac {1}{2J}}\cdot \coth \left({\frac {1}{2J}}\,x\right)\\&=\left(1+{\frac {1}{2J}}\right)\cdot \coth \left[\left(1+{\frac {1}{2J}}\right)x\right]&&-{\frac {1}{2J}}\cdot \coth \left({\frac {1}{2J}}\,x\right)\end{alignedat}} $
Die Formelzeichen stehen für folgende Größen:
- $ J $ in der physikalischen Anwendung für die Gesamtdrehimpulsquantenzahl
- $ \coth $ für den Kotangens hyperbolicus.
Verwendung
Mit der Brillouin-Funktion kann die Magnetisierung $ M $ eines Paramagneten der Stoffmenge $ N $ in einem äußeren Magnetfeld formuliert werden:
- $ {\begin{aligned}M&=NmB_{J}(\xi )\\\Leftrightarrow B_{J}(\xi )&={\frac {M}{Nm}}.\end{aligned}} $
mit
- dem magnetischen Moment $ m $ eines Teilchens
- dem Parameter $ \xi ={\frac {mB}{k_{\mathrm {B} }\,T}}={\frac {g\mu _{\mathrm {B} }\,JB}{k_{\mathrm {B} }\,T}} $
- dem Betrag $ B $ der magnetischen Flussdichte des angelegten äußeren Magnetfeldes
- der Boltzmann-Konstante $ k_{\mathrm {B} } $
- der absoluten Temperatur $ T $
- dem Landé-Faktor $ g $
- dem Bohrschen Magneton $ \mu _{\mathrm {B} } $.
Eine weitere, halb-klassische Beschreibung eines Paramagneten geschieht mit Hilfe der Langevin-Funktion $ L $, die sich im Limes $ J\to \infty $ und zugleich $ g\mu _{\mathrm {B} }\to 0 $ aus der Brillouin-Funktion ergibt (wobei das magnetische Gesamtmoment konstant bleibt):
- $ {\begin{aligned}M&=NmL(\xi )\\\Leftrightarrow L(\xi )&={\frac {M}{Nm}}.\end{aligned}} $
Literatur
- Torsten Fließbach: Statistische Physik – Lehrbuch zur Theoretischen Physik IV. Elsevier-Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2006.