Kondo-Modell

Das Kondo-Modell – auch s-d-Modell genannt – ist ein mathematisches Modell zur Beschreibung des elektrischen Widerstandes in Metallen mit magnetischen Störstellen – dem sogenannten Kondo-Effekt (das anomale Ansteigen des Widerstandes bei sehr tiefen Temperaturen).

In diesem vereinfachten Modell werden die stromerzeugenden Elektronen als freie Elektronen im Leitungsband (s-Band) modelliert. Die magnetischen Störstellen am Platz i im Kristallgitter werden als lokalisierte Spins angenommen, welche über eine (anti-)magnetische Spin-Spin-Wechselwirkung an die Leitungsbandelektronen gekoppelt sind. Die Modellierung der magnetischen Störstellen als lokalisierte Spins beruht auf der Annahme, dass die Elektronen in den d-Orbitale der magnetischen Störstellen stark lokalisiert sind. Diese s-d-Wechselwirkung wurde zuerst 1951 von Clarence Melvin Zener beschrieben.^[1] Kasuya quantifizierte dieses Modell 1956 und stellte den zugehörigen Hamiltonian auf.^[2] 1964 behandelte Jun Kondo^[3] dieses Modell mittels Störungstheorie 3. Ordnung und berechnete damit den elektrischen Widerstand. Das berechnete Verhalten des elektrischen Widerstandes zeigte qualitativ den experimentell gefundenen Kondo-Effekt.

Mathematische Beschreibung

Das Kondo-Modell kann mit dem folgenden Hamiltonian beschrieben werden:

$ {\begin{aligned}H_{\text{Kondo}}&=H_{0}+H_{J}\\H_{0}&=\sum _{{\vec {k}},\sigma }\epsilon ({\vec {k}})c_{{\vec {k}},\sigma }^{\dagger }c_{{\vec {k}},\sigma }\\H_{J}&=-{\frac {J}{N}}\sum _{n{\vec {k}}{\vec {k}}'}\exp(i({\vec {k}}-{\vec {k}}'){\vec {R}}_{n}){\vec {s}}_{\vec {k}}{\vec {S}}_{n}\end{aligned}} $

Hierbei beschreibt $ H_{0} $ die Leitungsbandelektronen im s-Band mit Dispersions-Relation $ \epsilon ({\vec {k}}) $. $ H_{J} $ beschreibt die Wechselwirkung der magnetischen Störstellen – beschrieben über die lokalisierten Spins $ {\vec {S}}_{n} $ am Platz $ {\vec {R}}_{n} $ mit den Leitungsbandelektronen. Die Wechselwirkung ist dabei eine reine Spin-Spin-Wechselwirkung mit den Spins $ {\vec {s}}_{\vec {k}} $ der Leitungsbandelektronen, welche je nach Vorzeichen von $ J $ ferromagnetisch oder anti-ferromagnetisch sein kann.

Ergebnisse der Störungstheorie

Das Kondo-Modell weist bei anti-ferromagnetischer Kopplung (negatives J) in Störungstheorie 3. Ordnung einen logarithmischen Term im elektrischen Widerstand auf.

$ {\begin{aligned}\rho _{\text{Kondo}}(T)\propto J/\epsilon _{f}\log T\end{aligned}} $

Hierbei ist $ \epsilon _{f} $ die Fermi-Energie. Dieser logarithmische Term führt also zu einem Anstieg des Widerstandes bei tiefen Temperaturen und kann damit die experimentellen Daten erklären. Allerdings divergiert dieser Term für $ T=0 $, was ein unphysikalisches Verhalten beschreibt. Diese Divergenz ist als Kondo-Problem bekannt.

Einzelnachweise