Dreikörperproblem

Die chaotischen Bewegungen dreier Körper

Das Dreikörperproblem der Himmelsmechanik besteht darin, eine Lösung (Vorhersage) für den Bahnverlauf dreier Körper unter dem Einfluss ihrer gegenseitigen Anziehung (Newtonsches Gravitationsgesetz) zu finden. Um quantitative Resultate zu erlangen, muss es im allgemeinen Fall bislang numerisch gelöst werden.

Mathematisch-Historisches

Das Dreikörperproblem galt seit den Entdeckungen von Johannes Kepler und Nicolaus Copernicus als eines der schwierigsten mathematischen Probleme, mit dem sich im Laufe der Jahrhunderte viele bekannte Mathematiker wie Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange, Thorvald Nicolai Thiele, George William Hill und Henri Poincaré beschäftigten. Im allgemeinen Fall erfolgt die Bewegung chaotisch und kann nur durch Näherungen berechnet werden.

Sonderfall

Den Spezialfall, dass einer der drei Körper eine verschwindend kleine Masse hat und seine Wirkung auf die beiden anderen vernachlässigt werden kann, bezeichnet man als eingeschränktes Dreikörperproblem. Er spielt in der Astronomie eine wichtige Rolle (z. B. bei Forschungssatelliten wie bei der Planetary Grand Tour), die auf das Problem der Lagrange-Punkte führt.

Allgemeine Aussagen

Das Zweikörperproblem ist durch die Kepler’schen Gesetze analytisch lösbar. Dagegen sind die Integrale im Fall von n ≥ 3 Himmelskörpern keine algebraischen Integrale mehr (Satz von Bruns bzw. Poincaré) und nicht mehr mit elementaren Funktionen lösbar. Karl Frithiof Sundman konnte Anfang des 20. Jahrhunderts als Erster eine analytische Lösung des Dreikörperproblems in Form einer konvergenten Potenzreihe angeben, unter der Annahme, dass der Gesamtdrehimpuls des Systems nicht verschwindet und es deshalb nicht zu einem Dreierstoß kommt, bei dem der Abstand aller drei Körper Null beträgt.

Die Stabilität eines Dreikörpersystems wird durch das Kolmogorow-Arnold-Moser-Theorem beschrieben.

Näherungs- oder exakte Lösungen sind in manchen Fällen möglich:

• Wenn die Masse eines der Himmelskörper klein ist, dann löst man das Dreikörperproblem iterativ, heutzutage mit Computern, oder berechnet Bahnstörungen, welche der kleinste (leichteste) Körper durch die größeren (schwereren) erleidet.
• Exakt lösbar ist der schon erwähnte Sonderfall des Gleichgewichts der Anziehungskraft zweier großer (schwerer) Körper auf einen verschwindend-kleinen (leichten) Körper (bei Berücksichtigung der Kräfte des drehenden Bezugssystems) – in den Lagrange-Punkten L₁ bis L₅. Der innere Punkt L₁ wird beispielsweise in der Raumfahrt zur Sonnenforschung verwendet. Das SOHO-Sonnenobservatorium befindet sich dort.
• Für den Fall dreier gleicher Massen gibt es eine Lösung, bei der die Objekte auf einer gemeinsamen Bahn, die die Form eines Unendlichzeichens ($ \infty $) hat, hintereinander herlaufen.

Verallgemeinerung

Die Verallgemeinerung des Dreikörperproblems ist das N-Körperproblem. Allgemeine Mehrkörperprobleme behandelt man durch Mehrkörpersimulationen.

Siehe auch

• Tisserandparameter
• Hill-Sphäre
• Sitnikov-Problem

Weblinks

• Kann man im All parken? aus der Fernseh-Sendereihe alpha-Centauri (ca. 15 Minuten). Erstmals ausgestrahlt am 28. Apr. 2004.
• Chaos und Komplexitätstheorie (PDF, 31 kB)
• Numerische Berechnungen von Planetenbahnen