Jordan-Wigner-Transformation

Mithilfe der Jordan-Wigner-Transformation können verschiedene eindimensionale quantenmechanische Systeme aufeinander abgebildet werden. Genauer gesagt ist es möglich mit der Transformation eindimensionale Spin-1/2-Ketten auf spinlose Fermionen auf einer Kette abzubilden.

Die Jordan-Wigner-Transformation bildet die Spin-1/2-Operatoren auf Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für spinlose Fermionen ab. Mithilfe der Transformation kann die Äquivalenz zwischen dem eindimensionalen Heisenbergmodell und spinlosen Fermionen auf einem eindimensionalen Gitter mit nächster Nachbarwechselwirkung gezeigt werden.

Die Transformation wurde 1928 von Pascual Jordan und Eugene Wigner in der Zeitschrift für Physik veröffentlicht^[1].

Grundlegende Idee

Betrachtet man Spin-1/2-Operatoren am Platz i, so findet man, dass diese den grundlegenden kanonischen (Anti-)Vertauschungsrelationen (Anti-Kommutatorrelationen) für Fermionen gehorchen:

$ \{S_{i}^{+},S_{i}^{-}\}=1,\qquad \{S_{i}^{+},S_{i}^{+}\}=0=\{S_{i}^{-},S_{i}^{-}\} $

Die Idee ist daher die Spin-1/2-Operatoren als fermionische Operatoren zu betrachten. Allerdings erfüllen die Spin-1/2-Operatoren keine Anti-Kommutatorrelationen auf verschiedenen Gitterplätzen $ i $ und $ j $:

$ [S_{i}^{+},S_{j}^{-}]=0=[S_{i}^{+},S_{j}^{+}]=[S_{i}^{-},S_{j}^{-}] $

Jordan und Wigner haben erkannt, dass dieses allerdings mit der Einführung eines Phasenoperators vor dem Spin-1/2-Operatoren behoben werden kann. Es wird eine Wegorientierung definiert mit einem Phasenfaktor, der abhängig von der Anzahl der Up-Spins vor dem betrachteten Spin ist.

$ c_{i}=e^{i\phi _{i}}S_{i}^{-}\qquad {\text{mit}}\quad \phi _{i}=\pi \sum _{j<i}S_{j}^{+}S_{j}^{-} $

Ist an der Stelle i ein Up-Spin, wird ein Phasenfaktor (-1) „aufgepickt“, bei einem Down-Spin passiert nichts (Phasenfaktor 1):

$ e^{i\pi S_{i}^{+}S_{i}^{-}}=e^{i\pi n_{i}}=1-2n_{i}\qquad {\text{mit}}\quad n_{i}=S_{i}^{+}S_{i}^{-} $

Die so definierten fermionischen Operatoren erfüllen die Anti-Kommutatorrelationen auf verschiedenen Plätzen $ i $ und $ j $:

$ \{c_{i},c_{j}^{\dagger }\}=\delta _{ij},\qquad \{c_{i}^{\dagger },c_{j}^{\dagger }\}=0=\{c_{i},c_{j}\} $

Besonders hilfreich sind folgende Zusammenhänge für die Abbildung zwischen verschiedenen Modellen:

$ S_{i}^{+}S_{i+1}^{-}=\pm c_{i}^{\dagger }c_{i+1} $

$ S_{z}=S_{i}^{+}S_{i}^{-}-{\frac {1}{2}}=c_{i}^{\dagger }c_{i}-{\frac {1}{2}} $

Anwendungen

1D-Heisenberg Modell

Zur Veranschaulichung der Jordan-Wigner-Transformation wird sie auf das eindimensionale Heisenberg Modell angewandt. Die nötigen Produkte der verschiedenen Operatoren sind bereits im vorherigen Abschnitt aufgelistet. Der Hamiltonian $ H_{\text{Heis}} $ des 1D-Heisenberg Modells kann demnach geschrieben werden als:

$ {\begin{aligned}H_{\text{Heis}}&=-J\sum _{n=1}^{N}{\vec {S}}_{n}\cdot {\vec {S}}_{n+1}=-J\sum _{n=1}^{N}\left[{\frac {1}{2}}(S_{n}^{+}S_{n+1}^{-}+S_{n}^{-}S_{n+1}^{+})+S_{n}^{z}S_{n+1}^{z}\right]\\&=-J\sum _{i=1}^{N}\left[{\frac {1}{2}}\left(c_{i}^{\dagger }c_{i+1}+{\text{h.c}}\right)+\left((c_{i}^{\dagger }c_{i}-{\frac {1}{2}})(c_{i+1}^{\dagger }c_{i+1}-{\frac {1}{2}})\right)\right]\\&=H_{0}+H_{J}\end{aligned}} $

Die Transformation zeigt also die Äquivalenz des 1D-Heisenberg Modells mit spinlosen Fermionen auf dem Gitter mit periodischen Randbedingungen und lediglich nächster Nachbarwechselwirkung. Der erste Term $ H_{0} $ beschreibt wechselwirkungsfreie Fermionen und der zweite Term $ H_{J} $ ist der Wechselwirkungsterm mit einer Wechselwirkung $ U=-J $ gegeben über die Kopplungskonstante des Heisenbergmodells.

1D-XY-Modell

Ein weiteres Beispiel ist das eindimensionale XY-Modell als Spezialfall des 1D-Heisenberg-Modells. Der Hamiltonian $ H_{\text{Heis}} $ des XY-Modells kann geschrieben werden als:

$ {\begin{aligned}H_{\text{XY}}&=-J\sum _{n=1}^{N}\left[{\frac {1}{2}}(S_{n}^{+}S_{n+1}^{-}+S_{n}^{-}S_{n+1}^{+})\right]\\&=-J\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}\left(c_{i}^{\dagger }c_{i+1}+c_{i+1}^{\dagger }c_{i}\right)=H_{0}\end{aligned}} $

Die Jordan-Wigner Transformation bildet das Spin-System also auf wechselwirkungsfreie spinlose Fermionen ab. Für dieses System kann man die Zustandssumme exakt angeben.

Quellen