Die beiden Zustandsgleichungen nach Murnaghan und nach Birch (benannt nach Francis Murnaghan und Albert Francis Birch) beschreiben die Beziehung zwischen dem Volumen $ V $ eines Festkörpers und dem auf ihn wirkenden äußeren hydrostatischen Druck $ p $.
Zustandsgleichung nach Murnaghan
Die Zustandsgleichung nach Murnaghan lautet:
- $ p={\frac {K_{0}}{K_{0}'}}\left[\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{K_{0}'}-1\right] $
- $ \Leftrightarrow V=V_{0}\cdot \left[{\frac {K_{0}'}{K_{0}}}p+1\right]^{-{\frac {1}{K_{0}'}}} $
mit
- dem Volumen $ V_{0} $ des Festkörpers bei einem Druck von 0 GPa
- dem Kompressionsmodul $ K_{0} $ bei einem Druck von 0 GPa:
- $ K_{0}=-V\left.{\frac {\partial p}{\partial V}}\right|_{p=0\,\mathrm {GPa} } $
- der ersten Ableitung $ K_{0}' $ des Kompressionsmoduls nach dem Druck bei einem Druck von 0 GPa:
- $ K_{0}'=\left.{\frac {\partial K}{\partial p}}\right|_{p=0\,\mathrm {GPa} } $.
Man erhält diese Zustandsgleichung, wenn man Murnaghans folgende Annahmen integriert:
- der Kompressionsmodul eines Festkörpers nimmt linear zu mit dem auf ihn wirkenden Druck:
- $ K(p)=K_{0}+p\,K_{0}' $
- die Größe $ K_{0}' $ hängt nicht vom Druck ab.
Zustandsgleichung nach Birch(-Murnaghan)
Einen anderen Weg, das Verhalten von kondensierter Materie unter Druck zu beschreiben, wurde von Francis Birch eingeschlagen. Er ging davon aus, dass nach den Maxwell-Relationen ein Zusammenhang zwischen dem Druck $ p $ und der freien Energie $ F $ besteht:
- $ p=\left({\frac {\partial F}{\partial V}}\right)_{T} $
Birch stellte die freie Energie eines Festkörpers als Reihenentwicklung dar:
- $ F=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\epsilon ^{n} $
Hier sind
- $ a_{n} $ druckabhängige Koeffizienten
- $ \epsilon ^{n} $ ist die Eulersche Dehnung.
- $ \epsilon ={\frac {1}{2}}\left[1-\left({\frac {V}{V_{0}}}\right)^{-{\frac {2}{3}}}\right] $
Nach einer Reihenentwicklung, deren Darstellung in diesem Rahmen zu weit führen würde, erhält man die Zustandsgleichung nach Birch:
- $ p={\frac {3}{2}}K_{0}\left[\left({\frac {V}{V_{0}}}\right)^{-{\frac {7}{3}}}-\left({\frac {V}{V_{0}}}\right)^{-{\frac {5}{3}}}\right]\left[1+{\frac {3}{4}}\left(K_{0}'-4\right)\left[\left({\frac {V}{V_{0}}}\right)^{-{\frac {2}{3}}}-1\right]\right] $
Es hat sich mittlerweile eingebürgert, diese Gleichung als Zustandsgleichung nach Birch-Murnaghan zu bezeichnen, auch wenn der Ansatz von Birch mit dem Ansatz von Murnaghan nichts gemein hat.
Literatur
- F. Birch: Finite elastic strains of cubic crystals, Phys. Rev. 71, 809 (1947)
- B. Buras and L. Gerward: Application of X-ray energy dispersive diffraction for characterisation of materials under high pressure, Prog. Cryst. Growth and Characterisation 18, 93 (1989)