Van-’t-Hoff-Gleichung

Die Van-’t-Hoff-Gleichung oder van-’t-Hoff’sche Reaktionsisobare (nach Jacobus Henricus van ’t Hoff) beschreibt in der Thermodynamik den Zusammenhang zwischen der Lage des Gleichgewichts einer chemischen Reaktion und der Temperatur (bei konstantem Druck):

$ {\Bigl (}{\frac {\partial \ln K}{\partial T}}{\Bigr )}_{P}={\frac {\Delta _{R}H_{m}^{\circ }(T)}{RT^{2}}} $

wobei

• $ K $ die Gleichgewichtskonstante
• $ T $ die Temperatur
• $ \Delta _{R}H_{m}^{\circ }(T) $ die molare Standardreaktionsenthalpie als Funktion der Temperatur $ T $^{[A 1]}
• $ R $ die allgemeine Gaskonstante ist.

Der Index _P steht für den konstanten Druck.

In der ulichschen Näherung geht man von einer – zumindest in einem gewissen Temperaturintervall – konstanten Standardreaktionsenthalpie aus.^{[E 1]}

Damit ergibt sich:

$ {\Bigl (}{\frac {\partial \ln K}{\partial T}}{\Bigr )}_{P}={\frac {\Delta _{R}H_{m}^{\circ }}{RT^{2}}} $

Dies kann auch geschrieben werden als:^{[E 2]}

$ \Leftrightarrow {\biggl (}{\frac {\partial \ln K}{\partial {\frac {1}{T}}}}{\biggr )}_{P}=-\,{\frac {\Delta _{R}H_{m}^{\circ }}{R}}. $

Herleitung

Für die Gleichgewichtskonstante $ K $ gilt allgemein:

$ \ln K=-{\frac {\Delta _{R}G_{m}^{\circ }(T)}{RT}} $

Deren partielle Ableitung nach der Temperatur bei konstantem Druck ergibt somit:

$ {\Bigl (}{\frac {\partial \ln K}{\partial T}}{\Bigr )}_{P}=+{\frac {\Delta _{R}G_{m}^{\circ }(T)}{RT^{2}}}-{\frac {{\Bigl (}{\frac {\partial \Delta _{R}G_{m}^{\circ }(T)}{\partial T}}{\Bigr )}_{P}}{RT}} $

Die Ableitung der Freie Reaktionsenthalpie nach der Temperatur bei konstantem Druck berechnet sich wie folgt:

$ {\Bigl (}{\frac {\partial G_{m}^{0}}{\partial T}}{\Bigr )}_{P}=-S_{m}^{0}(T) $

$ \rightarrow {\Bigl (}{\frac {\partial \ln K}{\partial T}}{\Bigr )}_{P}=+{\frac {\Delta _{R}G_{m}^{\circ }(T)}{RT^{2}}}+{\frac {T\Delta _{R}S_{m}^{0}(T)}{RT^{2}}} $

Mit der Gibbs-Helmholtz-Gleichung

$ \Delta _{R}G_{m}^{\circ }(T)=\Delta _{R}H_{m}^{0}(T)-T\Delta _{R}S_{m}^{0}(T) $

ergibt sich:^{[A 2]}

$ {\Bigl (}{\frac {\partial \ln K}{\partial T}}{\Bigr )}_{P}={\frac {\Delta _{R}H_{m}^{0}(T)-T\Delta _{R}S_{m}^{0}(T)+T\Delta _{R}S_{m}^{0}(T)}{RT^{2}}}={\frac {\Delta _{R}H_{m}^{0}(T)}{RT^{2}}} $

Siehe auch

• RGT-Regel

Anmerkungen

Weblinks

• Video: VAN´T HOFFsche Reaktionsisobare - wie verändert die Temperatur die Lage des Gleichgewichts?. Günter Jakob Lauth (SciFox) 2013, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.5446/15667.

Einzelnachweise