Gleichförmige Kreisbewegung

Eine gleichförmige Kreisbewegung ist eine Bewegung, bei der die Bahnkurve auf einem Kreis verläuft („Kreisbewegung“) und der Betrag der Bahngeschwindigkeit konstant ist („gleichförmig“). Sie ist damit eine Form der Rotation. Im Gegensatz zur gleichförmigen Bewegung bleibt der Geschwindigkeitsvektor hierbei nicht konstant, da zwar sein Betrag konstant bleibt, aber seine Richtung sich ständig ändert. Die Betrachtung solch grundlegender Bewegungsabläufe hilft bei der Interpretation und Charakterisierung komplexer Abläufe im Bereich der Kinematik und Dynamik.

Eigenschaften

Grafische Analyse des Geschwindigkeitsvektors bei der Kreisbewegung

Grafische Analyse des Beschleunigungsvektors bei der Kreisbewegung

Eine Kreisbahn ist eine geschlossene Bahnkurve in einer Ebene mit konstantem Abstand zu einem Mittelpunkt. Die Wegstrecke stellt die Bogenlänge dar und ergibt sich aus dem Winkel und dem Radius.

s(t)=R\cdot \varphi (t)

Eine Bewegung auf der Kreisbahn lässt sich somit allein durch die Änderungsrate des Winkels, die Winkelgeschwindigkeit, beschreiben. Diese bleibt im Fall der gleichmäßigen Kreisbewegung konstant.

{\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} t}}=\omega ={\text{konst.}}

Somit ergibt sich der Betrag der Geschwindigkeit zu:

v={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}=R\cdot {\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} t}}=R\cdot \omega ={\text{konst.}}

.

Da die Bahnkurve geschlossen ist, kehrt die Bewegung stets zum selben Punkt zurück. Das dafür benötigte Zeitintervall wird als Umlaufdauer bezeichnet.

\varphi =\omega t\ {\overset {\varphi =2\pi }{\Rightarrow }}\ T={\frac {2\pi }{\omega }}

Vektorielle Betrachtung

Der Geschwindigkeitsvektor ist wie bei jeder Bewegung tangential zur Bahnkurve, also hier tangential zum Kreis. Damit steht er senkrecht auf dem Radiusvektor. Er zeigt in Bewegungsrichtung.

{\vec {v}}={\underset {\Delta t\rightarrow 0}{\lim }}{\frac {\Delta {\vec {r}}}{\Delta t}}\Rightarrow {\vec {r}}\perp {\vec {v}}

Anhand der vektoriellen Betrachtung lässt sich auch die erforderliche Beschleunigung für eine Richtungsänderung ohne Betragsänderung der Geschwindigkeit ermitteln. Analog dem Vorgehen bei der Betrachtung des Geschwindigkeitsvektors erfolgt die Herleitung der Beschleunigung, nur dass zusätzlich eine Vektorverschiebung stattfindet. Der Beschleunigungsvektor steht senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor und zeigt zum Kreismittelpunkt.

{\vec {a}}={\underset {\Delta t\rightarrow 0}{\lim }}{\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}\Rightarrow {\vec {v}}\perp {\vec {a}}

Die Richtung der Beschleunigung ist damit geklärt nicht jedoch der Betrag. Hierbei hilft die Kleinwinkelnäherung, bei der die Bogenlänge zwischen den gleich langen Geschwindigkeitsvektoren zunehmend dem direkten Abstand zwischen den Vektorspitzen entspricht. Da sich die Winkeländerung der Kreisbewegung auch in den Geschwindigkeitsvektoren widerspiegelt, kann folgende Gleichsetzung der Grenzübergänge erfolgen:

|{\vec {a}}|={\underset {\Delta t\rightarrow 0}{\lim }}{\frac {|\Delta {\vec {v}}|}{\Delta t}}=v\cdot {\underset {\Delta t\rightarrow 0}{\lim }}{\frac {\Delta {\varphi }}{\Delta t}}=v\cdot \omega =R\cdot \omega ^{2}={\frac {v^{2}}{R}}

.

Da der Beschleunigungsvektor immer Richtung Kreismittelpunkt zeigt trägt er die Bezeichnung Zentripetalbeschleunigung und in Verbindung mit der Masse gilt gleiches für die Zentripetalkraft.

Siehe auch

Literatur

Lehmann, Schmidt: Abitur-Training / Physik / Kinematik, Dynamik, Energie / Berufliche Oberschule / Technik. 1. Auflage. Stark Verlagsgesellschaft, 2001, ISBN 978-3-89449-176-5.
Ekbert Hering, Rolf Martin, Martin Stohrer: Physik für Ingenieure. 8. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg New York 2002, ISBN 3-540-42964-6.

Weblinks

Gleichförmige Kreisbewegung auf Schülerniveau (LEIFI)