In der Mathematik ist der Dirac-Operator ein Differentialoperator, der in einem noch zu definierenden Raum eine Quadratwurzel aus dem Laplace-Operator ergibt. In der Physik ist er abstrakter definiert: Als Wurzel des algebraisch definierten Impulsquadrates (siehe Mathematische Struktur der Quantenmechanik), im vierdimensionalen Raum der Einsteinschen Speziellen Relativitätstheorie, dem Minkowskiraum, der mit dem Dirac-Operator eine mit dieser Theorie verträgliche Quantenmechanik ergibt. (Die nichtrelativistische Quantenmechanik war bereits gefunden.)
Namensgebend ist der Physiker Paul Dirac, der das Problem und seine Lösung bereits 1928 behandelte – die Mathematiker haben es erst Jahrzehnte später „wiederentdeckt“ und vertieft.
Es sei $ D\in \operatorname {Diff} ^{1}(V,V) $ ein geometrischer Differentialoperator erster Ordnung, der auf ein Vektorbündel $ V\to M $ über einer riemannschen Mannigfaltigkeit $ M $ wirkt. Wenn dann
gilt, wobei $ \Delta $ ein verallgemeinerter Laplace-Operator auf $ V $ ist, so heißt $ D $ Dirac-Operator.[1]
Ursprünglich hatte Paul Dirac die Wurzel aus dem D’Alembertoperator $ \square $ betrachtet und damit die relativistische Quantenfeldtheorie eines Elektrons begründen wollen. Wenig später stellte sich heraus, dass er damit „in ein Wespennest gestoßen hatte“, indem sich die Theorie als sehr viel umfangreicher herausstelle als gedacht: Insbesondere ergab sich auch die Notwendigkeit, sog. Antiteilchen zu den Elektronen zu beschreiben, die Positronen, und heutzutage ist die aus der diracschen Arbeit entstandene Theorie, die Quantenfeldtheorie, noch viel allgemeiner.
Dirac betrachtete für n=4 den Differentialausdruck
wobei $ \gamma _{i} $ die Dirac-Matrizen sind. Dies ergab den Dirac-Operator, indem die Matrizen gewisse Vertauschungsrelationen zu erfüllen hatten (es gibt verschiedene äquivalente Darstellungen): Der Dirac-Ausdruck selbst ist jedoch nach heutigem Verständnis in der Mathematik nur dann ein Operator, wenn man ihn durch explizite Angaben über die Randbedingungen ergänzt.[2] (In der Physik sind die notwendigen Änderungen meist trivial, sodass man oft vergisst, explizit zu erwähnen, dass man hinreichend rasches Verschwinden im Unendlichen voraussetzt. Deshalb werden bei den bei Physikern auch heute noch die Dfferentialausdrücke selbst fälschlicherweise als „Operatoren“ bezeichnet.)
Es sei $ (M,g) $ eine riemannsche Mannigfaltigkeit und $ ({\mathcal {E}},h,\nabla ^{\mathcal {E}}) $ ein Dirac-Bündel, bestehend aus einem Clifford-Modul $ {\mathcal {E}}\to M $ einer hermiteschen Metrik $ h $ auf $ {\mathcal {E}} $ und einem Clifford-Zusammenhang $ \nabla ^{\mathcal {E}} $ auf $ {\mathcal {E}} $. Dann ist der Operator
der zum Dirac-Bündel $ (E,h,\nabla ^{\mathcal {E}}) $ assoziierte Dirac-Operator. In lokalen Koordinaten hat er die Darstellung
Der Operator $ -i\partial _{x} $ ist ein Dirac-Operator über dem Tangentialbündel von $ \mathbb {R} $.
Betrachtet werde der Konfigurationsraum eines Teilchens mit Spin 1/2, das auf die Ebene $ \mathbb {R} ^{2} $ beschränkt ist, welche die Basis-Mannigfaltigkeit bildet. Der Zustand wird durch eine Wellenfunktion ψG mit zwei komplexen Komponenten beschrieben, für die also jeweils $ \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {C} \,, $ gelten soll, wobei Gesamtzustände, die sich nur um einen komplexen Faktor unterscheiden, identifiziert werden. Der Gesamtzustand ist also:
Dabei sind $ x $ und $ y $ die üblichen kartesischen Koordinaten auf $ \mathbb {R} ^{2} $: $ \chi _{\uparrow } $ definiert die Wahrscheinlichkeitsamplitude für die aufwärts gerichteten Spin-Komponente (Spin-Up), und analog $ \eta _{\downarrow } $ für die Spin-Down-Komponente. Der sogenannte Spin-Dirac-Operator kann dann geschrieben werden als
wobei σx und σx die Pauli-Matrizen sind. Man beachte, dass die antikommutativen Beziehungen der Pauli-Matrizen einen Beweis der obigen Definition trivial machen. Diese Beziehungen definieren den Begriff der Clifford-Algebra#Beispiele am Beispiel der Quaternionen-Algebra. Lösungen der Dirac-Gleichung für Spinor-Felder werden oft harmonische Spinoren genannt[3].
Sei $ (M,g) $ eine orientierbare riemannsche Mannigfaltigkeit und sei $ \mathrm {d} \colon {\mathcal {A}}(M)^{\bullet -1}\to {\mathcal {A}}^{\bullet }(M) $ die äußere Ableitung und $ \mathrm {d} ^{t}\colon {\mathcal {A}}^{\bullet }(M)\to {\mathcal {A}}^{\bullet -1}(M) $ der zur äußeren Ableitung bezüglich der L²-Metrik adjungierte Operator. Dann ist
ein Dirac-Operator.[4]
Es gibt auch einen Dirac-Operator in der Clifford-Analysis. Im n-dimensionalen euklidischen Raum ist das
wobei
eine Orthonormalbasis des euklidischen Raumes ist und $ \mathbb {R} ^{n} $ als in eine Clifford-Algebra eingebettet gilt. Dies ist ein Spezialfall des Atiyah-Singer-Dirac-Operators, der auf den Schnitten eines Spinorbündels wirkt.
Für eine Spin-Mannigfaltigkeit $ M $, ist der Atiyah-Singer-Dirac-Operator lokal folgendermaßen definiert: Für $ x\in M $ und $ e_{1}(x),\ldots ,e_{j}(x) $ eine lokale Orthonormalbasis für den Tangentenraum von $ M $ in $ x $ ist der Atiyah-Singer-Dirac-Operator
wobei $ {\tilde {\Gamma }} $ ein Paralleltransport des Levi-Civita-Zusammenhangs auf $ M $ für das Spinorbündel über $ M $ ist.
In der Physik befasst man sich wegen der Betonung des Minkowski-Raumes hauptsächlich mit dem Spezialfall n=4 und mit speziellen 4x4-Darstellungen der γ-Matrizen.
Das Hauptsymbol eines verallgemeinerten Laplace-Operators ist $ \xi \mapsto \|\xi \|^{2} $. Entsprechend ist das Hauptsymbol eines Dirac-Operators $ \xi \mapsto i\xi $ und somit sind beide Klassen von Differentialoperatoren elliptisch.[5]
Der Operator $ D\colon C^{\infty }(\mathbb {R} ^{k}\otimes \mathbb {R} ^{n},S)\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{k}\otimes \mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} ^{k}\otimes S) $, der auf die nachfolgend definierten spinorwertige Funktionen wirkt,
wird in der Clifford-Analysis oft als Dirac-Operator in k CliffordVariablen genannt. In dieser Notation ist S der Raum von Spinoren, $ x_{i}=(x_{i1},x_{i2},\ldots ,x_{in}) $ sind n-dimensionale Variablen und $ \textstyle \partial _{\underline {x_{i}}}=\sum _{j}e_{j}\cdot \partial _{x_{ij}} $ ist der Dirac-Operator in der $ i $-ten Variablen. Dies ist eine gebräuchliche Verallgemeinerung des Dirac-Operators (k=1) und der Dolbeault-Kohomologie (n=2, k beliebig). Er ist ein Differentialoperator, der invariant zu der Operation der Gruppe $ \operatorname {SL} (k)\times \operatorname {Spin} (n) $ ist. Die Injektive Auflösung von D ist nur für einige Spezialfälle bekannt.