Langevin-Funktion

Langevin-Funktion

Langevin-Funktion

Die Langevin-Funktion L(x) (nach dem Physiker Paul Langevin (1872–1946)) ist eine mathematische Funktion, die zur Berechnung von Orientierungspolarisation, Polarisation, Magnetisierung und Widerstand verwendet wird.

Definition

Die Langevin-Funktion[1] ist definiert durch

L(x)=coth(x)1x,

wobei coth den Kotangens hyperbolicus bezeichnet.

Eine Anwendung

Die bekannteste Anwendung ist die halbklassische Beschreibung eines Paramagneten in einem äußeren Magnetfeld. Dazu wird der Langevin-Parameter ξ eingeführt:

ξ=mBkBT

Die einzelnen Formelzeichen stehen für folgende Größen:

Für die Magnetisierung M eines Paramagneten ergibt sich dann:

M=NmL(ξ)

N steht dabei für die Stoffmenge und m für das magnetische Moment der einzelnen Spins des Paramagneten. Eine weitere, quantenmechanische Beschreibung des Paramagnetismus ist durch die Brillouin-Funktion gegeben.

Reihenentwicklungen

Für alle reellen Werte x konvergent ist diese Summenreihe:

L(x)=n=12xπ2n2+x2

Beispielsweise gilt für die diskrete Cauchy-Verteilung jene Summenreihe:

n=11n2+1=πL(π)2

Somit ist die unendliche Summe der Kehrwerte von den Nachfolgern der Quadratzahlen elementar.

Und folgender Grenzwert gilt:

ζ(2)=n=11n2=limx0n=11n2+x2=limx0πL(πx)2x=π26

Die Maclaurinsche Reihe lautet wie folgt:

L(x)=n=12(1)n+1π2nζ(2n)x2n1=13x145x3+2945x514725x7+

Der Konvergenzradius dieser Reihe ist die Kreiszahl π.

Und für das Quadrat der Langevin-Funktion gilt:

L(x)2=n=1(4n+6)(1)n+1π2n2ζ(2n+2)x2n=19x22135x4+1525x628505x8+

Der griechische Buchstabe Zeta stellt die Riemannsche Zetafunktion dar.

Eine Näherung[1] der Langevin-Funktion für |x|1 ist

L(x)=coth(x)1xx3.

Für x1 gilt die Näherung[1]

L(x)11x.

Umkehrfunktion

Da die Langevin-Funktion keine geschlossen darstellbare Umkehrfunktion hat, gibt es verschiedene Näherungen. Eine verbreitete Näherung, die im Intervall (1,1) gilt, wurde von A. Cohen veröffentlicht:[2]

L1(x)x3x21x2.

Der größte relative Fehler dieser Näherung ist 4,9 % um |x|=0,8. Es existieren weitere Näherungen, die weitaus kleinere relative Fehler haben[3][4].

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. 1,0 1,1 1,2 Siegmund Brandt: Elektrodynamik. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-21458-5, S. 293.
  2. A. Cohen: A Padé approximant to the inverse Langevin function. In: Rheologica Acta. 30. Jahrgang, Nr. 3, 1991, S. 270–273, doi:10.1007/BF00366640.
  3. R. Jedynak: New facts concerning the approximation of the inverse Langevin function. In: Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. 249. Jahrgang, 2017, S. 8–25, doi:10.1016/j.jnnfm.2017.09.003.
  4. M. Kröger: Simple, admissible, and accurate approximants of the inverse Langevin and Brillouin functions, relevant for strong polymer deformations and flows. In: Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. 223. Jahrgang, 2015, S. 77–87, doi:10.1016/j.jnnfm.2015.05.007.