Einsteinsche Feldgleichungen

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Feldgleichung auf einer Mauer in Leiden

Im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie wird durch die einsteinschen Feldgleichungen (nach Albert Einstein, auch Gravitationsgleichungen) das physikalische Phänomen der Gravitation durch Methoden der Differentialgeometrie mathematisch formuliert.

Die Grundidee ist dabei die Verknüpfung einer Energieverteilung mit der Geometrie der Raumzeit. Die Energieverteilung wird dabei durch einen Energie-Impuls-Tensor repräsentiert, während ein metrischer Tensor die Geometrie der Raumzeit darstellt.

Grundsätzliche Annahmen und Forderungen

Zur Aufstellung der Feldgleichungen sind zunächst physikalische Überlegungen notwendig, da die Form der Gleichungen postuliert werden muss.

So wie die Masse das Gravitationsfeld in der newtonschen Gravitationstheorie verursacht, ist der natürlichste Ansatz für deren Verallgemeinerung, dass das Gravitationsfeld mathematisch von der Gestalt des Energie-Impuls-Tensors $ \ T_{\mu \nu } $ abhängig ist. Nun ist $ \ T_{\mu \nu } $ kein beliebiger symmetrischer Tensor, da er $ \nabla _{\nu }T^{\mu \nu }=0 $ erfüllen muss, d. h., die Divergenz des Energie-Impuls-Tensors muss lokal, bei fester Raum- und Zeitkoordinate, verschwinden, damit das Gesetz der Energie- und Impulserhaltung aufrechterhalten wird, da diese nur eine lokale Gültigkeit haben.

Man macht den Ansatz, welcher sich aus dem Äquivalenzprinzip ergibt, dass die Gestalt der Feldgleichungen, welche die Gravitation auf die Raumzeit verallgemeinern, auf der rechten Seite den Energie-Impuls-Tensor als Quelle des Feldes beinhalten. Da somit auf der rechten Seite ein Tensor steht, muss dies auch für die linke Seite gelten. Dieser Tensor sollte die geometrischen Eigenschaften der Raumzeit repräsentieren und eine Kombination des metrischen Tensors und eines Tensors, der die Krümmung beschreibt, darstellen. Die Feldgleichungen nehmen also die Form

$ \ G_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu } $

an, wobei der geometrische Tensor $ G_{\mu \nu } $ als Einsteintensor bezeichnet wird. Die Konstante $ \kappa =8\pi G/c^{4} $ heißt Einsteinsche Gravitationskonstante oder einfach Einsteinkonstante und wird als Proportionalitätskonstante angenommen. Diese beiden Größen sind zu bestimmen.

Aus den bisherigen Überlegungen ergeben sich zusammengefasst diese Forderungen:

1. $ \ G_{\mu \nu }=0 $    für eine flache Raumzeit, d. h. in Abwesenheit von Gravitation.
2. $ \ \nabla _{\nu }T^{\mu \nu }=0 $   für die Energie-Impuls-Erhaltung.
3. $ \ \nabla _{\nu }G^{\mu \nu }=0 $  aufgrund obiger Forderung für $ T_{\mu \nu } $.
4. $ \ G_{\mu \nu } $  ist eine Kombination aus dem Krümmungstensor $ R_{\mu \nu } $ und dem metrischen Tensor $ g_{\mu \nu } $.
5. $ \ T_{\mu \nu } $  ist ein symmetrischer Tensor zweiter Stufe, daher muss dies auch für $ G_{\mu \nu } $ gelten.

Die Feldgleichungen

Aus diesen Forderungen ergeben sich die Feldgleichungen:

$ R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R=\kappa T_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu } $

Hierbei ist $ G $ die Gravitationskonstante, $ c $ die Lichtgeschwindigkeit, $ R_{\mu \nu } $ der Ricci-Tensor, $ R $ der Krümmungsskalar und $ g_{\mu \nu } $ der metrische Tensor.

Die Feldgleichungen können auch mit umgekehrtem Vorzeichen der Einsteinkonstante definiert werden

$ R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R=-\kappa T_{\mu \nu }=-{\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu } $.

Dieses Vorzeichen ist rein von der verwendeten Konvention abhängig und physikalisch nicht bedeutend; beide Konventionen sind weit verbreitet.

Im Energie-Impuls-Tensor wird berücksichtigt, dass Masse und Energie äquivalent sind; d. h., jede Form der Energie induziert schwere Masse. Der Energie-Impuls-Tensor beinhaltet neben der Massen-Energiedichte (Masse bzw. Energie pro Raumvolumen) weitere Energieformen (z. B. den Druck, den ein Strahlungsfeld ausüben kann). Eine Änderung des Energie-Impuls-Tensors, d. h. eine Änderung der durch ihn beschriebenen Energieverteilungen, hat somit eine Änderung der Struktur der Raumzeit in der Umgebung dieser Energieverteilung zur Folge. Die Struktur der Krümmung der Raumzeit (d. h. des Raumes als auch der Zeit) beeinflusst wiederum die dort befindliche Materie, d. h., Energie, Raum und Zeit stehen in direkter Wechselwirkung. Diese Beeinflussung der Materie, die von den Krümmungen von Raum und Zeit ausgehen, ist im Rahmen unserer Erfahrungswelt nichts anderes als die Gravitation.

Die Vakuumfeldgleichungen

Betrachtet man beispielsweise den Außenraum von Sternen, wo sich als Näherung keine Materie aufhält, so wird $ T_{\mu \nu }=0 $ gesetzt. Man nennt dann

$ R_{\mu \nu }-{\frac {R}{2}}g_{\mu \nu }=0 $

die Vakuumfeldgleichungen und ihre Lösungen Vakuumlösungen. Für die Umgebung einer nicht rotierenden und elektrisch neutralen Kugel der Masse M erhält man in Kugelkoordinaten hieraus beispielsweise die äußere Schwarzschild-Lösung, deren Linienelement die Form

$ \mathrm {d} s^{2}=g_{\mu \nu }\,\mathrm {d} x^{\mu }\mathrm {d} x^{\nu }=-c^{2}{\Bigl (}1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}{\Bigr )}\,\mathrm {d} t^{2}+{\frac {1}{1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}}}\,\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\,\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \phi ^{2} $

besitzt.

Die Invariante der Theorie, $ \mathrm {d} s, $ verallgemeinert den speziell-relativistischen Begriff der Eigenzeit, unter anderem durch Berücksichtigung der Gravitation des betrachteten Himmelskörpers. Besonderheiten ergeben sich bei Unterschreiten eines kritischen Wertes für den Radius $ r $, nämlich für $ r<2GM/c^{2} $ (siehe Schwarzes Loch).

Einstein-Maxwell-Gleichungen

Wird für $ T_{\mu \nu } $ der elektromagnetische Energie-Impuls-Tensor

$ T_{\mu \nu }=\,-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{\mu }{}^{\alpha }F_{\alpha \nu }+{\frac {1}{4}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }g_{\mu \nu }\right) $

in die Feldgleichungen eingesetzt

$ R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R={\frac {8\pi G}{c^{4}\mu _{0}}}\,\left(F_{\mu }{}^{\alpha }F_{\alpha \nu }+{\frac {1}{4}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }g_{\mu \nu }\right) $

so spricht man von den Einstein-Maxwell-Gleichungen.

Die Kosmologische Konstante

Es stellte sich heraus, dass die einsteinschen Feldgleichungen noch weiter verallgemeinert werden können. So ist es möglich, einen weiteren additiven Term in den Einsteintensor hinzuzufügen, der aus einer Konstanten $ \Lambda $ und dem metrischen Tensor besteht. Damit ist die Forderung der Divergenzfreiheit noch immer erfüllt und so nehmen die Feldgleichungen die Form

$ R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu } $

an. Hierbei ist $ \Lambda $ die kosmologische Konstante, die von Einstein in die Feldgleichungen eingebaut und so gewählt wurde, dass das Universum statisch wird; dies war die damals sinnvollste Anschauung. Es stellte sich jedoch heraus, dass das so von der Theorie beschriebene Universum instabil ist. Als Edwin Hubble schließlich nachwies, dass das Universum expandiert, verwarf Einstein seine Konstante. Angeblich soll er sie anschließend als die „größte Eselei“ seines Lebens bezeichnet haben; dies wurde ihm jedoch nur von George Gamow nachgesagt.

Trotz Einsteins Irrtum stellt die kosmologische Konstante heute eine wichtige und rätselhafte Größe im Bereich der modernen Kosmologie dar. Lange Zeit wurde ihr Wert für Null gehalten, doch die modernen Methoden der Astronomie haben gezeigt, dass die Konstante einen positiven Wert haben muss, um bestimmte Dinge zu erklären. Es wurden mehrere Modelle für die Entwicklung eines Universums entwickelt, in denen die Konstante eine tragende Rolle spielt. Das bekannteste und einfachste dieser Modelle ist die De-Sitter-Raumzeit.

Ursprünglich war die Konstante zwar als unabhängiger Parameter gedacht, jedoch kann sie im Vakuumfall mit dem Energie-Impuls-Tensor identifiziert werden. Es ist

$ T_{\mu \nu }^{(\mathrm {vac} )}=-{\frac {c^{4}}{8\pi G}}\Lambda g_{\mu \nu } $,

wobei die Konstante

$ \rho _{(\mathrm {vac} )}:={\frac {\Lambda c^{4}}{8\pi G}} $

als Vakuumenergiedichte bezeichnet wird – sie ist eine dem leeren Raum zugrunde liegende Energie, wobei sich der 'leere' Raum in der Kosmologie als flach erweist (siehe FLRW-Metrik). Wenn eine Vakuumenergie existiert, so existiert auch eine nicht-verschwindende kosmologische Konstante und umgekehrt. Ein wichtiger Punkt ist die Energiedichte der kosmologischen Konstante in einer expandierenden Raumzeit. Die Expansion des Universums lässt (wie oben zu sehen ist) die Energiedichte unbeeinflusst, was auf natürlicher Weise zu einem dominanten Verhalten der kosmologischen Konstanten in 'späten' Zeiten der kosmologischen Entwicklung führt (die Energiedichten von Strahlung und Materie sind in verschiedenen Potenzen invers proportional zum Skalenfaktor der Metrik). Eine mögliche Konsequenz ist der Big Rip.

Literatur

• Albert Einstein: Die Feldgleichungen der Gravitation. Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, S.844–847, 25. November 1915
• Yvonne Choquet-Bruhat: General relativity and the Einstein equations. Oxford Univ. Press, Oxford 2009, ISBN 978-0-19-923072-3.
• Hans Stephani: Exact solutions of Einstein's field equations. Cambridge Univ. Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-46136-7.
• Bernd G. Schmidt: Einstein's field equations and their physical implications. Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-67073-4.
• Fabio Cardone, (et al.): Einstein's Field Equations in R5 and Their Solutions. S.287-301 in: F. Cardone: Deformed spacetime. Springer, Dordrecht 2007, ISBN 978-1-4020-6282-7.

Weblinks

• Video: Einsteinsche Feldgleichungen. Jörn Loviscach 2004, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.5446/19911.