Zustandsgleichung von Birch-Murnaghan

Die Zustandsgleichung nach Birch-Murnaghan beschreibt die Beziehung zwischen dem Volumen V eines Festkörpers und des auf ihn wirkenden äußeren hydrostatischen Drucks p. Diese Zustandsgleichung ist von zwei Parametern abhängig, dem Kompressionsmodul bei einem Druck von 0 GPa $ K_{0} $, und der ersten Ableitung des Kompressionsmoduls nach dem Druck bei einem Druck von 0 GPa, $ K_{0}' $. Diese sind wie folgt definiert:

$ K_{0}=V\left.{\frac {\partial p}{\partial V}}\right|_{p=0\,\mathrm {GPa} } $

$ K_{0}'=\left.{\frac {\partial K}{\partial p}}\right|_{p=0\,\mathrm {GPa} } $

Murnaghan ging davon aus, dass der Kompressionsmodul eines Festkörpers $ K_{0} $ linear mit dem auf ihn wirkenden Druck zunimmt. Eine weitere wichtige Annahme ist, dass die Größe $ K_{0}' $ druckunabhängig ist.

$ K(p)=K_{0}+pK_{0}' $

Nach Integration erhält man die Zustandsgleichung nach Murnaghan

$ p={\frac {K_{0}}{K_{0}'}}\left[\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{K_{0}'}-1\right] $

bzw.

$ {\frac {V}{V_{0}}}=\left[{\frac {K_{0}'}{K_{0}}}p+1\right]^{-{\frac {1}{K_{0}'}}} $

wobei $ V_{0} $ das Volumen des Festkörpers bei einem Druck von 0 GPa ist.

Einen anderen Weg, das Verhalten von kondensierter Materie unter Druck zu beschreiben, wurde von Francis Birch eingeschlagen. Er ging davon aus, dass nach den Maxwell-Relationen ein Zusammenhang zwischen dem Druck p und der freien Energie F besteht:

$ p=\left({\frac {\partial F}{\partial V}}\right)_{T} $

Birch stellte die freie Energie eines Festkörpers als Reihenentwicklung dar:

$ F=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\epsilon ^{n} $

Hier sind $ a_{n} $ druckabhängige Koeffizienten, $ \epsilon ^{n} $ ist die sog. Eulersche Dehnung.

$ \epsilon ={\frac {1}{2}}\left[1-\left({\frac {V}{V_{0}}}\right)^{-{\frac {2}{3}}}\right] $

Nach einer Reihenentwicklung, deren Darstellung in diesem Rahmen zu weit führen würde, erhält man dann die Zustandsgleichung nach Birch:

$ p={\frac {3}{2}}K_{0}\left[\left({\frac {V}{V_{0}}}\right)^{-{\frac {7}{3}}}-\left({\frac {V}{V_{0}}}\right)^{-{\frac {5}{3}}}\right]\left[1+{\frac {3}{4}}\left(K_{0}'-4\right)\left[\left({\frac {V}{V_{0}}}\right)^{-{\frac {2}{3}}}-1\right]\right] $

Es hat sich mittlerweile eingebürgert, diese Gleichung als Zustandsgleichung nach Birch-Murnaghan zu bezeichnen, auch wenn der Ansatz von Birch mit dem Ansatz von Murnaghan nichts gemein hat.

Literatur

• F. Birch: Finite elastic strains of cubic crystals, Phys. Rev. 71, 809 (1947)
• B. Buras and L. Gerward: Application of X-ray energy dispersive diffraction for characterisation of materials under high pressure, Prog. Cryst. Growth and Characterisation 18, 93 (1989)