Langevin-Gleichung

Eine Langevin-Gleichung (nach Paul Langevin) ist eine stochastische Differentialgleichung, welche die Dynamik einer Teilmenge der Freiheitsgrade eines physikalischen Systems beschreibt. Dabei handelt es sich typischerweise um 'langsame' (makroskopische) Freiheitsgrade, die 'schnellen' (mikroskopischen) Freiheitsgrade sind verantwortlich für die stochastische Natur der Differentialgleichung.

Konventionelle Langevin-Gleichung

Die folgende Gleichung für die Geschwindigkeit $$ v(t) $$ eines in einer Flüssigkeit schwebenden Teilchens geht auf einen heuristischen Ansatz von Paul Langevin zurück:

m{\dot {v}}(t)=-\gamma v(t)+F(x,t)+f(t).

Hierbei ist $\gamma$ ein Reibungskoeffizient und $$ F(x,t) $$ eine externe Kraft, hervorgerufen z. B. durch ein externes Potential. Die Größe $$ f(t) $$ ist die sogenannte fluktuierende Kraft, typischerweise ein Gauß'sches weißes Rauschen. Die Dynamik welche durch die Langevin-Gleichung beschrieben wird, geht bei Überdämpfung in die Brownsche Dynamik über ( $\lim _{m\to 0}$ ). Dann fehlt der Beschleunigungsterm in obiger Gleichung, d. h. $m{\dot {v}}(t)=0$ .

Die Langevin-Gleichung kann als Beschreibung eines Itō-Prozesses aufgefasst werden, der einen mathematischen Rahmen zur Lösung bietet.

Allgemeine Langevin-Gleichung

Die folgende Gleichung ist eine formale Verallgemeinerung der konventionellen Langevin-Gleichung:

{\dot {x}}_{i}(t)=h_{i}\left(\{x_{i}(t)\},t\right)+\sum _{j=1}^{M}D_{ij}(\{x_{i}(t)\},t)\cdot f_{j}(t).

Der Satz der langsamen Variablen besteht hier aus den $$ M $$ Größen $\{x_{i}(t),1\leqq M\leqq N\}$ .

Ferner wird $h_{i}$ als eine deterministische Funktion angenommen, sie enthält die Reibung.

Die Größe $D_{ij}$ ist eine Kopplungsmatrix und beschreibt die Korrelationen der verschiedenen Komponenten des stochastischen Rauschens.

Man unterscheidet dabei zwei Fälle:

Bei den meisten physikalischen Anwendungen sind die Größen $D_{ij}$ Konstanten. Man spricht dann von „additivem Rauschen“ (kein rauschinduzierter Drift).
Falls $D_{ij}$ von den $x_{i}$ abhängt, spricht man von „multiplikativem Rauschen“. Dies führt auf das sogenannte Ito-Stratonovich-Dilemma (nach Itō Kiyoshi, Ruslan Stratonovich). Die Langevingleichung ergibt hier mathematisch erst einen Sinn, wenn eine Entscheidung für einen Typ stochastischer Integrale getroffen wird.

Allgemeines Schema

Grundlegender Ansatz ist hierbei die Addition eines Fluktuationsterms zu einer im Mittelwert gültigen Beziehung:

{\dot {y}}=A(y)

wird so zu

{\dot {y}}=A(y)+L(t)

.

Für das Rauschen $$ L(t) $$ wird angenommen:

$$ L(t) $$ ist als stochastischer Prozess modellierbar.
$\langle L(t)\rangle =0$ , d. h. die Fluktuationen zeigen keine Tendenz und geben im Mittel 0.
$\langle L(t)L(t')\rangle =\Gamma \delta (t-t')$ mit $\delta$ als der Delta-Funktion, sodass überhaupt keine Korrelation über die Zeit stattfindet.

Zusammen mit einer üblicherweise unterstellten Normalverteilung ist $$ L(t) $$ dann ein weißes gaußsches Rauschen.

Beziehung zur Fokker-Planck-Gleichung

In der Regel ist eine Lösung einer Langevingleichung zu einer bestimmten Realisierung der fluktuierenden Kraft uninteressant. Stattdessen interessiert man sich für Korrelationsfunktionen der langsamen Variablen nach Mittelung über die fluktuierende Kraft. Solche Mittelwerte lassen sich auch auf anderem Weg erhalten, z. B. mit Hilfe der der Langevingleichung entsprechenden Fokker-Planck-Gleichung. Eine Fokker-Planck-Gleichung ist eine deterministische Gleichung für die zeitabhängige Wahrscheinlichkeitsverteilung einer stochastischen Variablen $$ y $$ . Z. B. ist die Fokker-Planck-Gleichung

{\frac {\partial }{\partial t}}P(y,t)=-{\frac {\partial }{\partial y}}{\Big [}A(y,t)P(y,t){\Big ]}+{\frac {\Gamma }{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}{\Big [}P(y,t){\Big ]}

äquivalent zu obiger Langevin-Gleichung.

Beispiele

Brownsche Bewegung

Der klassische Fall für die Brownsche Bewegung eines Teilchens in einem Fluid hat nach Stokes-Gesetz und Einstein-Smoluchowski-Beziehung die Gleichung

m{\frac {d^{2}\mathbf {x} }{dt^{2}}}=-\lambda {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}+L(t)

mit Dämpfungskoeffizient $\lambda$ und $\Gamma =2\lambda k_{\mathrm {B} }T$ .

Thermisches Rauschen

Thermisches Rauschen über einem Kondensator folgt

{\frac {dU}{dt}}=-{\frac {U}{RC}}+L(t)

mit $\Gamma =2k_{\mathrm {B} }T/RC^{2}$ .

Literatur

Don S. Lemons, Anthony Gythiel: Paul Langevin’s 1908 paper „On the Theory of Brownian Motion“ [„Sur la théorie du mouvement brownien,“ C. R. Acad. Sci. (Paris) 146, 530–533 (1908)], Am. J. Phys. 65, 1079 (1997), DOI:10.1119/1.18725
N.G. Van Kampen: „Stochastic Processes in Physics and Chemistry.“. 3. Auflage. North Holland, 2007.
Schwabl, Franz: Statistische Mechanik. Springer, ISBN 3-540-31095-9
Huang, Kerson: Statistical Mechanics. Wiley, ISBN 978-81-265-1849-4
Huang, Kerson: Introduction to Statistical Physics. CRC Press, ISBN 0-7484-0942-4