Symplektische Mannigfaltigkeiten sind die zentralen Objekte der symplektischen Geometrie, eines Teilgebiets der Differentialgeometrie. Die symplektischen Mannigfaltigkeiten haben einen sehr starken Bezug zur theoretischen Physik.
Eine symplektische Mannigfaltigkeit ist eine glatte Mannigfaltigkeit $ M $ zusammen mit einer symplektischen Form $ \omega $, das heißt einer globalen, glatten und geschlossenen 2-Form, die punktweise nicht ausgeartet ist (siehe auch symplektischer Raum). „Geschlossen“ bedeutet, dass die äußere Ableitung der Differentialform verschwindet, $ \mathrm {d} \omega =0 $.[1]
Symplektische Mannigfaltigkeiten haben immer eine geradzahlige Dimension, da antisymmetrische Matrizen in ungeraden Dimensionen nicht invertierbar sind und deshalb antisymmetrische Bilinearformen in ungerader Dimension ausgeartet sind.
Da die Form $ \textstyle \omega =\sum _{ij}\omega _{ij}\,\mathrm {d} x^{i}\wedge \mathrm {d} x^{j} $ nicht ausgeartet ist, definiert sie mit ihrem Inversen an jedem Punkt eine bilineare Abbildung von Eins-Formen $ \textstyle \eta =\sum _{i}\eta _{i}\,\mathrm {d} x^{i} $ und $ \textstyle \chi =\sum _{j}\chi _{j}\,\mathrm {d} x^{j} $
und die Poisson-Klammer der Funktionen $ f $ und $ g $,
Eine Lagrangesche Untermannigfaltigkeit einer 2n-dimensionalen symplektischen Mannigfaltigkeit $ (M,\omega ) $ ist eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit $ L\subset M $ mit
d.h. die Einschränkung der symplektischen Form auf den Tangentialraum von L verschwindet. (Untermannigfaltigkeiten beliebiger Dimension, die die letztere Bedingung erfüllen, heißen isotrop. Man kann zeigen, dass isotrope Mannigfaltigkeiten höchstens n-dimensional sind. Lagrange-Mannigfaltigkeiten sind also isotrope Untermannigfaltigkeiten maximaler Dimension.)
Die lagrangesche Mannigfaltigkeit spielt eine wichtige Rolle in der Physik. Eine Lagrangesche Mannigfaltigkeit mit reellem Keim lässt sich wie folgt definieren: Man betrachte eine Lagrangesche Mannigfaltigkeit $ \Lambda ^{k} $ mit Dimension k<n eingebettet in einen 2n dimensionalen reellen Phasenraum. Zu jedem Punkt $ \sigma $ auf $ \Lambda ^{k} $ lässt sich eine (n-k) dimensionale Hyperebene $ \lambda ^{n-k}(\sigma ) $ im Phasenraum finden (vgl. Konzept Cotangentialraum in der Differentialgeometrie), man nennt sie Keim am Punkt $ \sigma $. Weiter wird der Tangentialraum an $ \sigma $ mit $ T\Lambda ^{k}(\sigma ) $ bezeichnet. Man nennt ein Paar $ (\Lambda ^{k},\lambda ^{n-k}) $ nun eine lagrangesche Mannigfaltigkeit mit reellem Keim, wenn: (i) $ r^{n}(\sigma ):=\lambda ^{n-k}(\sigma )+T\Lambda ^{k}(\sigma ) $ die Dimension n hat. (ii) das symplektische Produkt zweier Vektoren $ v_{1},v_{2}\in r^{n}(\sigma ) $ verschwindet d.h. $ \omega (v_{1},v_{2})=0 $ [2]
In einem Euklidischen Raum ist der Gradient einer Funktion $ f $ dasjenige Vektorfeld $ g_{f} $, dessen Skalarprodukt $ \langle g_{f},w\rangle $ für jedes gegebene Vektorfeld $ w $ mit der Anwendung von $ \mathrm {d} f $ auf $ w $ übereinstimmt,
In einer Symplektischen Mannigfaltigkeit gehört zu gegebenem f und einer gegebenen beliebigen Funktion $ h $ das Vektorfeld
das Funktionen $ f $ längs einer Integralkurve der zu $ h $ (interpretiert als sog. Hamiltonfunktion des Systems) gehörigen hamiltonschen Gleichungen ableitet. Die Rolle von w wird hier also durch h übernommen, und es wird für h die Symplektische Geometrie bzw. die Hamilton’sche Dynamik benutzt.
Das Vektorfeld $ \,v_{h} $ ist also der Symplektische Gradient von $ h $ oder der infinitesimale Hamilton’sche Fluss von $ h $.
Der Satz von Darboux benannt nach dem Mathematiker Jean Gaston Darboux besagt:[3]
In der Umgebung jedes Punktes einer symplektischen Mannigfaltigkeit gibt es lokale Koordinatenpaare $ (q_{i},p_{i}) $ mit
Die so definierten Koordinatenpaare werden als kanonisch konjugiert bezeichnet.
Das Darboux-Theorem hat vielfache Anwendungsmöglichkeiten: Zum Beispiel lässt sich damit zeigen, dass es für zwei aufeinander liegende Pfannkuchen stets einen Schnitt gibt, mit dem sich beide Pfannkuchen in zwei gleiche Hälften teilen lassen.
In der Hamiltonschen Mechanik ist der Phasenraum eine symplektische Mannigfaltigkeit mit der geschlossenen, symplektischen Form
Dies ist kein Spezialfall, denn nach dem Satz von Darboux lässt sich $ \omega $ in lokalen Koordinaten immer als $ \textstyle \sum _{i}\mathrm {d} q_{i}\land \mathrm {d} p_{i}\ $ schreiben. Bei symplektischen Mannigfaltigkeiten handelt es sich um die Phasenräume der Hamiltonschen Mechanik.
Die mathematische Aussage bezüglich $ \omega $ ist äquivalent zu den sogenannten kanonischen Gleichungen der theoretischen Physik, speziell in der analytischen Mechanik.
In diesem Zusammenhang ist auch das Liouville-Theorem von Bedeutung, das in der statistischen Physik eine Rolle spielt. Es besagt im Wesentlichen, dass bei Hamilton'schen Flüssen das Phasenraumvolumen konstant bleibt, was für die Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsmaße dieser Theorie wichtig ist.