Lagrange-Dichte

Die Lagrange-Dichte $ {\mathcal {L}} $ (nach dem Mathematiker Joseph-Louis Lagrange) spielt in der theoretischen Physik eine Rolle bei der Betrachtung von Feldern. Sie beschreibt die Dichte der Lagrange-Funktion $ L $ in einem Volumenelement. Daher ist die Lagrange-Funktion definiert als das Integral der Lagrange-Dichte über dem betrachteten Volumen:

$ L=\int \mathrm {d} ^{3}r{\mathcal {L}}=\iiint \mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z\,{\mathcal {L}}\left(\phi ,{\frac {\partial \phi }{\partial t}},{\frac {\partial \phi }{\partial x}},{\frac {\partial \phi }{\partial y}},{\frac {\partial \phi }{\partial z}},t\right) $

mit dem betrachteten Feld $ \phi (x,y,z,t) $.

Der eigentliche Zweck der Lagrange-Dichte ist die Beschreibung von Feldern durch Bewegungsgleichungen. So, wie man die Lagrange-Gleichungen zweiter Art aus dem Hamiltonschen Prinzip erhält, kann man die Lagrange-Gleichungen für Felder aus dem Hamiltonschen Prinzip für Felder erhalten (Herleitung). Entsprechend lautet die Bewegungsgleichung:

$ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{i}}}-{\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\frac {\partial \phi _{i}}{\partial t}}}}-\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\frac {\partial \phi _{i}}{\partial x_{j}}}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{i}}}-\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}=0 $.

Beispiel

Beispielhafte Lösung der Bewegungsgleichung einer schwingenden Saite (String) in 3 Dimensionen. Parameter: $ E=\mu =1 $, Animation läuft mit 10 % der tatsächlichen Geschwindigkeit.

Für eine in einer Dimension schwingende Saite ergibt sich für die Lagrange-Dichte

$ {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left[\mu \left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)^{2}-E\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)^{2}\right] $

In diesem Beispiel bedeuten:

$ \phi =\phi (x,t) $ die Auslenkung eines Punktes der Saite aus der Ruhelage (Feldvariable)

$ \mu $ die lineare Massendichte

$ E $ den Elastizitätsmodul

Mit dieser Lagrange-Dichte ergibt sich

$ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}=0 $

$ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\frac {\partial \phi }{\partial t}}}}=\mu {\frac {\partial \phi }{\partial t}} $

$ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\frac {\partial \phi }{\partial x}}}}=-E{\frac {\partial \phi }{\partial x}} $

Damit ergibt sich für die Bewegungsgleichung der schwingenden Saite

$ E{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}-\mu {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}=0 $

Anwendung in der Relativitätstheorie

Anwendung findet die Beschreibung physikalischer Vorgänge über die Lagrange-Dichte statt über die Lagrange-Funktion vor allem in relativistischen Vorgängen. Hier ist eine kovariante Darstellung der Lagrange-Funktion gewünscht, dann ist die Wirkung über

$ S=\int \mathrm {d} ^{4}x\,{\mathcal {L}} $

definiert. Damit ist die Lagrange-Funktion ein Lorentz-Skalar, also invariant unter Lorentz-Transformationen:

$ {\mathcal {L}}'(x_{\mu })={\mathcal {L}}(x'_{\mu })={\mathcal {L}}(x_{\mu }) $ mit $ x'_{\mu }=\Lambda _{\mu \nu }x^{\nu } $, wobei $ \Lambda _{\mu \nu } $ der Lorentz-Transformationstensor ist.

Literatur

• Franz Schwabl: Lagrange-Dichte. In: Ders.: Quantenmechanik für Fortgeschrittene (QM II). Springer, Berlin 2005, ISBN 978-3-540-28865-7, S. 281ff.