Erzeugungs- und Vernichtungsoperator

Die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren sind der Kern eines eleganten Lösungsansatzes der Schrödingergleichung des harmonischen Oszillators. Diese Operatoren können auch dazu benutzt werden, Probleme mit quantenmechanischem Drehimpuls einfacher zu lösen (siehe Drehimpulsoperator). Ferner finden die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren Verwendung bei der Quantisierung von Feldern (der sogenannten zweiten Quantisierung oder Besetzungszahl-Darstellung).

Es gibt eine Vielzahl alternativer Bezeichnungen wie Leiteroperatoren, Kletteroperatoren, Aufsteige- und Absteigeoperatoren sowie Hebe- und Senkoperatoren. Statt „Erzeugungsoperator“ wird manchmal auch Erschaffungsoperator verwendet. Im deutschsprachigen Raum werden darüber hinaus auch die Operatoren $ \sigma _{+} $ und $ \sigma _{-} $, die die Zustände eines Atoms ändern, als Erzeugungs- bzw. Vernichtungsoperatoren bezeichnet.

Das Problem des harmonischen Oszillators in der Quantenmechanik lässt sich mithilfe der Methode der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren behandeln, die auch algebraische Methode genannt wird. Sie wurde hauptsächlich von Paul Dirac entwickelt. Für diesen Lösungsweg definiert man zwei Operatoren $ {\hat {a}} $ und $ {\hat {a}}^{\dagger } $, die einem Oszillator jeweils ein Energiequant $ \hbar \omega $ entziehen oder hinzufügen. Deswegen werden sie Vernichtungs- und Erzeugungsoperator genannt.

Das Zirkumflex (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{ } -Symbol) über dem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a symbolisiert, dass es sich dabei um einen Operator handelt. Damit gelten nicht dieselben Rechenregeln wie für Skalare, denn die Reihenfolge von Operatoren lässt sich beispielsweise im Allgemeinen nicht vertauschen. Im Folgenden wird auf das Zirkumflex-Symbol zugunsten der Übersichtlichkeit verzichtet, wenn nichts anderes gesagt ist. Alle lateinischen Großbuchstaben, mit Ausnahme von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_n , den Energieeigenwert darstellend, sind Operatoren.

Definition

Man definiert den Erzeugungsoperator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a^{\dagger\,} und den dazu adjungierten Vernichtungsoperator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a^{\,} über folgende Vertauschungsrelationen mit dem Besetzungszahloperator (der auch Teilchenzahloperator genannt wird) $ N:=a^{\dagger }a $:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): [N,a]=-a\ ,\quad[N,a^{\dagger}]=a^{\dagger}

Der Besetzungszahloperator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): N ist ein hermitescher Operator und hat daher reelle Eigenwerte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n . Die zugehörige Eigenwertgleichung lautet:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): N\left| n \right\rangle =n\left| n \right\rangle

wobei $ \left|n\right\rangle $ Fock-Zustände sind.

Die Besetzungszahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n ist eine nichtnegative ganze Zahl, also $ n\in \mathbb {N} _{0} $. Bei Fermionen ergibt sich hier noch eine Einschränkung auf die Werte 0 und 1.

Durch Anwendung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a^\dagger bzw. $ a^{\,} $ auf den Zustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left| n \right\rangle erhält man den darüber- bzw. den darunterliegenden Zustand:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a^{\dagger}\left|n\right\rangle =c_{n}^{+}\left|n+1\right\rangle

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a\,\left|n\right\rangle =c_{n}^{-}\left|n-1\right\rangle

Die Konstanten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c_{n}^{+} und $ c_{n}^{-} $ sind davon abhängig, ob Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a^{\,} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a^\dagger die Kommutator- oder Antikommutator-Vertauschungsrelation erfüllen.

Details

Im Folgenden werden verschiedene Eigenschaften von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): N abgeleitet. Die Eigenzustände Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left| n \right\rangle seien normiert.

• Der Besetzungszahloperator ist hermitesch, also selbstadjungiert:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): N^{\dagger}=(a^{\dagger}a)^{\dagger}=a^{\dagger}a^{\dagger\dagger}=a^{\dagger}a=N

Somit hat Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): N reelle Eigenwerte, die Besetzungszahlen $ n $.

• Die Eigenwerte sind nicht negativ: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n\ge 0

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n=\left\langle n|N|n \right\rangle =\left\langle n|a^{\dagger }a|n \right\rangle =\left\langle an|an \right\rangle =\left\| a \left| n \right\rangle \right\|^{2}\ge 0

Die Ungleichung folgt aus der Tatsache, dass die Norm eines Vektors nicht-negativ ist.

• Der kleinste Eigenwert ist 0

Der Zustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left| 0 \right\rangle ist ein Vektor im Hilbertraum und darf nicht mit dem Nullvektor verwechselt werden, sondern wird lediglich mit der Zahl 0 nummeriert.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a^{\dagger }a\left| 0 \right\rangle =0\left| 0 \right\rangle = 0   und   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left\langle 0 | 0 \right\rangle =1

Wegen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n\ge 0 muss gelten: $ a\left|0\right\rangle =0 $. Wendet man also auf den niedrigsten Zustand den Absteigeoperator an, so erhält man den Nullvektor. Dies lässt sich aber nicht umkehren: Durch Anwendung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a^{\dagger } auf den Nullvektor erhält man nicht den Grundzustand, sondern wieder den Nullvektor.

• Die Eigenwerte sind ganzzahlig: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n\in \mathbb{N}_{0}

Angenommen die Eigenwerte wären nicht ganzzahlig, so ließen sich ausgehend von einem Eigenzustand durch mehrmalige Anwendung des Absteigeoperators Eigenzustände finden, die negative Eigenwerte besitzen. Dies ist aber ein Widerspruch zur Bedingung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n\ge 0 . Bei ganzzahligen Eigenwerten erreicht man irgendwann den Grundzustand und durch nochmaliges Anwenden den Nullvektor; ab hier bricht automatisch die Leiter ab.

• Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n Eigenwert, dann auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n+1

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Na^{\dagger}\left|n\right\rangle =\left(a^{\dagger}N+[N,a^{\dagger}]\right)\left|n\right\rangle =\left(a^{\dagger}N+a^{\dagger}\right)\left|n\right\rangle =a^{\dagger}\left(N+1\right)\left|n\right\rangle =a^{\dagger}\left(n+1\right)\left|n\right\rangle =\left(n+1\right)a^{\dagger}\left|n\right\rangle

Wenn $ a^{\dagger }\left|n\right\rangle $ ungleich dem Nullvektor ist, erhält man somit einen neuen Eigenwert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (n+1) .

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a^{\dagger }\left| n \right\rangle ist also Eigenzustand zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): N mit Eigenwert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (n+1) und somit proportional zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left| n+1 \right\rangle :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a^{\dagger}\left|n\right\rangle =c_{n}^{+}\left|n+1\right\rangle

• Ist $ n>0 $ Eigenwert, dann auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n-1

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Na\left|n\right\rangle =\left(aN+\left[N,a\right]\right)\left|n\right\rangle =\left(aN-a\right)\left|n\right\rangle =a\left(N-1\right)\left|n\right\rangle =a\left(n-1\right)\left|n\right\rangle =\left(n-1\right)a\left|n\right\rangle

Wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a\left| n \right\rangle ungleich dem Nullvektor ist, erhält man somit einen neuen Eigenwert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (n-1) .

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a^{\,}\left| n \right\rangle ist also Eigenzustand zu $ N $ mit Eigenwert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (n-1) und somit proportional zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left| n-1 \right\rangle :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a\,\left|n\right\rangle =c_{n}^{-}\left|n-1\right\rangle

Bosonische Kletteroperatoren

Im bosonischen Fall erfüllen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a und $ a^{\dagger } $ die Kommutator-Vertauschungsrelationen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): [a,a^{\dagger}]=1\ ,\quad[a,a]=[a^{\dagger},a^{\dagger}]=0

Somit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a^{\dagger}\left|n\right\rangle =\sqrt{n+1}\left|n+1\right\rangle

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a\,\left|n\right\rangle =\sqrt{n}\left|n-1\right\rangle

Im bosonischen Fall können die Besetzungszahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n beliebig groß werden: $ n\in \mathbb {N} _{0} $.

Details

• Zunächst ist zu prüfen, ob die obigen Voraussetzungen erfüllt werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): [N,a]=[a^{\dagger}a,a]=\underbrace{[a^{\dagger},a]}_{-1}a+a^{\dagger}\underbrace{[a,a]}_{0}=-a

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): [N,a^{\dagger}]=[a^{\dagger}a,a^{\dagger}]=\underbrace{[a^{\dagger},a^{\dagger}]}_{0}a+a^{\dagger}\underbrace{[a,a^{\dagger}]}_{1}=a^{\dagger}

• Mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a^{\dagger} lässt sich der nächste über Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left| n \right\rangle liegende Zustand konstruieren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a^{\dagger }\left| n \right\rangle =c\left| n+1 \right\rangle . Der Faktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c ergibt sich aus folgender Rechnung mit dem Kommutator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): aa^{\dagger}-a^{\dagger}a=1 :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left|c\right|^{2}=\left\Vert c\left|n+1\right\rangle \right\Vert ^{2}=\left\Vert a^{\dagger}\left|n\right\rangle \right\Vert ^{2}=\left\langle a^{\dagger}n|a^{\dagger}n\right\rangle =\left\langle n|aa^{\dagger}|n\right\rangle =\left\langle n|a^{\dagger}a+1|n\right\rangle =\left\langle n|N+1|n\right\rangle =n+1

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c=\sqrt{n+1} e^{i\varphi} , die Phase Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varphi kann aber vernachlässigt werden, sodass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c=\sqrt{n+1} .

• Mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a lässt sich der unter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left| n \right\rangle liegende Zustand konstruieren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a\left| n \right\rangle =c\left| n-1 \right\rangle . Der Faktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c ergibt sich aus folgender Rechnung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left|c\right|^{2}=\left\Vert c\left|n-1\right\rangle \right\Vert ^{2}=\left\Vert a\left|n\right\rangle \right\Vert ^{2}=\left\langle an|an\right\rangle =\left\langle n|a^{\dagger}a|n\right\rangle =\left\langle n|N|n\right\rangle =n\quad\Rightarrow\quad c=\sqrt{n}

• Alle Eigenzustände lassen sich vom Grundzustand ausgehend konstruieren:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left|n\right\rangle =\frac{1}{\sqrt{n}}a^{\dagger}\left|n-1\right\rangle =\frac{1}{\sqrt{n!}}\left(a^{\dagger}\right)^{n}\left|0\right\rangle \ ,\quad n\in\mathbb{N}_{0}

Auf diese Weise erhält man einen vollständigen diskreten Satz von Eigenzuständen

Fermionische Kletteroperatoren

Im fermionischen Fall erfüllen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \,a\, und $ a^{\dagger } $ die Anti-Kommutator-Vertauschungsrelationen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \{a,a^{\dagger}\}=1\ ,\quad\{a,a\}=\{a^{\dagger},a^{\dagger}\}=0\quad\Rightarrow\quad a^{2}=a^{\dagger\, 2}=0

Somit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a^{\dagger}\left|n\right\rangle =\left(1-n\right)\left|n+1\right\rangle

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a\,\left|n\right\rangle =n\left|n-1\right\rangle

Im fermionischen Fall können die Besetzungszahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n nur die Werte 0 oder 1 annehmen.

Details

• Mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a\, a=0 und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a^{\dagger}a^{\dagger}=0 ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): N^{2}=N :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): N^{2}=a^{\dagger}aa^{\dagger}a=a^{\dagger}(\underbrace{\{a,a^{\dagger}\}}_{1}-a^{\dagger}a)a=a^{\dagger}a-\underbrace{a^{\dagger}a^{\dagger}}_{0}\underbrace{aa}_{0}=a^{\dagger}a=N

Der Besetzungszahloperator hat also nur die Eigenwerte 0 und 1 und die Eigenzustände Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |0\rangle und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |1\rangle :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n^{2}\left|n\right\rangle =N^{2}\left|n\right\rangle =N\left|n\right\rangle =n\left|n\right\rangle \quad\Rightarrow\quad n^{2}=n\quad\Rightarrow\quad n\in\{0,1\}

• Zunächst ist zu prüfen, ob die obigen Voraussetzungen erfüllt werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): [N,a]=[a^{\dagger}a,a]=\underbrace{[a^{\dagger},a]}_{2a^{\dagger}a-\{a,a^{\dagger}\}}a+a^{\dagger}\underbrace{[a,a]}_{0}=2a^{\dagger}\underbrace{aa}_{0}-\underbrace{\{a,a^{\dagger}\}}_{1}a=-a

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): [N,a^{\dagger}]=[a^{\dagger}a,a^{\dagger}]=\underbrace{[a^{\dagger},a^{\dagger}]}_{0}a+a^{\dagger}\underbrace{[a,a^{\dagger}]}_{\{a,a^{\dagger}\}-2a^{\dagger}a}=a^{\dagger}\underbrace{\{a,a^{\dagger}\}}_{1}-2\underbrace{a^{\dagger}a^{\dagger}}_{0}a=a^{\dagger}

• Mit $ a^{\dagger } $ lässt sich der nächste über Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left| n \right\rangle liegende Zustand konstruieren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a^{\dagger }\left| n \right\rangle =c\left| n+1 \right\rangle . Der Faktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c ergibt sich aus folgender Rechnung mit dem Anti-Kommutator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): aa^{\dagger}+a^{\dagger}a=1 :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} & \left|c\right|^{2}=\left\Vert c\left|n+1\right\rangle \right\Vert ^{2}=\left\Vert a^{\dagger}\left|n\right\rangle \right\Vert ^{2}=\left\langle a^{\dagger}n|a^{\dagger}n\right\rangle =\left\langle n|aa^{\dagger}|n\right\rangle =\left\langle n|1-a^{\dagger}a|n\right\rangle =\left\langle n|1-N|n\right\rangle =1-n \\& \Rightarrow\quad c=\sqrt{1-n} \end{align}

Da $ n $ nur 0 oder 1 sein kann, ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c=\sqrt{1-n}=1-n=\delta_{0,n} (dabei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \delta_{i,j} das Kronecker-Delta).

• Mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a lässt sich der unter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left| n \right\rangle liegende Zustand konstruieren $ a\left|n\right\rangle =c\left|n-1\right\rangle $. Der Faktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c ergibt sich aus folgender Rechnung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left|c\right|^{2}=\left\Vert c\left|n-1\right\rangle \right\Vert ^{2}=\left\Vert a\left|n\right\rangle \right\Vert ^{2}=\left\langle an|an\right\rangle =\left\langle n|a^{\dagger}a|n\right\rangle =\left\langle n|N|n\right\rangle =n\quad\Rightarrow\quad c=\sqrt{n}

Da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n nur 0 oder 1 sein kann, ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c=\sqrt{n}=n=\delta_{1,n} .

• Alle Eigenzustände lassen sich vom Grundzustand ausgehend konstruieren:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left|n\right\rangle =\frac{1}{\sqrt{n}}a^{\dagger}\left|n-1\right\rangle =\frac{1}{\sqrt{n!}}\left(a^{\dagger}\right)^{n}\left|0\right\rangle \ ,\quad n\in\{0,1\}

Auf diese Weise erhält man einen vollständigen diskreten Satz von Eigenzuständen

Beispiel für bosonische Kletteroperatoren: Harmonischer Oszillator

Der Hamiltonoperator $ H $ des harmonischen Oszillators lautet

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H = \frac{P^{2}}{2m}+\frac{m\omega ^{2}Q^{2}}{2}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P Impulsoperator, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Q Ortsoperator, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m Masse, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega Eigenfrequenz

Im Folgenden ist die stationäre Schrödingergleichung zu lösen:

$ H\left|n\right\rangle =E_{n}\left|n\right\rangle $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_n Energieeigenwert, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left| n \right\rangle Energieeigenzustand

Hamiltonoperator umformen

Der Hamiltonoperator lässt sich umformen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H=\frac{P^{2}}{2m}+\frac{m\omega ^{2}Q^{2}}{2}=\hbar \omega \left( \frac{P^{2}}{2\hbar m\omega }+\frac{m\omega Q^{2}}{2\hbar } \right)

Es werden zwei neue Operatoren definiert:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tilde{P}:=\frac{P}{\sqrt{2\hbar m\omega }}   und   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tilde{Q}:=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}Q

Der Hamiltonoperator ausgedrückt mit den neuen Operatoren:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H=\hbar \omega \left( \tilde{P}^{2}+\tilde{Q}^{2} \right)

Man versucht nun, den Inhalt der Klammer als Produkt zu schreiben, also ($ i $ ist die imaginäre Einheit)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left( u-iv \right)\left( u+iv \right)=u^{2}+v^{2}+iuv-ivu=u^{2}+v^{2}

Da aber Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): u und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v Operatoren sind, die nicht vertauschen, gilt hier das letzte Gleichheitszeichen nicht.

Um zwei Operatoren miteinander zu vertauschen, ist der Kommutator vonnöten: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tilde{Q}\tilde{P}=\tilde{P}\tilde{Q}-\left[ \tilde{P},\tilde{Q} \right]

$ {\begin{array}{rcl}H&=&\hbar \omega \left({\tilde {Q}}^{2}+{\tilde {P}}^{2}\right)\\&=&\hbar \omega \left({\tilde {Q}}^{2}+{\tilde {P}}^{2}+i\left[{\tilde {Q}},{\tilde {P}}\right]-i\left[{\tilde {Q}},{\tilde {P}}\right]\right)\\&=&\hbar \omega \left({\tilde {Q}}^{2}+{\tilde {P}}^{2}+i{\tilde {Q}}{\tilde {P}}-i{\tilde {P}}{\tilde {Q}}-i\left[{\tilde {Q}},{\tilde {P}}\right]\right)\\&=&\hbar \omega \left(({\tilde {Q}}-i{\tilde {P}})({\tilde {Q}}+i{\tilde {P}})-i\left[{\tilde {Q}},{\tilde {P}}\right]\right)\end{array}} $

Der Kommutator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left[ \tilde{Q},\tilde{P} \right] kann auf den Kommutator der ursprünglichen Operatoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Q und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P zurückgeführt werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left[\tilde{Q},\tilde{P}\right]=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}}\underbrace{\left[Q,P\right]}_{i\hbar}=\frac{i}{2}

Der Hamiltonoperator sieht nun folgendermaßen aus:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H=\hbar \omega \underbrace{\left( \tilde{Q}-i\tilde{P} \right)}_{a^{\dagger }}\underbrace{\left( \tilde{Q}+i\tilde{P} \right)}_{a}+\frac{1}{2}\hbar \omega

Jetzt werden die beiden Leiteroperatoren definiert:

$ a^{\dagger }:={\tilde {Q}}-i{\tilde {P}} $   Erzeugungsoperator

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a:=\tilde{Q}+i\tilde{P}   Vernichtungsoperator

Häufig werden sie auch als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a_+ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a_- geschrieben. Man beachte, dass die Leiteroperatoren nicht hermitesch sind, da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a\ne a^{\dagger } .

Die Leiteroperatoren ausgedrückt durch Ortsoperator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Q und Impulsoperator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P :

$ a^{\dagger }={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\left(Q-{\frac {i}{m\omega }}P\right) $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\left( Q+\frac{i}{m\omega }P \right)

Umgekehrt ergibt sich für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Q und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Q = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(a + a^{\dagger})

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P = \frac{1}{i} \sqrt{\frac{m\omega\hbar}{2}}(a - a^{\dagger})

Mit den Leiteroperatoren schreibt sich der Hamiltonoperator:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H=\hbar \omega \left( a^{\dagger }a+\frac{1}{2} \right)

Eigenschaften der Erzeuger und Vernichter

Zu bestimmen ist noch der Kommutator aus den beiden Leiteroperatoren:

$ \left[a,a^{\dagger }\right]=aa^{\dagger }-a^{\dagger }a=\left({\tilde {Q}}+i{\tilde {P}}\right)\left({\tilde {Q}}-i{\tilde {P}}\right)-\left({\tilde {Q}}-i{\tilde {P}}\right)\left({\tilde {Q}}+i{\tilde {P}}\right)=2i\left({\tilde {P}}{\tilde {Q}}-{\tilde {Q}}{\tilde {P}}\right)=2i\underbrace {\left[{\tilde {P}},{\tilde {Q}}\right]} _{-i/2}=1 $

Da außerdem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): [a,a]=[a^{\dagger},a^{\dagger}]=0 gilt, handelt es sich bei den Kletteroperatoren des harmonischen Oszillators um bosonische Kletteroperatoren. Somit gelten alle obigen Eigenschaften für bosonische Kletteroperatoren.

Das Produkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a^{\dagger }a definiert den Besetzungszahloperator:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): N=a^{\dagger }a

Lösung des Eigenwertproblems

Der Hamiltonoperator lässt sich durch den Besetzungszahloperator ausdrücken:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H=\hbar \omega \left( N+\frac{1}{2} \right)

Das Eigenwertproblem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H\left| n \right\rangle =E_{n}\left| n \right\rangle lässt sich auf die Eigenwertgleichung des Besetzungszahloperators Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): N\left| n \right\rangle =n\left| n \right\rangle zurückführen.

$ \hbar \omega \left(N+{\frac {1}{2}}\right)\left|n\right\rangle =E_{n}\left|n\right\rangle \quad ,\quad \hbar \omega \left(N+{\frac {1}{2}}\right)\left|n\right\rangle =\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left|n\right\rangle $

Die Eigenzustände von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): N sind auch Eigenzustände von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H , da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left[ H,N \right]=0 . Die Eigenwerte des Hamiltonoperators ergeben sich aus den Eigenwerten des Besetzungszahloperators Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): N :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_n=\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right)   und   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left| n \right\rangle = \left| n \right\rangle

Eine besonders wichtige Eigenschaft der Kletteroperatoren ist diese:

$ a^{\dagger }\left|n\right\rangle ={\sqrt {n+1}}\left|n+1\right\rangle $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a\,\left|n\right\rangle =\sqrt{n}\left|n-1\right\rangle

Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left| n \right\rangle eine Lösung der Schrödingergleichung für die Energie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_n , so ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a^{\dagger}\left| n \right\rangle eine Lösung für die Energie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_n +\hbar \omega und $ a\left|n\right\rangle $ eine Lösung für die Energie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_n -\hbar \omega . Das bedeutet, dass man aus einer Lösung alle Lösungen erhalten kann, indem man einfach den Erzeugungs- oder Vernichtungsoperator auf diese Lösung anwendet. Dadurch wird eine neue Lösung für das benachbarte Energieniveau erzeugt, das um die Energie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hbar\omega verschoben ist.

Da der Besetzungszahloperator keine negativen Eigenwerte hat, können auch keine negativen Energieeigenwerte existieren. Es gibt also für die minimale Besetzungszahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n=0 eine Lösung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): | 0 \rangle , die auf einem minimalen Energieniveau sitzt (Nullpunktenergie):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_0 = \frac{1}{2}\hbar\omega

Im Zustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left| n \right\rangle setzt sich die Energie $ E_{n}=\hbar \omega (n+{\tfrac {1}{2}}) $ zusammen aus der Nullpunktenergie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hbar\omega /2 und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n Energiequanten der Größe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hbar\omega . Die Wirkung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a^{\dagger} überführt das System in einen Zustand mit der um Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hbar\omega erhöhten Energie. Dies kann man als Erzeugung eines zusätzlichen Energiequants interpretieren, was den Namen Erzeugungsoperator verständlich macht. Analog überführt der Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a das System in einen um ein Energiequant reduzierten Zustand. Es wird also ein Energiequant vernichtet, deswegen Vernichtungsoperator. Die Eigenwerte des Operators $ N $ geben an, wie viele Energiequanten in einem Eigenzustand angeregt sind. Die Besetzung eines Zustandes mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n Energiequanten erklärt den Namen Besetzungszahloperator.

Eigenfunktionen in Ortsdarstellung

Wendet man also auf den niedrigsten Zustand den Absteigeoperator an, so erhält man den Nullvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a\left| 0 \right\rangle = 0 . Dies lässt sich aber nicht umkehren: Durch Anwendung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a^{\dagger } auf den Nullvektor erhält man nicht den Grundzustand, sondern wieder den Nullvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a^{\dagger }a\left| 0 \right\rangle =0 . Dies liefert eine Gleichung für den Grundzustand:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 0=a\left| 0 \right\rangle =\left( \tilde{Q}+i\tilde{P} \right)\left| 0 \right\rangle =\left( \sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}Q+i\frac{P}{\sqrt{2\hbar m\omega }}\right) \left| 0 \right\rangle

In der Ortsdarstellung kann man obige Operatorgleichung als Differentialgleichung darstellen und lösen: $ \langle x|P|x\rangle =-i\hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}} $ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \langle x| Q |x\rangle =x

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left( \sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}x+\sqrt{\frac{\hbar }{2m\omega }}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \right)\langle x |0 \rangle =0   liefert normiert   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \langle x |0 \rangle =\left( \frac{m\omega }{\pi \hbar }\right)^{\frac{1}{4}}\exp \left( -\frac{m\omega }{2\hbar}x^{2} \right)

Durch Anwendung des Aufsteigeoperators auf die Lösung des Grundzustands erhält man alle höheren Eigenfunktionen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left|n\right\rangle =\frac{1}{\sqrt{n}}a^{\dagger}\left|n-1\right\rangle =\frac{1}{\sqrt{n!}}(a^{\dagger})^{n}\left|0\right\rangle

In Ortsdarstellung erhält man somit:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \langle x |n \rangle=\frac{1}{\sqrt{n!}}\left(\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}x-\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)^{n}\langle x |0 \rangle

Matrixdarstellung bosonischer Kletteroperatoren

Die Eigenzustände des Besetzungszahloperators $ \left|n\right\rangle $ bilden ein vollständiges Orthonormalsystem. Mit Hilfe dieser Hilbertraumbasis soll nun eine Matrixdarstellung der Leiteroperatoren ermittelt werden. Man beachte, dass hier alle Indizes von 0 (nicht von 1) bis unendlich laufen. Die Eigenzustände lassen sich als Vektoren darstellen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left| 0 \right\rangle =\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ \end{matrix} \right),\quad \left| 1 \right\rangle =\left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ \end{matrix} \right),\quad \left| 2 \right\rangle =\left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ \end{matrix} \right)    usw.

Die Vollständigkeit dieser Basis liefert eine Darstellung des Einheitsoperators:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sum\limits_{n=0}^{\infty }{\left| n \right\rangle \left\langle n \right|}=1

Erzeugungsoperator

Vor und nach dem Erzeugungsoperator wird eine 1 (Einheitsoperator) eingeschoben:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a^{\dagger }=\sum\limits_{m,n=0}^{\infty }{\left| m \right\rangle \underbrace{\left\langle m \right|a^{\dagger }\left| n \right\rangle }_{a_{mn}^{\dagger }}\left\langle n \right|}

Das Matrixelement berechnet sich zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a_{mn}^{\dagger }=\left\langle m \right|a^{\dagger }\left| n \right\rangle =\sqrt{n+1}\left\langle m | n+1 \right\rangle =\sqrt{n+1}\ \delta _{m,n+1}

Der Erzeugungsoperator dargestellt durch die Basisvektoren

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a^{\dagger }=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\left| n+1 \right\rangle \sqrt{n+1}\left\langle n \right|}

Somit ergibt sich die Matrixdarstellung des Erzeugungsoperators bzgl. der Besetzungseigenbasis (alle nicht angegebenen Elemente sind gleich 0):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a^{\dagger }=\left( \begin{matrix} 0 & {} & {} & {} & {} \\ \sqrt{1} & 0 & {} & {} & {} \\ {} & \sqrt{2} & 0 & {} & {} \\ {} & {} & \sqrt{3} & 0 & {} \\ {} & {} & {} & \ddots & \ddots \\ \end{matrix} \right)

Vernichtungsoperator

Durch analoge Rechnung erhält man für den Vernichtungsoperator:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a=\sum\limits_{m,n=0}^{\infty }{\left| m \right\rangle \underbrace{\left\langle m \right|a\left| n \right\rangle }_{a_{mn}}\left\langle n \right|}=\sum\limits_{m,n=0}^{\infty }{\left| m \right\rangle \sqrt{n}\ \delta _{m+1,n}\left\langle n \right|}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\left| n \right\rangle \sqrt{n+1}\ \left\langle n+1 \right|}

Dabei wurde das Matrixelement schon eingesetzt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a_{mn}=\left\langle m \right|a\left| n \right\rangle =\sqrt{n}\left\langle m | n-1 \right\rangle =\sqrt{n}\ \delta _{m,n-1}=\sqrt{n}\ \delta _{m+1,n}

Matrixdarstellung des Vernichtungsoperators bzgl. der Besetzungseigenbasis:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a=\left( \begin{matrix} 0 & \sqrt{1} & {} & {} & {} \\ {} & 0 & \sqrt{2} & {} & {} \\ {} & {} & 0 & \sqrt{3} & {} \\ {} & {} & {} & 0 & \ddots \\ {} & {} & {} & {} & \ddots \\ \end{matrix} \right)

Man erkennt, dass die Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a^{\dagger} genau die Transponierte von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a ist. Dies ist verständlich, da die beiden Operatoren zueinander adjungiert (= transponiert + komplex konjugiert) sind.

Einfaches Beispiel

Beispiele mit Orthonormalbasen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left| 0 \right\rangle =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \end{pmatrix},\ \left| 1 \right\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \end{pmatrix},\ \ldots Matrixformen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a^{\dagger}

$ a={\begin{pmatrix}0&{\sqrt {1}}&0&\ldots \\0&0&{\sqrt {2}}&\ldots \\0&0&0&\ldots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}} $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a^{\dagger}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & \ldots \\ \sqrt{1} & 0 & 0 & \ldots \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & \ldots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a \left| 1 \right\rangle = \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{1} & 0 & \ldots \\ 0 & 0 & \sqrt{2} & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \end{pmatrix}= \left| 0 \right\rangle

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a^{\dagger} \left|0 \right\rangle =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & \ldots \\ \sqrt{1} & 0 & 0 & \ldots \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & \ldots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \end{pmatrix}= \left| 1 \right\rangle

(gleiches gilt für die duale Darstellung)

Besetzungszahloperator

Matrixelement des Besetzungszahloperators bzgl. der Besetzungseigenbasis:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): N_{mn}=\left\langle m \right|N\left| n \right\rangle =n\left\langle m | n \right\rangle =n\ \delta _{m,n}

alternativ mit den Leiteroperatoren:

$ N_{mn}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{a_{mk}^{\dagger }a_{kn}}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\underbrace {{\sqrt {k+1}}\ \delta _{m,k+1}} _{a_{mk}^{\dagger }}\underbrace {{\sqrt {n}}\ \delta _{k+1,n}} _{a_{kn}}}=n\ \delta _{m,n} $

Matrixdarstellung des Besetzungszahloperators bzgl. der Besetzungseigenbasis:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): N=\left( \begin{matrix} 0 & {} & {} & {} \\ {} & 1 & {} & {} \\ {} & {} & 2 & {} \\ {} & {} & {} & \ddots \\ \end{matrix} \right)

Hamiltonoperator des harmonischen Oszillators

Matrixelement des Hamiltonoperators für den harmonischen Oszillator bzgl. der Besetzungseigenbasis bzw. der Energieeigenbasis:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H_{mn}=\left\langle m \right|H\left| n \right\rangle =\left\langle m \right|\hbar \omega \left( N+\frac{1}{2} \right)\left| n \right\rangle =\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right)\left\langle m | n \right\rangle =\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right)\delta _{m,n}

Matrixdarstellung des Hamiltonoperators für den harmonischen Oszillator bzgl. der Besetzungseigenbasis bzw. der Energieeigenbasis:

$ H=\hbar \omega \left({\begin{matrix}{\frac {1}{2}}&{}&{}&{}\\{}&1+{\frac {1}{2}}&{}&{}\\{}&{}&2+{\frac {1}{2}}&{}\\{}&{}&{}&\ddots \\\end{matrix}}\right) $

Da die Operatoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): N und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H hermitesch sind, folgt, dass die zugehörigen Matrizen bzgl. der Eigenbasen symmetrisch sind.

Eigenzustände bosonischer Kletteroperatoren („kohärente Zustände“)

Die Eigenzustände des Vernichtungsoperators sind die kohärenten Zustände Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left| \alpha \right\rangle . Der Vernichtungsoperator $ {\hat {a}} $  (zur Verdeutlichung sind die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{ } -Symbole für die Operatoren hier explizit wieder eingeführt) erfüllt folgende Eigenwertgleichung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat a\left| \alpha \right\rangle =\alpha \left| \alpha \right\rangle

Für den Erzeugungsoperator ergibt sich daraus, mit einem Linkseigenzustand (Bra-Eigenzustand):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left\langle \alpha \right|\hat a^{\dagger }=\alpha ^{*}\left\langle \alpha \right|

Der Vernichtungsoperator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat a kann also – im Gegensatz zum Erzeugungsoperator $ {\hat {a}}^{\dagger } $ – Rechtseigenzustände (Ket-Eigenzustände) besitzen. Der Erzeugungsoperator erhöht die minimale Teilchenzahl eines Zustandes im Fockraum um eins; der damit entstandene Zustand kann also nicht der ursprüngliche sein. Dagegen verringert der Vernichtungsoperator die maximale Teilchenzahl um eins; da ein Zustand im Fockraum aber Komponenten aller Teilchenzahlen (auch beliebig hoher Teilchenzahlen) beinhalten kann, ist damit nicht verboten, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat a Eigenzustände besitzt. Dies sind die kohärenten Zustände:

Der „kohärente Zustand“ Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\alpha\rangle ergibt sich als bestimmte Linearkombination aller Zustände fester Teilchenzahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |n\rangle\,, und zwar nach der Formel:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left| \alpha \right\rangle :=e^{-\frac{\left| \alpha \right|^{2}}{2}}\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{\alpha ^{n}}{\sqrt{n!}}}\left| n \right\rangle =e^{-\frac{\left| \alpha \right|^{2}}{2}}\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{\alpha ^{n}}{\sqrt{n!}}}\frac{\left(\hat a^{\dagger } \right)^{n}}{\sqrt{n!}}\left| 0 \right\rangle =e^{-\frac{\left| \alpha \right|^{2}}{2}}e^{\alpha \hat a^{\dagger }}\left| 0 \right\rangle

Dieser Zustand ist also Eigenzustand des Vernichtungsoperators, und zwar zum Eigenwert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha\,, während der zugehörige Erzeugungsoperator nur Links-Eigenzustände besitzt. Dabei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha eine nichtverschwindende komplexe Zahl, die den kohärenten Zustand vollständig definiert und auch explizit von der Zeit abhängen darf.  $ \left|\alpha \right|^{2} $ ist der Erwartungswert der Besetzungszahl des kohärenten Zustandes.

Kohärente Zustände haben (wie der Grundzustand des Harmonischen Oszillators) minimale Unschärfe und bleiben bei Zeitentwicklung kohärent. Mit ihnen lässt sich die – im Allgemeinen explizit zeitabhängige – elektromagnetische Welle einer Laser-Mode am besten beschreiben (sog. Glauber-Zustände).

Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren in Quantenfeldtheorien

In Quantenfeldtheorie und Vielteilchenphysik verwendet man Ausdrücke der Form Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma_ia_i^\pm\,, wobei die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma_i komplexe Zahlen sind, während die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a_i^\pm Erzeugungs- bzw. Vernichtungsoperatoren darstellen: Diese erhöhen bzw. vermindern die Eigenwerte des Anzahloperators $ \sum a_{i}^{+}a_{i}^{-} $ um 1, analog zum harmonischen Oszillator. Die Indizes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): i berücksichtigen die Freiheitsgrade der Raumzeit und haben i.a. mehrere Komponenten. Wenn die Erzeuger und Vernichter von einer kontinuierlichen Variable abhängen, statt von diskreten Quantenzahlen, schreibt man sie auch als Feldoperatoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \phi(\vec{x}) , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \phi^+(\vec{x}) . Die Anzahloperatoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n_i=a_i^+a_i^- sind selbstadjungiert („hermitesch“) und nehmen alle nicht-negativen ganzzahligen Werte an: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n_i\in\{0,\,\,1,\,\,2,\,\,\dots \}\,.
Die nichttrivialen Vertauschungsrelationen sind schließlich, wie beim harmonischen Oszillator: $ [a_{i}^{-},a_{j}^{+}]:=a_{i}^{-}a_{j}^{+}-a_{j}^{+}a_{i}^{-}=\delta _{ij}\,, $ wobei [.,.] die sog. Kommutatorklammer darstellt, während Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \delta_{ij} das Kroneckersymbol ist.

Das oben gesagte gilt für Bosonen, wogegen man für Fermionen den Kommutator durch den Antikommutator ersetzen muss, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \{a_i^-,a_j^+\}:=a_i^-a_j^++a_j^+a_i^- =\delta_{ij}\,. Als Konsequenz gilt im fermionischen Fall, dass die Anzahloperatoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n_i=a_i^+a_i^- nur die Eigenwerte 0 und 1 haben.

Bezug zu Diagrammtechniken

Konkrete Rechnungen unter Verwendung der Erzeugungs- bzw. Vernichtungsoperatoren kann man in der Regel durch Diagrammtechniken unterstützen (→ Feynman-Diagramme). So kann man z. B. Dreiteilchen-Wechselwirkungen der Form Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma_{1,2;3}\,a_1^-a_2^-a_3^+ durch drei Linien veranschaulichen, von denen die ersten zwei in einen Vertex einlaufen und dort „vernichtet“ werden, während eine dritte Linie an diesem Vertex „erzeugt“ wird und von ihm ausläuft. Dabei sind in den zugehörigen Regeln Energie- und Impulssatz explizit zu berücksichtigen.

Der angegebene Term, der einen sog. „Konfluenzprozess“ beschreibt, hat bei tiefen Temperaturen i. A. geringere Wahrscheinlichkeit, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \propto |\gamma_{1,\,2;\,3}|^2\cdot\{\langle n_1\rangle\,\langle n_2\rangle\,(1+\langle n_3\rangle \}\,, als der inverse sog. „Splitting-Prozess“, der zum adjungierten Term, $ \gamma _{1,2;3}^{*}\,a_{3}^{-}a_{2}^{+}a_{1}^{+}\,, $ gehört. Denn zu jedem Erzeugungsoperator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a_i^+ korrespondiert, analog zum harmonischen Oszillator, die Übergangsrate^[1] Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \propto |\gamma^*_{\,i,\dots} |^2\cdot (1+\langle n_i\rangle ) , während beim zugehörigen Vernichtungsoperator  der Term Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \propto 1 fehlt. Auf diese Weise sind bei tiefen Temperaturen die letztgenannten Terme in der Regel wichtiger als die erstgenannten.^[2]

Literatur

• Cohen-Tannoudji, Diu, Laloë: Quantenmechanik 1/2. de Gruyter, Berlin
• Nolting: Grundkurs theoretische Physik. Bd.5/1 : Quantenmechanik. Springer, Berlin

Siehe auch

• Fockraum

Belege