Clausius-Clapeyron-Gleichung

Die Clausius-Clapeyron-Gleichung wurde 1834 von Émile Clapeyron entwickelt und später von Rudolf Clausius aus den Theorien der Thermodynamik abgeleitet. Sie ist eine Spezialform der Clapeyron-Gleichung (Herleitung dort). Über die Clausius-Clapeyron-Gleichung lässt sich der Verlauf der Siedepunktskurve errechnen, d. h. der Phasengrenzlinie eines Phasendiagramms zwischen der flüssigen und der gasförmigen Phase eines Stoffes.

Thermodynamisch korrekte Gleichung

Die thermodynamisch korrekte Version der Gleichung ist

$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T}=\frac{\mathrm{\Delta }{H}_{\mathrm{m},\mathrm{v}}}{\mathrm{\Delta }{V}_{\mathrm{m},\mathrm{v}}\cdot T}$

mit

• $p$ - Dampfdruck
• $T$ - Temperatur in K
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta H_\mathrm{m,v} - molare Verdampfungsenthalpie (Index ${}_{\mathrm{v}}$ für Verdampfung bzw. englisch vapor = Dampf) und
• $\mathrm{\Delta }{V}_{\mathrm{m},\mathrm{v}}=V_{\mathrm{m}(\mathrm{g})}-V_{\mathrm{m}(\mathrm{fl})}$ - Änderung des molaren Volumens zwischen gasförmiger und flüssiger Phase.

Approximation im Falle eines idealen Gases

Im Regelfall bezeichnet man als Clausius-Clapeyron-Gleichung die näherungsweise gültige Gleichung

$\frac{1}{p}\mathrm{d}p=\frac{\mathrm{\Delta }{H}_{\mathrm{m},\mathrm{v}}}{R\cdot T^2}\mathrm{d}T$

mit

• $R=8,314462\mathrm{J}{\mathrm{mol}}^{-1}{\mathrm{K}}^{-1}$ - universelle Gaskonstante.

Herleitung:

Da bei den meisten Verwendungszwecken das molare Volumen des Gases deutlich größer ist als das der Flüssigkeit:

$V_{\mathrm{m}(\mathrm{g})}\gg V_{\mathrm{m}(\mathrm{fl})},$

wurde gegenüber der thermodynamisch korrekten Gleichung die Volumendifferenz $\mathrm{\Delta }{V}_{\mathrm{m},\mathrm{v}}$ durch das molare Volumen $V_{\mathrm{m}(\mathrm{g})}$ des Gases ausgedrückt:

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }{V}_{\mathrm{m},\mathrm{v}}\approx V_{\mathrm{m}(\mathrm{g})}.$

Außerdem wurde für die gasförmige Phase ein ideales Gas angenommen, für das folgende Zustandsgleichung gilt:

$V_{\mathrm{m}(\mathrm{g})}=\frac{RT}{p}.$

Integrierte Form

Betrachtet man die Verdampfungsenthalpie eines Stoffes als konstant über einen kleinen Temperaturbereich ($T_1$ bis $T_2$), so kann die Clausius-Clapeyron-Gleichung über diesen Temperaturbereich integriert werden. Dann gilt:

$\ln \frac{p_2}{p_1}=\frac{\mathrm{\Delta }{H}_{\mathrm{m},\mathrm{v}}}{R}\cdot (\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2})$

mit

• dem bekannten Sättigungsdampfdruck Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p_1 und der Temperatur $T_1$ des Ausgangszustands,
• dem Druck $p_2$ und der Temperatur $T_2$ des zu berechnenden Zustands.

Literatur

• M.K. Yau, R.R. Rogers: Short Course in Cloud Physics, Third Edition, Butterworth-Heinemann, Januar 1989, 304 Seiten. ISBN 0-7506-3215-1.
• Gerd Wedler: Lehrbuch der Physikalischen Chemie: Fünfte, vollständig überarbeitete und aktualisierte Auflage, Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, August 2004, 1102 Seiten. ISBN 3527310665