Weyl-Gleichung: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 11. Januar 2022, 15:39 Uhr

Die Weyl-Gleichung der Teilchenphysik, benannt nach Hermann Weyl, ist die Diracgleichung für masselose Teilchen mit Spin 1/2. Sie wird bei der Beschreibung der schwachen Wechselwirkung verwendet. Entsprechend heißen Fermionen, die diese Gleichung erfüllen, Weyl-Fermionen.

Herleitung

Die Darstellung der Lorentzgruppe auf Dirac-Spinoren ist reduzibel. In einer geeigneten Darstellung der Dirac-Matrizen, der Weyl-Darstellung, transformieren die ersten beiden und die letzten beiden Komponenten der 4er-Spinoren getrennt, weshalb sie auch als Bispinoren bezeichnet werden:

\Psi ={\begin{pmatrix}\Psi _{L}\\\Psi _{R}\end{pmatrix}}

Die 2er-Spinoren $\Psi _{L}$ und $\Psi _{R}$ sind die links- und rechtshändigen Weyl-Spinoren. Sie sind die Eigenzustände des Chiralitätsoperators $\gamma ^{5}$ , wenn man ihn in der Weyl-Darstellung schreibt.

{\begin{aligned}\gamma ^{5}{\begin{pmatrix}\Psi _{L}\\0\end{pmatrix}}&=-{\begin{pmatrix}\Psi _{L}\\0\end{pmatrix}}\\\gamma ^{5}{\begin{pmatrix}0\\\Psi _{R}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}0\\\Psi _{R}\end{pmatrix}}\end{aligned}}

.

Sie werden in der Diracgleichung für ein freies Spin-1/2-Teilchen durch die Masse $$ m $$ gekoppelt:

\left(\mathrm {i} \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\Psi ={\begin{pmatrix}-m&\mathrm {i} {\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\\\mathrm {i} \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }&-m\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\Psi _{L}\\\Psi _{R}\end{pmatrix}}=0

Hierbei ist $\sigma ^{\mu }={\begin{pmatrix}\sigma ^{0}&{\vec {\sigma }}\end{pmatrix}}$ und ${\bar {\sigma }}^{\mu }={\begin{pmatrix}\sigma ^{0}&-{\vec {\sigma }}\end{pmatrix}}$ , wobei ${\vec {\sigma }}$ die drei Pauli-Matrizen sind und $\sigma ^{0}$ die zweidimensionale Einheitsmatrix.

Verschwindet die Masse ( $$ m=0 $$ ), entkoppelt die vierdimensionale Dirac-Gleichung in zwei zweidimensionale Gleichungen für den links- und den rechtshändigen Spinor:

{\begin{aligned}\mathrm {i} \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\Psi _{L}&=0\\\mathrm {i} {\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\Psi _{R}&=0\end{aligned}}

Chirale Kopplung

Zur Beschreibung der elektroschwachen Wechselwirkung ist wichtig, dass die links- und rechtshändigen Spinoren unterschiedlich, aber Lorentz-kovariant, an Vektorfelder koppeln können (chirale Kopplung). Die Kopplung entsteht, indem die Ableitungen durch kovariante Ableitungen ersetzt werden:

D_{\mu }=\partial _{\mu }-\mathrm {i} gT_{a}W_{\mu }^{a}

Dabei bezeichnen

$$ g $$ die Kopplungskonstante,
$T_{a}$ die Generatoren der Lie-Algebra der Eichgruppe und
$W_{\mu }^{a}$ die Komponenten der Eichfelder.

Die Eichgruppe kann für links- und rechtshändige Teilchen verschieden gewählt werden, ohne dass die Lorenz-Kovarianz dadurch beeinträchtigt wird.

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-Die '''Weyl-Gleichung''' der [[Teilchenphysik]], benannt nach [[Hermann Weyl]], ist die [[Diracgleichung]] für masselose Teilchen mit [[Spin]]&nbsp;-1/2. Sie wird bei der Beschreibung der [[Schwache Wechselwirkung|schwachen Wechselwirkung]] verwendet.
+Die '''Weyl-Gleichung''' der [[Teilchenphysik]], benannt nach [[Hermann Weyl]], ist die [[Diracgleichung]] für masselose Teilchen mit [[Spin]]&nbsp;1/2. Sie wird bei der Beschreibung der [[Schwache Wechselwirkung|schwachen Wechselwirkung]] verwendet. Entsprechend heißen [[Fermion]]en, die diese Gleichung erfüllen, '''Weyl-Fermionen'''.
 == Herleitung ==
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 \end{pmatrix}</math>
-Die 2er-Spinoren <math>\Psi_L</math> und <math>\Psi_R</math> sind die links- und rechtshändigen [[Spinor #Weyl-Spinoren|Weyl-Spinoren]].
+Die 2er-Spinoren <math>\Psi_L</math> und <math>\Psi_R</math> sind die links- und rechtshändigen [[Weyl-Spinor]]en. Sie sind die Eigenzustände des [[Chiralität (Physik)|Chiralitätsoperators]] <math>\gamma^5</math>, wenn man ihn in der Weyl-Darstellung schreibt.
+:<math>\begin{align}
+\gamma^5 \begin{pmatrix}\Psi_L \\ 0\end{pmatrix} &= - \begin{pmatrix}\Psi_L \\ 0\end{pmatrix} \\
+\gamma^5 \begin{pmatrix}0 \\ \Psi_R\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 \\ \Psi_R\end{pmatrix}
+\end{align}</math>.
 Sie werden in der Diracgleichung für ein freies Spin-1/2-Teilchen durch die Masse <math>m</math> gekoppelt:
 :<math>
-\left(\mathrm i\gamma^n \part_n-m\right)\Psi=
+\left(\mathrm i\gamma^\mu \partial_\mu - m\right)\Psi=
 \begin{pmatrix}
--m& \mathrm i\left(\part_0+\vec{\sigma}\vec{\nabla}\right)\\
+-m& \mathrm i \bar \sigma^\mu \partial_\mu\\
-\mathrm i\left(\part_0-\vec{\sigma}\vec{\nabla}\right)&-m
+\mathrm i \sigma^\mu \partial_\mu &-m
-\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}
-\Psi_L\\
-\Psi_R
 \end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}\Psi_L\\\Psi_R\end{pmatrix}
 = 0
 </math>
-Hierbei sind <math>\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3 </math> die [[Pauli-Matrizen]].
+Hierbei ist <math>\sigma^\mu = \begin{pmatrix} \sigma^0 & \vec \sigma\end{pmatrix}</math> und <math>\bar \sigma^\mu = \begin{pmatrix} \sigma^0 & - \vec \sigma\end{pmatrix}</math>, wobei <math>\vec \sigma</math> die drei [[Pauli-Matrizen]] sind und <math>\sigma^0</math> die zweidimensionale [[Einheitsmatrix]].
-Verschwindet die Masse <math> \left( m = 0 \right),</math> so zerfällt die Diracgleichung in je eine Weyl-Gleichung für den links- und den rechtshändigen Spinor:
+Verschwindet die Masse (<math>m = 0</math>), entkoppelt die vierdimensionale Dirac-Gleichung in zwei zweidimensionale Gleichungen für den links- und den rechtshändigen Spinor:
-:<math style = "border: 1px black; border-style: solid; padding: 1em">\mathrm i\left(\part_0-\vec{\sigma}\vec{\nabla}\right)\Psi_L = 0</math>
+:<math> \begin{align}
-:<math style = "border: 1px black; border-style: solid; padding: 1em">\mathrm i\left(\part_0+\vec{\sigma}\vec{\nabla}\right)\Psi_R = 0</math>
+\mathrm i \sigma^\mu \partial_\mu \Psi_L &= 0 \\
+\mathrm i \bar \sigma^\mu \partial_\mu \Psi_R &= 0
+\end{align}</math>
 == Chirale Kopplung ==
-Zur Beschreibung der schwachen Wechselwirkung ist wichtig, dass die links- und rechtshändigen Spinoren unterschiedlich, aber [[Lorentz-Transformation #Lorentz-Invariante|lorentzinvariant]], an [[Vektorfeld]]er koppeln können ([[Chiralität (Physik)|chirale]] Kopplung). Die Kopplung entsteht, indem die Ableitungen durch [[kovariante Ableitung]]en ersetzt werden:
+Zur Beschreibung der elektroschwachen Wechselwirkung ist wichtig, dass die links- und rechtshändigen Spinoren unterschiedlich, aber [[Lorentz-Transformation|Lorentz-kovariant]], an [[Vektorfeld]]er koppeln können ([[Chiralität (Physik)|chirale]] Kopplung). Die Kopplung entsteht, indem die Ableitungen durch [[kovariante Ableitung]]en ersetzt werden:
+:<math>D_\mu = \partial_\mu - \mathrm i g T_a W^a_\mu</math>
-:<math>D_n = \partial_n - \mathrm i \, e \, T_a \, A^a_n</math>
+Dabei bezeichnen
+* <math>g</math> die [[Kopplungskonstante]],
+* <math>T_a</math> die [[Erzeuger (Algebra)|Generatoren]] der [[Lie-Algebra]] der [[Eichgruppe]] und
+* <math>W^a_\mu</math> die Komponenten der Eichfelder.
-Dabei bezeichnet
+Die Eichgruppe kann für links- und rechtshändige Teilchen verschieden gewählt werden, ohne dass die Lorenz-Kovarianz dadurch beeinträchtigt wird.
-* <math>e</math> ist die [[Kopplungskonstante]]
-* <math>T_a</math> Matrizen, die die [[Lie-Algebra]] der [[Eichgruppe]] darstellen
-* <math>A^a_n</math> die Komponenten der Vektorfelder.
-Bei den rechtshändigen Spinoren verschwinden die Matrizen <math>\left( T_a = 0 \right),</math> sie haben keine schwache Wechselwirkung.
 [[Kategorie:Teilchenphysik]]