Weyl-Gleichung: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 11. Januar 2022, 15:39 Uhr

Die Weyl-Gleichung der Teilchenphysik, benannt nach Hermann Weyl, ist die Diracgleichung für masselose Teilchen mit Spin 1/2. Sie wird bei der Beschreibung der schwachen Wechselwirkung verwendet. Entsprechend heißen Fermionen, die diese Gleichung erfüllen, Weyl-Fermionen.

Herleitung

Die Darstellung der Lorentzgruppe auf Dirac-Spinoren ist reduzibel. In einer geeigneten Darstellung der Dirac-Matrizen, der Weyl-Darstellung, transformieren die ersten beiden und die letzten beiden Komponenten der 4er-Spinoren getrennt, weshalb sie auch als Bispinoren bezeichnet werden:

Ψ = (\begin{matrix} Ψ_{L} \\ Ψ_{R} \end{matrix})

Die 2er-Spinoren $Ψ_{L}$ und $Ψ_{R}$ sind die links- und rechtshändigen Weyl-Spinoren. Sie sind die Eigenzustände des Chiralitätsoperators $γ^{5}$ , wenn man ihn in der Weyl-Darstellung schreibt.

\begin{aligned} γ^{5} (\begin{array}{c} Ψ_{L} \\ 0 \end{array}) & = - (\begin{array}{c} Ψ_{L} \\ 0 \end{array}) \\ γ^{5} (\begin{array}{c} 0 \\ Ψ_{R} \end{array}) & = (\begin{array}{c} 0 \\ Ψ_{R} \end{array}) \end{aligned}

.

Sie werden in der Diracgleichung für ein freies Spin-1/2-Teilchen durch die Masse $m$ gekoppelt:

(i γ^{μ} \partial_{μ} - m) Ψ = (\begin{matrix} - m & i {\bar{σ}}^{μ} \partial_{μ} \\ i σ^{μ} \partial_{μ} & - m \end{matrix}) (\begin{matrix} Ψ_{L} \\ Ψ_{R} \end{matrix}) = 0

Hierbei ist $σ^{μ} = (\begin{matrix} σ^{0} & \vec{σ} \end{matrix})$ und ${\bar{σ}}^{μ} = (\begin{matrix} σ^{0} & - \vec{σ} \end{matrix})$ , wobei $\vec{σ}$ die drei Pauli-Matrizen sind und $σ^{0}$ die zweidimensionale Einheitsmatrix.

Verschwindet die Masse ( $m = 0$ ), entkoppelt die vierdimensionale Dirac-Gleichung in zwei zweidimensionale Gleichungen für den links- und den rechtshändigen Spinor:

\begin{aligned} i σ^{μ} \partial_{μ} Ψ_{L} & = 0 \\ i {\bar{σ}}^{μ} \partial_{μ} Ψ_{R} & = 0 \end{aligned}

Chirale Kopplung

Zur Beschreibung der elektroschwachen Wechselwirkung ist wichtig, dass die links- und rechtshändigen Spinoren unterschiedlich, aber Lorentz-kovariant, an Vektorfelder koppeln können (chirale Kopplung). Die Kopplung entsteht, indem die Ableitungen durch kovariante Ableitungen ersetzt werden:

D_{μ} = \partial_{μ} - i g T_{a} W_{μ}^{a}

Dabei bezeichnen

$g$ die Kopplungskonstante,
$T_{a}$ die Generatoren der Lie-Algebra der Eichgruppe und
$W_{μ}^{a}$ die Komponenten der Eichfelder.

Die Eichgruppe kann für links- und rechtshändige Teilchen verschieden gewählt werden, ohne dass die Lorenz-Kovarianz dadurch beeinträchtigt wird.

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-Die '''Weyl-Gleichung''' der [[Teilchenphysik]], benannt nach [[Hermann Weyl]], ist die [[Diracgleichung]] für masselose Teilchen mit [[Spin]]&nbsp;-1/2. Sie wird bei der Beschreibung der [[Schwache Wechselwirkung|schwachen Wechselwirkung]] verwendet.
+Die '''Weyl-Gleichung''' der [[Teilchenphysik]], benannt nach [[Hermann Weyl]], ist die [[Diracgleichung]] für masselose Teilchen mit [[Spin]]&nbsp;1/2. Sie wird bei der Beschreibung der [[Schwache Wechselwirkung|schwachen Wechselwirkung]] verwendet. Entsprechend heißen [[Fermion]]en, die diese Gleichung erfüllen, '''Weyl-Fermionen'''.
 == Herleitung ==
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 \end{pmatrix}</math>
-Die 2er-Spinoren <math>\Psi_L</math> und <math>\Psi_R</math> sind die links- und rechtshändigen [[Spinor #Weyl-Spinoren|Weyl-Spinoren]].
+Die 2er-Spinoren <math>\Psi_L</math> und <math>\Psi_R</math> sind die links- und rechtshändigen [[Weyl-Spinor]]en. Sie sind die Eigenzustände des [[Chiralität (Physik)|Chiralitätsoperators]] <math>\gamma^5</math>, wenn man ihn in der Weyl-Darstellung schreibt.
+:<math>\begin{align}
+\gamma^5  $(\begin{matrix} Ψ_{L} \\ 0 \end{matrix})$  &= -  $(\begin{matrix} Ψ_{L} \\ 0 \end{matrix})$  \
+\gamma^5  $(\begin{matrix} 0 \\ Ψ_{R} \end{matrix})$  &=  $(\begin{matrix} 0 \\ Ψ_{R} \end{matrix})$
+\end{align}</math>.
 Sie werden in der Diracgleichung für ein freies Spin-1/2-Teilchen durch die Masse <math>m</math> gekoppelt:
 :<math>
-\left(\mathrm i\gamma^n \part_n-m\right)\Psi=
+\left(\mathrm i\gamma^\mu \partial_\mu - m\right)\Psi=
 \begin{pmatrix}
--m& \mathrm i\left(\part_0+\vec{\sigma}\vec{\nabla}\right)\
+-m& \mathrm i \bar \sigma^\mu \partial_\mu\
-\mathrm i\left(\part_0-\vec{\sigma}\vec{\nabla}\right)&-m
+\mathrm i \sigma^\mu \partial_\mu &-m
-\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}
-\Psi_L\
-\Psi_R
 \end{pmatrix}
+ $(\begin{matrix} Ψ_{L} \\ Ψ_{R} \end{matrix})$
 = 0
 </math>
-Hierbei sind <math>\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3 </math> die [[Pauli-Matrizen]].
+Hierbei ist <math>\sigma^\mu =  $(\begin{matrix} σ^{0} & \vec{σ} \end{matrix})$ </math> und <math>\bar \sigma^\mu =  $(\begin{matrix} σ^{0} & - \vec{σ} \end{matrix})$ </math>, wobei <math>\vec \sigma</math> die drei [[Pauli-Matrizen]] sind und <math>\sigma^0</math> die zweidimensionale [[Einheitsmatrix]].
-Verschwindet die Masse <math> \left( m = 0 \right),</math> so zerfällt die Diracgleichung in je eine Weyl-Gleichung für den links- und den rechtshändigen Spinor:
+Verschwindet die Masse (<math>m = 0</math>), entkoppelt die vierdimensionale Dirac-Gleichung in zwei zweidimensionale Gleichungen für den links- und den rechtshändigen Spinor:
-:<math style = "border: 1px black; border-style: solid; padding: 1em">\mathrm i\left(\part_0-\vec{\sigma}\vec{\nabla}\right)\Psi_L = 0</math>
+:<math> \begin{align}
-:<math style = "border: 1px black; border-style: solid; padding: 1em">\mathrm i\left(\part_0+\vec{\sigma}\vec{\nabla}\right)\Psi_R = 0</math>
+\mathrm i \sigma^\mu \partial_\mu \Psi_L &= 0 \
+\mathrm i \bar \sigma^\mu \partial_\mu \Psi_R &= 0
+\end{align}</math>
 == Chirale Kopplung ==
-Zur Beschreibung der schwachen Wechselwirkung ist wichtig, dass die links- und rechtshändigen Spinoren unterschiedlich, aber [[Lorentz-Transformation #Lorentz-Invariante|lorentzinvariant]], an [[Vektorfeld]]er koppeln können ([[Chiralität (Physik)|chirale]] Kopplung). Die Kopplung entsteht, indem die Ableitungen durch [[kovariante Ableitung]]en ersetzt werden:
+Zur Beschreibung der elektroschwachen Wechselwirkung ist wichtig, dass die links- und rechtshändigen Spinoren unterschiedlich, aber [[Lorentz-Transformation|Lorentz-kovariant]], an [[Vektorfeld]]er koppeln können ([[Chiralität (Physik)|chirale]] Kopplung). Die Kopplung entsteht, indem die Ableitungen durch [[kovariante Ableitung]]en ersetzt werden:
+:<math>D_\mu = \partial_\mu - \mathrm i g T_a W^a_\mu</math>
-:<math>D_n = \partial_n - \mathrm i \, e \, T_a \, A^a_n</math>
+Dabei bezeichnen
+* <math>g</math> die [[Kopplungskonstante]],
+* <math>T_a</math> die [[Erzeuger (Algebra)|Generatoren]] der [[Lie-Algebra]] der [[Eichgruppe]] und
+* <math>W^a_\mu</math> die Komponenten der Eichfelder.
-Dabei bezeichnet
+Die Eichgruppe kann für links- und rechtshändige Teilchen verschieden gewählt werden, ohne dass die Lorenz-Kovarianz dadurch beeinträchtigt wird.
-* <math>e</math> ist die [[Kopplungskonstante]]
-* <math>T_a</math> Matrizen, die die [[Lie-Algebra]] der [[Eichgruppe]] darstellen
-* <math>A^a_n</math> die Komponenten der Vektorfelder.
-Bei den rechtshändigen Spinoren verschwinden die Matrizen <math>\left( T_a = 0 \right),</math> sie haben keine schwache Wechselwirkung.
 [[Kategorie:Teilchenphysik]]